1、浅谈如何把函数的性质呈现在图象上浙江省湖州中学 顾钰萍华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。 ”数形结合是高中数学的重要方法之一。函数的图象作为函数性质的充分体现，更是与函数本身的性态密不可分。解函数题时，如何有效地把已有的信息呈现在图象上，对函数其他性质的了解和探究是很重要的。函数这一章是高中数学第一册第二章的内容，这已经充分说明了函数的重要性，有了函数这个知识基础，学生才能很好的去学习数列、三角函数、极限、导数等章节的内容。在初、高中教材中明确给出了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的图象和性质，利用
2、这些知识学生已经可以解决大部分问题。但是随着新课改在教学中的全面实施，一些开放性的题目越来越多的出现在我们的教学和练习中。学生遇到的有一些函数是从来没有遇到过的，几乎无法准确地画出其图象，但如果能把函数的定义域、奇偶性，周期性等性质正确地体现在学生自己假设的图象上，那么即使图象比较粗糙，对解题无疑也是一种很大的帮助。比如这样一个例题：已知函数 是定义在 上的奇函数且 ，在()fxR(3)0f上 是增函数，求使得 的 的取值范围。 （ 0， +） ()fx0本题难度不大，如果学生对函数性质有很深刻的理解，那么不用画图象也可以解决。但是如果能够把函数的这些性质呈现在图象上，那整个题目的意思就更加清
3、晰可见了。分析：由题意，函数 在 上是奇函数且在()fxR（ 0， +）上是增函数，故函数在 也是增函数，且 ，0（ -， ） ()f， ，则函数的大致图象如右图所示。(3)0f()f故使得 的 的取值范围是 。x30， ，类似能够体现函数图象优越性的题目处处可见，再如这样一个例题：函数 是定()fx义在 上的偶函数，已知 且在 上函数的解析式为 ，R(3)(1)fxf4， 62若函数 在区间 上的反函数为 ，求 。()fx-2,0x1(32)f本题难倒了不少成绩相对来说还算是比较好的学生，主要原因不在于题目本身的难度有多大，而是题目给出的信息太多，学生一时不知道怎么把这些信息整合起来。但事实
4、上，我们只要一步一步的把这些信息呈现在图象上，那思路就很清晰了。xy30-3分析：由题意，我们可以先画出函数在 上的图象，这是指数函数图象的一部分。又4， 6因为 ，所以函数的周期是 4，那么就能画出函数在 上的图象。另(3)(1)fxf 0,2外函数 是定义在 上的偶函数，所以函数的图象是关于 轴对称的，这样在Ry上的函数图象也就能画出来了。那么在 上使得函数值为 32 的自变量 的值-2,0-2,0x也就能够求得了。其实很多学生都明白函数图象的作用有多大，只是苦恼于不能准确地把函数的图象表示出来，比如 1998 年全国高考数学第(10)题：向高为 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 与水深
5、 的函数关系的图象如图HVh所示，那么水瓶的形状是下列哪一个：本题是在学生只学过柱体和锥体的体积的认知基础上提出的，如果一定要通过先求出注水量 关于水深 的函数解析式来画出函数的图象的话，那对很多学生来说难度就太Vh大了，一般学生只能求出第四个水瓶的相关解析式。如果得不到函数的解析式，我们研究一下能不能通过对以下几个方面的考察来刻画函数的图象：（1） 函数的定义域；（2） 函数的单调性；（3） 注水量 关于水深 变化的快慢程度（即注水量 关于水深 的导数的变化VhVh趋势。 ）分析：易知四个水瓶对应函数的定义域均为 ，而且都是单调递增的，唯一不同的0H，是注水量 关于水深 变化的快慢程度。h由
6、水瓶的形状，我们可以发现第一个水瓶当 越大时 变化越快，也就是说 越大0hV0h对应的值 越大，所以函数 对应的曲线在点 处的切线的斜率随()Vh0() ()V0(,)h的增大而增大。故函数图象如图所示：0H0Vh同理，第二个水瓶对应的函数曲线在点 处的切线的斜率随 的增大而减小，0(,)hV0h但始终大于 0。第三个水瓶对应的函数曲线在点 处的切线的斜率随 的增大先0(减小后增大，但始终大于 0。而第四个水瓶对应的函数则是 关于 的正比例函数。故函数图象分别如下：（注：本题各水瓶底面积之间没有必然关系，故它们的值域之间也没有必然关系）中学课本上介绍的简单函数毕竟是有限的，遇到不太熟悉的函数时
7、只能用描点作图法画出一些简单函数的图象。一般说来，这样的图象比较粗糙，很难确切的反映函数的性态。以一个高三学生的认知水平为基础，我们可以来总结一下作函数图象的一般程序：（1） 求函数的定义域；（2） 考察函数的奇偶性、单调性；（3） 求函数的某些特殊点，如与两个坐标的交点，不可导点等；（4） 确定函数的单调区间，极值点，凸性区间等；（5） 考察渐近线；（6） 综合以上讨论结果画出函数的图象。这里难度稍大的也就是函数的凸性区间的考察，其实学生在解题时已遇到过这样的题目，并非单纯的只是高等数学的知识。比如上面有关水瓶注水的问题就是一个考察凸性区间的问题。简单地说，如果函数 是在区间 上可导的增函数
8、，且 是增函数，则称其为()fxI()fx凸的增函数，图象如下：如果函数 是在区间 上可导的增函数，且 是减函数，则称其为凹的增函数；()fxI()fxH0VhH0VhH0Vh H0Vh0yx如果函数 是在区间 上可导的减函数，且 是增函数，则称其为凸的减函数；()fxI()fx如果函数 是在区间 上可导的减函数，且 是减函数，则称其为凹的减函数。()fI()f以函数 的图象为例：32()fx分析：函数的定义域为 ， 。故 和 是函数的增区间，R2()3fx2,30,是函数的减区间。 是极大值点，0 是极小值点。其中 是凹增区间，2,032,3是凸增区间， 是凹减区间， 是凸减区间。且,213， 103，。4(0),(),()07fff则我们可以作出其图象大致如下： 画出了函数 的图象，那么对其它的一些问题就可以通过对图象的考察32()fx来解决了。在研究函数性质时，我们不是非得画出函数的图象才能解决问题，但如果能按照函数已知的性质画出函数的图象，那对函数性质的进一步研究将有很大的帮助。参考文献：1 华东师范大学数学系.数学分析.北京：高等教育出版社，20012薛金星等.中学教材全解.陕西人民教育出版社。0yx 0yx0yxxy0-13天利 38 套高考真题汇编.西藏人民出版社。4岳作仁等.新课程解题方法.山西教育出版社，2006
