1、第三节 按时间抽选的基2-FFT算法,1、算法原理,设输入序列长度为N=2M(M为正整数，将该序列按时间顺序的奇偶分解为越来越短的子序列，称为基2按时间抽取的FFT算法。也称为Coolkey-Tukey算法。,其中基2表示：N=2M，M为整数.若不满足这个条件，可以人为地加上若干零值（加零补长）使其达到 N=2M。,先将x(n)按n的奇偶分为两组，作变量置换:当n=偶数时，令n=2r;当n=奇数时，令n=2r+1;,分组，变量置换,2、算法步骤,得到：,带入DFT中,所以,由于,?,X1(k)、X2(k)只有N/2个点，以N/2为周期；而X (k)却有N个点，以N为周期。要用X1(k)、X2(
2、k)表达全部的X (k) 值，还必须利用WN系数的周期特性。,又考虑到 的对称性：,有：,蝶形运算流图符号,说明：(1) 左边两路为输入(2) 右边两路为输出(3) 中间以一个小圆表示加、减运算（右上路为相加输出、右下路为相减输出),1个蝶形运算需要1次复乘，2次复加,运算量减少了近一半,分解后的运算量：,先将N=8点的DFT分解成2个4点DFT： 可知：时域上：x(0),x(2),x(4),x(6)为偶子序列x(1),x(3),x(5),x(7)为奇子序列频域上：X(0)X(3)，由X(k)给出X(4)X(7)，由X(k+N/2)给出,例子：求 N=23=8点FFT变换 按N=8N/2=4，
3、做4点的DFT：,N=8点的直接DFT的计算量为：复乘：N2次 = 64次复加：N(N-1)次 = 87=56次,此外，还有4个蝶形结，每个蝶形结需要1次复乘，2次复加。 一共是：复乘4次，复加8次。,得到X1(k)和X2(k)需要：复乘：(N/2)2+ (N/2)2次 = 32次复加：N/2(N/2-1)+N/2(N/2-1) =12+12 =24次,用分解的方法得到X (k)需要：复乘：32+4 = 36次复加：24+8 = 32次,N点DFT的一次时域抽取分解图(N=8),因为4点DFT还是比较麻烦，所以再继续分解。,若将N/2(4点)子序列按奇/偶分解成两个N/4点(2点)子序列。即对
4、将x1(r)和x2(r)分解成奇、偶两个N/4点(2点)点的子序列。,那么，X1(k)又可表示为,X2(k)也可以进行相同的分解：,注意：通常我们会把 写成 。,N点DFT的第二次时域抽取分解图(N=8),8,8,N点DITFFT运算流图(N=8),3、DITFFT算法与直接计算DFT运算量的比较,1)、N=2M的DFT运算可分成M级，每一级有N/2个蝶形，每个蝶形有一次复乘两次复加。,2)、所以M级共有 次复乘和 次复加。,3)、若直接计算DFT，需N2次复乘和N(N-1)次复加。,显然，当N较大时，有：,FFT算法与直接计算DFT所需乘法次数的比较曲线,4、DITFFT的运算规律及编程思想
5、,FFT的每级（列）计算都是由N个复数数据（输入）两两构成一个蝶型（共N/2个蝶形）运算而得到另外N个复数数据（输出）。,当数据输入到存储器以后，每一组运算的结果，仍然存放在这同一组存储器中直到最后输出。,例：将x(0)放在单元A(0)中，将x(4)放在单元A(1)中，W80放在一个暂存器中。,将x(0) + W80x(4) 送回A(0)单元,将x(0) - W80x(4) 送回A(1)单元,1） 原位运算 (亦称同址计算),回顾：N点DITFFT运算流图(N=8),如上所述，N点DITFFT运算流图中，每级都有N/2个蝶形。每个蝶形都要乘以因子WNP，称其为旋转因子，p称为旋转因子的指数。,
6、2)旋转因子的变化规律,观察FFT运算流图发现，第L级共有2L-1个不同的旋转因子。N=23=8时的各级旋转因子表示如下：,L=1时，WNp=WN/4J， N/4 =21 =2L， J=0 L=2时， WNp =WN/2J， N/2 =22 =2L， J=0，1 L=3时， WNp =WNJ， N =23 =2L， J=0，1，2，3,对N=2M的一般情况，第L级的旋转因子为：,设序列x(n)经时域抽选(倒序)后，存入数组X中。如果蝶形运算的两个输入数据相距B个点，应用原位计算，则蝶形运算可表示成如下形式：,下标L表示第L级运算，XL(J)则表示第L级运算后数组元素X(J)的值。,3) 编程思
7、想及流程图,4）码位倒序,由N=8蝶形图看出：原位计算时，FFT输出的X(k)的次序正好是顺序排列的，即X(0)X(7),但输入x(n)都不能按自然顺序存入到存储单元中，而是按x(0),x(4),x(2),x(6) ,x(1),x(5),x(3),x(7)的顺序存入存储单元，即为乱序输入，顺序输出。这种顺序看起来相当杂乱，然而它是有规律的。即码位倒读规则。,以N=8为例：,看出：码位倒读后的顺序刚好是数据送入计算机内的顺序。,倒序规律,对于数N，在其二进制最高位加1，等于加N/2。,若已知某个反序号为J，为求下一个反序号，可先判J的最高位：1) 若为0，则把该位变成1（即加N/2）就得到下一个反序号，2) 若为1，则需判断次高位： 若次高位为0，则把最高位变0（相当减去N/2）后，再把次高位变1（即加N/4）。 若次高位为1，则需判断次次高位,分析：,倒 序 排 列 算 法 的 流 程 图,
