1、1,5 角动量 角动量守恒定律,5.1 质点的角动量 角动量定理,定义:,- 质点对参考点O的质点角动量 或 质点动量矩,大小：,方向：垂直 组成的平面,质点以角速度 作半径为 的圆运动，相对圆心的角动量,5.1.1、质点的角动量,只有动量横向分量具有角动量，说明角动量是描述旋转强弱的物理量,例：自由下落质点的角动量,任意时刻 t， 有,（1） 对 A 点的角动量,（2） 对 O 点的角动量,5,: 力臂,刚体绕 O z 轴旋转 作用在点 P , P 的径矢 .,对转轴 Z 的力矩,一 力矩,5.1.2、质点的角动量定理,6,刚体内作用力和反作用力的力矩,O,（一对内力）,互相抵消,7,2）合
2、力矩等于各分力矩的矢量和,其中 对转轴的力 矩为零，故 对转轴的力矩,8,质点的角动量定理,质点对某固定点所受的合外力矩 等于它对该点角动量的时间变化率,二、质点的角动量定理,或,冲量矩,对同一参考点O,质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。,9,5.1.3、质点角动量守恒定律及其应用,则,或,若对某一固定点，质点所受合外力矩为零, 则质点对该固定点的角动量矢量保持不变。,若,质点做匀速直线运动中，对O点角动量是否守恒？,例：,质点的角动量定理,10,证明关于行星运动的开普勒定律:任一行星和太阳之间的联线, 在相等的时间内扫过的面积 相等, 即掠面速度不变.,1)行星对太阳O的角动量的大小为,
3、其中,是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.,表示,时间内行星所走过的弧长, 则有,若用,表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有,用,证明,11,其中 d /dt 称为掠面速度.,由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是等于零, 所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运动, 而且,这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律.,(2) 角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构,天体系统的旋转盘状结构,5.2 质点系角动量,5.2.1、质点系角动量 选原点 O,0,C质心,以上两式先后代入前式,质心相对于 c 的位矢=0,质心在 c,自旋角动量 也叫固有角动量,例,地球绕
4、太阳转 . 电子绕原子核转,轨道角动量,分离出系统; 代表系统内的质点, 代表系统外的质点.,0,质点系的角动量定理,对应,5.2.2、质点系的角动量定理,5.2.3、质点系的角动量守恒定律;,讨论; 1)不要求系统孤立,只要求2)矢量式有3个分量式,即 的某个分量=0,则相应角动量的分量守恒3) 系统守恒条件;,17,当木块静止于A 处时, 弹簧保持原长, 设一质量为 m 的子弹以初速 v0 水平射向 M 并嵌在木块中. 当木块运动到 B (OBOA)时, 弹簧的长度为L.,求木块在B点的速度 vB 的大小和方向.,解:,m和M相撞时,系统的动量守恒,例. 光滑水平桌面上放着一质量为M的木块
5、, 木块与一原长为L0, 劲度系数为k的轻弹簧相连, 弹簧另一端固定于O点.,18,解:,AB, 只有弹力作功, 机械能守恒,AB, 弹力对O点的力矩为零, 对O点角动量守恒,5-3.刚体的定轴转动,A,B,A,B,B”,A”,1.平动:,在运动过程中若刚体上的任意一条直线在各个时刻的位置都相互平行,任意质元运动都代表整体运动,2. 转动、定轴转动,刚体所有质元都绕一固定直线做圆周运动, 该固定直线称为刚体定轴, 这种运动称为刚体的定轴转动,刚体的运动 平动+转动 只研究刚体绕定轴转动,5.3.1 刚体的平动和定轴转动,5.3.2 刚体定轴转动的角量描述,1) 角位移 : 在 t 时间内刚体转
6、动角度,2)角速度 :,3)角加速度 :,z,刚体定轴转动,角速度,的方向按右手螺旋法则确定,切向分量,法向分量,z,O,4. 线量与角量关系,匀变速定轴转动,刚体到转轴的转动惯量,5.4 刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒,5.4.1 对定轴的力矩和角动量,质点系的角动量定理,Z轴分量,质元,对O点的力矩,（垂直z轴）,（垂直z轴）,5.4.2 定轴转动刚体的角动量守恒,角动量定理,1 质点,由,微分式,积分式,2 质点系,由,微分式,积分式,3 定轴转动刚体,积分,这里,定轴转动刚体角动量守恒,25,5.5.1 刚体的转动定律,2）刚体,质量元受外力 ，内力,1）单个质点 与转轴刚性连接
7、,外力矩,内力矩,5.5 定轴转动刚体的转动定律，转动中的功和能,26,刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .,转动定律,转动惯量,其中,27,转动惯量的物理意义:,1. 刚体转动惯性大小的量度,2. 转动惯量与刚体的质量有关,3. J 在质量一定的情况下与质量的分布有关,4. J 与转轴的位置有关,5.5.2、转动惯量的计算,对质量连续分布刚体,线分布,面分布,体分布,转动惯性的计算方法：,质量离散分布刚体,28,例: 一均匀细棒长 l 质量为 m,1) 轴 Z1 过棒的中心且垂直于棒,2) 轴 Z2 过棒一端且垂直于棒,求: 上述两种情况下的转动惯量,
8、o,Z 1,解: 棒质量的线密度,所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义,l,29,例:,匀质圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量 如下图:,解:,圆盘半径为 R,总质量为 m .,设质量面密度,例:,匀质圆环半径为 R,总质量为 m,求绕垂直于环面通过中心轴的转动惯量 如下图:,Z,R,dm,解:,z,R,r,dr,dm,dS,m,例 求一质量为m的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。,解：一球绕Z轴旋转，离球心Z高处切一厚为dz的薄圆盘。其半径为,其体积：,其质量：,其转动惯量：,Z,均匀圆盘绕直径的转动惯量,均匀圆环绕垂直于圆面通过圆心的轴,均匀球绕直径的转动惯量,均匀薄球壳绕直径的
9、转动惯量,均匀圆盘绕垂直于盘面且通过中心的轴,3) 有关转动惯量计算的几个定理, 平行轴定理,z,h,式中:,是通过 质心 轴的转动惯量,m 是刚体质量, h 是 c 到 z 的距离,是平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量, 垂直轴定理,0,对于薄板刚体,C,薄板刚体对 z 轴的转动惯量,等于对 x 轴的转动惯量,与对 y 轴的转动惯量,之和, 转动惯量叠加, 如图,z,式中:,是A球对z轴的转动惯量,是B棒对z轴的转动惯量,是C球对z轴的转动惯量, 回转半径,任意刚体的回转半径,式中: J 是刚体关于某一轴的转动惯量,m 是刚体的质量,B,例:,G 不是质心,C,G,平行轴定理证明： 1）薄板
10、,质心的位矢,质心相对于质心,2）任意体；证明方法相同，但要利用,35,已知：,匀质杆M,子弹m,水平速度,求：,射入不复出,解：,对M m系统,系统角动量守恒,匀质杆的质心速度,设杆长为,系统动量守恒,对否？,O,M,m,c,36,37,例3：一匀质细棒长为2L, 质量为m,以与棒长方向相垂直的速度V0在光滑水平面内平动时,与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰橦,碰橦点位于棒中心的一方(1/2)L处,如图所示,求棒在碰橦后的瞬间绕O点转动的角速度.,解： 碰橦前瞬间,杆对O点的角动量为,式中为杆的线密度,碰橦后瞬间,杆对 O点的角动量为,碰橦前后角动量守恒,刚体定轴转动定律的应用,已知：
11、,滑轮M（看成匀质圆盘）半径R,物体 m1 m2,求：,a =?,a,m1g,m2g,T,解：,对否？,T1,T2,T,否则滑轮匀速转动，而物体加速运动,T1,T2,转动定律,线量与角量关系,M,1.,已知：,2.,匀质杆m,长,下落到时,求：,解：,C,转动定律,质心运动定理,质心运动定理,例： 如图，质量为m，长为l 的均匀直棒用轻绳悬挂起来，棒静止不动。现突然把其中的一根绳子剪断，求剪断瞬间，另一根绳子中的张力。,解:,例：用轻质细绳将小球P拴于铅直细杆AB上的B点。给小球以初速度v0，v0的方向垂直于AB平面，小球运动使细线逐渐缠绕于AB杆上。初始时，小球与杆的距离为q0，求距离为q1
12、时小球的速率。,解：,Z 轴方向上角动量守恒,例）质量为M、半径为R的转台，可绕通过中心 的竖直轴转动。质量为m的人站在边沿上，人和转台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，求对地而言，人和转台各转动了多少角度？,已知：,求：,解：以M。m为研究对象,故角动量守恒,以地面为参照，建立轴的正方向如图：,M,m,因人和台原来都静止 故角动量（初始时刻）,（2）式dt积分：,M,m,若人和转台的角速度分别为,M,m,A,A,m,例：质量为M，半径为 R 的水平均匀圆盘，可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动，盘上有一质量为m的昆虫。,解:,(1) 角动量守恒,(1)初始时，昆虫与盘均静止，问昆虫沿盘的边缘爬
13、动一周时，盘相对地面转过的角度有多大？,(2)初始时，昆虫位于盘中心，盘以角速度w0转动,昆虫沿盘的一条直径以恒定的速率u向盘的边缘爬去，问昆虫爬到盘的边缘时，盘相对地面转过的角度有多大,(2),例：长为l 的均匀细杆。当杆静止于水平位置时, 有一只小虫以速率 垂直落在距点O为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为m. 问:欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率向细杆端点爬行?,解:,由角动量定理,例4 M 由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的一端A,并把跷板另一端的N 弹了起来.设跷板是匀质的,长度为l,质量为 ,跷板可绕C 在竖直平面内转动,人
14、的质量均为m.假定M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问N可弹起多高?,解 碰撞前 M 落在 A点的速度,碰撞后的瞬间, M、N具有相同的线速度,把M、N和跷板作为一个系统, 角动量守恒,解得,演员 N 以 u 起跳, 达到的高度,陀螺仪,若转子稍不对称, 就会对各个支撑轴产生巨大的作用力使其损坏, 所以设计转子精度要高.,应用: 航海、航空、导弹和火箭等系统的定向、导航和自动驾驶等.它们的转子速度达万转每分;,常平架陀 螺 仪,角动量守恒使地球自转轴的方向在空间保持不变,因而产生了季节变化.,、直升飞机后面的螺旋浆,双浆直升飞机,被 中 香 炉,惯性导航仪（陀螺）,角动量守恒定律在技
15、术中的应用,应用: 航海、航空、导弹和火箭等系统的定向、导航和自动驾驶等. 它们的转子速度达万转每分;,若转子稍不对称, 就会对各个支撑轴产生巨大的作用力使其损坏, 所以设计转子精度要高.,55,力矩的功,一 力矩作功,二 力矩的功率,5.5.3 转动的功和能,56,三 转动动能,四 刚体绕定轴转动的动能定理,合外力矩对绕定轴转动的刚体 所作的功等于刚体转动动能的 增量 .,57,五. 刚体的重力势能,刚体的重力势能就是它的各质元重力势能之和。,根据质心定义，刚体质心的高度应为,所以刚体势能写成,一个不太大刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心时具有的势能一样。,六. 机械能守恒定律,对于定轴
16、转动刚体，只有保守力做功时，机械能 保持不变。,即,58,应该：,【答】,59,应该,【答】,60,第3题. 两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮的轻绳的一端如图，他们起初都不动，然后右边的小孩用力向上爬绳，另一个小孩仍抓住绳子不动。忽略滑轮的质量和轴的摩擦。问：哪一个小孩先到达滑轮？,设滑轮半径为R，两小孩 的质量分别为m1、m2，,【解】,把小孩看成质点， 以滑轮中心为“固定点”，,m1= m2,61,对“m1+m2 + 轻绳 + 滑轮”系统：,外力：,条件：,所以角动量守恒,设两小孩分别以 速度上升。,设角动量以指向纸内为正。,（指向纸内）,（指向纸外）,62,系统的角动量守恒：,爬与不爬，
17、两小孩同时到达滑轮！,有人说该系统机械能守恒，对不对？,有人说该系统动量守恒，对不对？,思考：,（启动前）,（启动后）,不对。,不对。,63,系统所受的合外力矩为,由角动量定理,初始时小孩未动， 。,系统总角动量,若,有,轻的升得快；,以向纸内为正,轻的升得快。,则,64,当较轻的人爬到滑轮处，较重的人离滑轮还有多高 的距离？,若开始时离滑轮的距离均为 h 。,设 m : 较轻人的质量， m+M : 较重人的质量。,由牛顿第二定律，得,整理得,65,对 t 积分,再对 t 积分,解得,即是较重的人离滑轮的距离。,一）何谓进动（旋进）,陀螺的运动,进动演示仪的运动,G远离O点，从顶部看顺时针转动
18、,G靠近O点，从顶部看逆时针转动,进动（旋进）,二）进动（旋进）的解释,结论：1）旋进的角速度的大小,2）旋进的角速度的方向满足,利用质点系对 固定点的角动量定理,在陀螺的自转轴有一倾角时,陀螺受的重力 产生的对o点的力矩为,（方向向里）,的方向也向里,并且在水平面内,如图。,如连续画下去，可以看 到角动量矢量的端点， 绕竖直轴作圆周运动， 这就表现出进动现象。,所以，进动现象正是自旋 的物体在外力矩的作用下 沿外力矩方向改变其角动量矢量的结果。,计算进动的角速度：,设角动量矢量的 端点 dt 时间内、 在水平面内转过 d角，则有,进动的角速度,讨论：，与实际符合。,以上只是近似讨论， 因为当进动发生后：,刚体的角动量应该是,注意,此处，M外是重力矩：,假如转速不大，以上条件不成立， 则陀螺在进动时还会摆动。,这种摆动称为 “章动”（情况比较复杂）。,应用举例:,炮弹的飞行;,轮船的转弯问题,只有高速自转,小结；重要实验,角动量，角动量守恒定律,推广到质点系,轨道 自旋 固有,力矩,质点组的角动量定理,当,应用到刚体定轴转动,起作用的是,去掉脚标,到轴的距离,定义；,角动量定理；,角动量守恒定理；当,的计算非常重要,对复合刚体,刚体定轴转动定理,旋进（进动）,
