1、多商品流问题（MCF）关键词和关键短语：多目标优化，多准则决策，有效解，帕累托最优解，非劣解，非解方案，弱效解，弱帕累托最优解，弱非劣解，弱非解，弱效解。线性多商品流问题是一种以一系列商品和潜在网络为特征的线性规划问题。这儿指的商品是必须从一个或多个原始节点上，传输到网络中的另一个或多个目的节点上的商品。实际上，这些商品可能是电信网络中拨出的电话，分销网络中的包裹，或航空公司飞行网络中的飞机。每种商品都有独特的特征，并且商品是不可互换的。也就是说，你不能同时满足两种商品的需求。MCF 问题的目标是通过网络以最低的成本流通商品，且要不超过每条弧的容量。提出了做线性多商品流模型和其解决方案的综合性
2、研究调查。整数多商品流问题（IMCF）是线性多商品流问题中有约束条件的一个多商品流问题，约束条件是从原点到目的的路径只有一条。MCF 和 IMCF 问题在许多情况下都普遍存在，例如在运输、通信和生产中。多商品流问题应用实例交通网络中车辆的路径(动态交通分配)这涉及通过流量网络确定车辆从起点到其各自目的地的最小延迟路线。或者，没有具体的容量，但弧上的容量是一个关于流量的函数。在前一种情况下，目标函数是线性的，而后者则是非线性的。分配系统规划在这个问题上，在具有已知生产能力的几家工厂生产不同的产品（或商品） 。每个商品在每个客户区都有一定的需求。通过具有有限存储容量的区域配送中心的运输来满足需求。
3、某某【28】模拟了通过配送中心将商品从制造工厂送到到客户区域的路径问题，即为MCF 问题。进出口模型可能影响出口的因素之一是港口处理能力。某某【8】利用 MCF模型来分析美国港口能力对小麦，玉米和大豆出口的影响。货运业务的优化某某【20】开发基于 MCF 的路径和调度优化模型，用来解决铁路行业的规划问题。某某【48】使用多商品流问题中的公式来研究铁路的拥塞问题。零担货运中的货物运输问题零担货运的运营商必须整合许多货物，以便更经济地使用车辆。这就要求建立大量码头来进行分货。货运公司通过对需求的预测来规划每辆车辆往返码头的运输路线。一旦路线固定，问题是以最少的总时间或成本交付所有的货物。这个问题在
4、【17】和【24 】中被定义为 MCF 问题。快递发货问题某某【40】模拟联邦快递，美国邮政，联合包裹服务等快递公司所面临的货运交付问题，作为空间和时间网络上的 MCF 问题。电信或计算机网络中的信息传输问题网络由传输线路组成。每个消息发出的请求就相当于商品。问题是以最低的成本将信息从起始点传到各个目的地。某某【42】为该问题提供多商品流问题中的公式。长期水力发电的优化在这种情况下，任务是在一段时间内确定一个水库的水力发电量，将一段时间分为若干间隔使得发电的预期成本减至最小。某某【47】 认为这个问题可以建模为一个给定的流入概率密度函数的MCF 问题。森林管理对于每一个规划期，森林管理人员必须
5、就收割的土地面积，和从这些地区收获的木材数量，以及要开发的娱乐用地面积和建造与维护的道路网进行决策，以便木材的运输和娱乐活动。这个问题已经在【33 】中定义为一个 MCF 问题。街道规划某某在【26】介绍了这个问题，并将其作为一个 MCF 问题。目的是确定一套双向街道，使这些网络中的街道单向的总拥塞损失最小化。空间价格平衡（SPE）问题这个问题需要消费者在一般网络内的流动模型。SPE 问题决定了每个市场的最佳生产量和消费水平，最优流量满足均衡性。某某在【59 】将 SPE 问题视为 MCF 问题并将其解决。为了更全面了解 MCF 的应用，请看到【57】 、 【2 】 、 【37】 。整数多商品
6、流问题应用实例航空机队指派给定航班的到达和起飞时间表，对航班和一组飞机有预期需求，目标是以最低的成本给航班分配飞机。这个问题已经在【31】进行了广泛的研究。机组排班这个问题是将调度人员的成本降至最低。在解决问题时，必须考虑工时限制和联邦航空管理条例等因素。深入的研究见【5】 、【14】 。航线维护路径问题要求单个飞机飞单个路径以满足维修要求，每一个航班都被分配到一架飞机上。这个问题已经在【19】 、 【 10】 、 【25】中进行了研究。带宽分配问题要求在电信网络中最好的分配带宽，从而最大限度地提高总收入。网络上的需求或呼叫就是商品，目标是将呼叫从其来源地传到目的地。在视频电话会议的情况下，由
7、于不允许呼叫分配，每个呼叫必须在一个网络路径上进行。这个 IMCF 问题在【49】中有描述。快递包裹流量问题例如快递包裹交付业务中的货物，要求每一个具有特定来源和目的地的货物通过运输网络进行运输。具有共同来源的每组包裹可以被认为是一种商品，并且通常为了方便操作并确保客户满意，必须分配到单个网络路径上。这个问题在【12】中被作为 IMCF 问题。数学模型多商品流问题可以通过多种方式进行建模，这取决于如何定义商品。主要有三种情况：第一种是商品可能是从网络节点子集中的一个节点，指向另一个子节点；第二种是它可能从某单一节点，指向网络节点子集中的一个节点；最后一种是它可能从一个单一节点，指向另一个单一节
8、点。某某【34】为每种不同情况提供了不同的模型。为了利益空间最大化，我们只会考虑最后一种情况的模型。其他情况也可以参考这里提出的模型来进行建模。我们就 MCF 问题提供两种不同的公式：一种是节点弧和传统公式，一种是路径或列生成公式。MCF 的定义是由节点集 N 和弧组 A行成的网络 G。MCF 问题中包含决策变量 x，其中 是商品总量 k 中分配给弧 ij 的商品量（表示为 ） 。在 IMCF 问题中，这些变量被限制在二进制下。商品 k 全部分配给弧 ij 的费用等于弧 ij 的单位流量费用的 倍，表示为 。对于所有的 ij 属于集合 A 时，弧 ij 的容量为 。节点 i 提供的商品 k，表
9、示为 ，如果 i 是 k 的起始节点，则等于 1；如果i 是 k 的目标节点，则等于-1，否则等于 0。节点弧 MCF 公式为：minimize (1)由此 (2)(3)(4)注意，在没有限制条件的一般性情况下，我们对弧流量变量 x进行了建模，其值在 O 到 1 之间。为此，我们将每种商品的需求量化为 1，并相应的调整目标函数（ 1）和约束（ 3）中的系数。还要注意这个模型的矩形结构。流量约束条件（2 ）形成了不重叠的区域，每个商品对应一个。只有弧的容量约束条件（3）将不同商品的流量变量的值联系了起来。相比之下，基于路径或列生成的 MCF 公式具有较少的约束条件和更多的变量。再次，潜在的网络
10、G 由节点集 N 和弧集 A 组成，其中 表示商品 k 的数量。 P(k)表示在网络 G 中，k 属于 K 的中所有起始点到目的点的路径集合。在列生成模型中，二进制决策变量表示为 ， 是商品 k 分配到路径 p 属于 P(k)的一部分。将商品 k 全部分ykp ykp配给路径 p 的费用等于路径 p 的单位流量费用乘以 ，表示为 。 ckp表示在路径 p 中，所有的弧 ij 上 费用总和。如前所述，对于ckp 的 ckij所有属于 A 的弧 ij 都有容量 。最后，如果弧 ij 是属于路径 p 属于dijP(k)中的且对于所有 k 都属于 K，则 等于 1; 否则等于 0。pij然后，路径或列
11、生成 IMCF 公式如下：minimize (5)(6)(7)(8)线性规划化问题解决方案【37】提供了可用的多商品网络流解决方案的全面研究资料。【2 】和【38】也提供了这种方法的相关资料。价格指导分配方法，是基于 MCF 模型路径上的方法。为了限制在寻找最优解时考虑的变量的数目，使用了列生成的方法。价格指导分配和列生成方法的更多内容在【22】 、 【 41】 、 【61】 、 【18】 、【45】 中给出。资源指导分配方法是试图通过分配商品，通过弧的容量来解决MCF 问题，并解决每个商品的最小成本问题。在【52】 、 【61 】 、 【27】 、【41】 、 【37】 、 【30 】 、
12、【39 】 、 【35】 、 【60】中可找到关于该方法的附加说明。价格和资源指导分配方法的优劣比较可以在【3】中找到。某某【4 】报告说，专门的分配代码的完成预期可以比一般的线性编程包快三到十倍。此外，某某【7】报告说，资源指导分配算法能够在小问题上快速收敛，但是对于大的 MCF 问题，价格指导分配方法要优于其他方法。某某【56】在有束约束的拉格朗日松弛法中使用次梯度方法，提出了一种能最低成本解决多目标流问题的高级基础方法。划分方法通过对当前主要部分进行划分，以便利用底层网络结构来形成解决这类问题的单纯形方法。已经在【51】 ， 【53 】 ， 【54】 ，【55】 ， 【32】 ， 【43
13、 】 ， 【36 】 ， 【24】等中提供了基础划分方法的研究资料。某某【53】提出了解决角度问题的划分方法。某某【32 】提出了一种广义上的上边界算法，用于解决多商品网络流问题，其中用到了关于 MCF 问题的特殊结构。他们的原始划分程序，是由某某【21】开发的一个专业化的广义上边界程序，该程序在每一次迭代的基础上一个饱和弧只包含有一行逆矩阵。类似地，某某【44】提出了一种通用的网络规划问题的广义上边界算法。所有这些过程都利用了区块对角化问题的结构，并在降维数为 m 的基础上执行了单纯形法的所有步骤，其中 m 表示集合 A 的大小。内点算法和并行计算技术也被应用于 MCF 问题。内点算法为MC
14、F 问题的多项式时间算法。最优的时间约束条件是某某【62】提出的。 某某【58】提供了一种用大规模并行计算技术来解决多商品流问题的内点算法。【17】和【9】中分别提供了原始和双上升式程序，都是解决MCF 问题的新启发式程序。某某【29】使用障碍惩罚法找到多商品问题的近似最优解，而某某【62】则描述了一种算法，解决多商品流问题几乎是可行的。如今，价格指导分配法或列生成法，如【2】 ， 【11 】 ， 【23】 ，【34】 中提出的方法是解决大型线性 MCF 问题时最广泛使用的方法。列生成的一般思想是，在没有明确包含约束矩阵（称为主问题）中所有列（即变量）的情况下，可以得到线性规划问题的最优解。事
15、实上，只有所有列中的小部分将处于最佳解决方案上，所有其他（非基本）列都可以忽略。在最小化问题中，这意味着所有降低成本的列都可以忽略。那么多商品流问题的列生成方法就是：0） RMP 建立。在受限制的主问题中包含一个列的子集，称为限制主问题即 RMP；1） RMP 解决方案。 解决 RMP 线性规划问题；2） 定价问题解决方案。使用解决 RMP 获得的双重变量来解决定价问题。定价问题可以识别一个或多个负成本的列（即价格降低的列） ，或者确定不存在这样的列。3） 最优性测试。如果一个或多个列定价，请将这些列（其中的一个子集）添加到 RMP 中并返回到步骤 1） 否则停止，主问题解决。对于步骤 1）中
16、的任何 RMP，令 表示与约束（ 6）相关联-ij的非负双重变量， 表示与约束（7 ）相关的无限制双重变量。由于k可以表示为 ，商品 k 的 p 列的降低成本 ，是：ckp ijAckijpij ckpqk（9）对于步骤 1）中生成的每个 RMP 解决方案，可以有效地解决步骤 2）中的定价问题。对于每个 ij 属于 A 情况下，可以通过解决在商品 k 属于 K 时的网络中，弧成本等于 时的最短路径的问ckij+ij题，来确定每列的定价。令 表示商品 k 的最终最短路径 。 那p p么，如果所有的 k 属于 K 时：主要问题解决了。否则，MP 没有解决，那对于每个 k 属于 K：路径 被添加到步
17、骤 3 中的限制主要问题中。pP(k)整数规划化问题解决方案有能力解决大型多商品流问题，就有方法解决大型整数多商品流问题。解决大型整数多商品流问题的成功方法是使用基于路径或列生成的方法。列生成的线性规划问题可以使用熟知的分支和价格的方法求解，详见【15 】 、 【64 】 、 【23】 。分支和价格，是一个广义化的分支和线性规划松弛的约束，允许列生成应用于每个节点的分支定界树。当没有列价格进入基础矩阵并且线性规划问题解决方案不能满足完整性条件时，分支就产生了。将标准分支定界程序应用到已有的约束主问题中并不能保证最优解（或可行解） 。在分支修改限制住问题之后，可能存在一种情况，即为主问题提供了有
18、利价格的列，但在限制主问题中却没有。因此，为了找到最优解，我们必须保证在分支后解决定价问题的能力。在【63】 中演示了，航空公司机组排班应用程序解决初始线性规划问题后，生成列的重要性。虽然他们无法找到可行的整数规划问题解决方案，仅使用列生成法解决初始线性规划松弛问题，但他们能够使用分支和价格方法找到质量解决方案用于机组的调度。每当线性规划问题的节点绑定超过预设的整数规划问题目标值时，附加列。执行具有分支和约束的列生成法的难点是常规的整数规划问题在变量上的分支可能无效,，因为固定变量可以破坏定价问题的结构。对于多商品流问题的应用，是需要一个分支规则的，用来确保包含分支决策的线性规划的定价问题可以
19、用最短路径法有效的解决。举例说明一下，考虑到基于变量二分法有分支，其中一个分支将商品K 指派给路径 p，即 =1，另一个分支不允许商品 K 使用路径 p，即y=0。第一个分支很容易执行，因为一旦 k 分配给路径 p，就不需要y生成额外的路径。但是，如果将定价问题作为最短路径问题解决，则无法执行后一个分支。不能保证最短路径问题的解不是路径 p。事实上， k 的最短路径很可能是路径 p。因此，要执行分支决策，必须使用下一个最短路径过程来实现定价问题的解决方案。一般来说，对于涉及一组分支决策的子问题，必须使用第 k 个最短路径过程来实现定价问题的解决方案。开发分支和价格程序的关键是确定一个分支规则，
20、消除当前的分数解，而不会影响定价问题的易处理性。一般来说，某某等人【23】 认为，这可以通过将分支规则基于原始公式中的变量，而不是列生成公式中的变量来实现。这意味着分支规则应该基于问题的节点弧公式中的弧流变量 x。某某【15】为许多不同主问题结构研发分支规则。 他们还调查在文献中出现广泛应用的专业算法。某某【49】提出了带宽包装问题的分支和价格算法。其目的是以最大限度地提高收益的发送一套商品。他们使用基于路径的公式。他们的分支方案选择一个分数路径，并创建一个等于路径长度（以其包含的弧的数量为单位）的新的子问题。在一个分支上，在解决方案中中的路径是固定，在每个分支上，路径上的圆弧是禁止的。为了限
21、制搜索树的时间，他们使用动态最优性容差方案。报告了在多达 29 个节点和 42 个弧以及 93 种商品的网络上有多达 14 个问题的解决方案。除了两个实例外，所有解决方案的值都在最优值的 95%以内。某某【16】考虑将机车头分配给铁路列车的问题。他们将问题模型化为具有侧面约束的整数多商品流问题，并使用 Dantzig-WoIfe分解技术解决问题，其中子问题被制定为约束或无约束的最短路径问题。某某【50】说明了使用随机算法来解决一些整数多商品流问题。他们使用随机取舍程序，给出可靠的良好解决方案，因为它们具有很高的概率接近最优值。某某【12】提出了对一般整数多商品流问题的分支、价格和切割算法，其中
22、每个商品由原始目标对和流量表示。分支和切割是分支和绑定的另一种算法，允许在整个分支和绑定树中添加或减少有效的不等式。分支、价格和切割结合列与生成行在分支界定树的节点上会产生非常强的线性规划松弛。参见：最低成本流量问题；非凸性网络流量问题；交通网络均衡问题；网络位置覆盖问题；最大流量问题；最短路径树算法；斯坦纳树问题；平衡网络；生存网络；定向树网络；动态流量网络；拍卖算法； 分段线性网络流量问题；无方向性多物流流动问题；通信网络分配问题；广义网络；疏散网络；网络设计问题；随机网络问题；大规模并行解决方案。参考文献【1】-【66】(见英文文献 Multicommodity Flow Problems)
