1、第三节 波的能量,在波动过程中，任一介质元将在平衡位置附近振动，故具有动能；同时，弹性介质元在波动过程中因发生形变而具有弹性势能。因此，波的机械能是由动能和弹性势能之和组成的。 波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。,一、波的能量的定量表达,以平面余弦弹性纵波在棒中传播的情形为例，对能量的传播作简单说明。,波动媒质中一体积元 ，长为 ，横截面为S,1）体积元的动能,2）体积元的势能,体积元因长变而具有 弹性势能,据杨氏模量定义和胡克定律,经数学推导可以得到：,3）体积元的总能量,讨论：,（A）波动过程中，体元中的动能与势能“同相”：同时达到最大，同时达到最小。,(注意与振动能量
2、相区别),动能、势能 同时达到最大值、最小值。,以横波为例定性说明,从能量的角度看波动和振动的区别,在简谐振动系统（孤立的系统）中，动能和势能有 的相位差，即动能达到最大时势能为零，势能达到最大时动能为零，两者互相转化，使得系统的总机械能保持守恒。,在波动过程中，每个质点尽管也是处在振动状态，但是这个振动系统并不是孤立系统。每个质元动能和势能的变化是同相位的。同时达到最大，同时达到最小，当此体积元的机械能达到零时，表明它已经把全部机械能传递给邻近的下一个体积元。接下来它又要从上一个体积元接收机械能，此能量由波源提供。质元随时和外界作能量的交换和传递。沿着波动的传播方向，该体积元不断从后面的介质
3、获得能量，又不断地把能量传递给前面的介质。随着波的行进，从介质的这一部分传向另一部分，所以，波动是能量传递的一种方式。,判断,质元A （填吸收、释放）能量 质元P （填吸收、释放） 能量 质元B （填吸收、释放） 能量 质元Q （填吸收、释放）能量,与弹簧振子能量不同，总机械能并不是常量，它随时间周期变化的。在波传动过程中，任意体积元（非孤立系统）的能量不守恒。,在有波传播的细棒中有能量在传播。能量以速度 u 传播。能量的传播速度和传播方向与波的传播速度和传播方向总相同。,(C) 波的传播过程也是能量的传播过程。 行波：既传播振动形式又传播振动能量（与驻波区别）,讨论：,问题：如何描述波的能量
4、,把波的传播看成能量的传播，就可以不妨把波动过程看成一种能量的流动,描述能量流动的物理量 能量密度：单位体积中所具有的能量（水量） 平均能量密度 能流 平均能流 能流密度（波强）,描述水流动的物理量,水的流动,能量密度 单位体积介质中所具有的波的能量。,平均能量密度 能量是周期函数，一个周期内能量密度的平均值。,二、能量密度,物理意义：能量密度描述了介质中各点能量（即振动能量）的分布,能量密度表示某一时刻质元所具有的机械能的大小 但并没有反映能量是如何传播的 或者质元能量是如何变化的 为此引入能流密度来说明能量在媒质中的传播,记作,当媒质中有波传播时，任取一截面，单位时间通过该截面的能量称作通
5、过该面积的能流,三、波的能流和能流密度,能流的计算,以平面简谐波为例,设一平面简谐波沿 x 方向传播，如图,在媒质中垂直波传播方向距离原点 x 处 取一面积 S ，考虑 dt 时间通过面积 S 的能量,在面积 S 后做一方体，侧面积为 S，宽为 udt,dt时间通过面积 S 的能量就等于方体中的能量,设能量密度为 ，方体的体积为 s udt 方体中的能量 Sudt， 所以 dt 时间通过面积 S 的能量,单位时间通过面积 S 的能量能流,dt 时间通过面积 S 的能量,讨论：1. 能流P 和能量密度 一样，是随时间周期性地变化2.能流越大，单位时间传播过横截面的能量越大,能流密度,通过垂直波传
6、播方向的单位面积的平均能流称作能流密度,平均能流：在一个周期内能流的平均值。,能流密度（波的强度）： 即单位时间内通过垂直于波动传播的方向的单位面积中的平均能量。即在单位面积上波动的功率。,注意：定义中出现了对方向的要求，即能量密度是个矢量。有时称为波的强度，则是只取其大小，也就是说成了一个标量。,例 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。,分析平面波和球面波的振幅,证明：,在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等,平面波振幅相等，波的强度相同。,对平面波：,分析平面波和球面波的振幅,证明：,在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等,球面波振幅与距离成反比。,对球面波：,
