1、1,7.3 普兰特泰勒类比,对于Pr与1差别较大的流体，应用雷诺类比会产生 较大的偏差普兰特泰勒修正了雷诺类比，提出一个“两层模 型”，即整个边界层分为湍流中心和层流内层，如图所示,2,假设湍流中心的流体微团仅能到达层流内层的边缘；层流内层中为分子传递 动量传递与热量传递的类比：设层流内层边缘处流体速度为ui，温度为i = ti - tw； 边界层外缘处流体速度为u，温度为 = t - tw。 令或或,3,(1) 层流内层为分子传递其中L为层流内层厚度，由于L极小，故，q qw， w，则(2) 在湍流中心，若单位时间、单位面积上边界层外缘与层流内层外缘交换的质量为M，则交换的热量和动量分别为：
2、,4,则 (3) 在湍流中心与层流内层的交界处，必有因，,5,所以化简得，(A) 即为消去一未知数b，求解a,b关系式(A),6,最后可推导出或 以上为动量传递和热量传递的普兰特泰勒类比式。,7,同理可以推导出动量传递与质量传递的普兰特泰勒类比式。亦可将St准数换成St准数，Nu换成Sh，Pr换成Sc，即 在上述各式中，只要确定了a值，就可以由f计算h和kc0。,8,对于园管内的流体流动，可以推导出 所以从上述各式可以看出，当Pr = 1，Sc = 1时，它们与雷诺类比式相同。,9,尽管普兰特泰勒类比可用于Pr，Sc偏离1的场合， 但它仍为一个简化的模型，其适用条件为：Pr范围为 0.7 到
3、1020Sc范围为 0.7 到 1020,10,7.4 冯卡门类比 三层模型,雷诺类比和普朗特-泰勒类比均未考虑湍流边界层中过渡层的影响，冯卡门提出了三层模型，将湍流传递过程中的边界层划分未三个区域：即层流内层、过渡层和湍流中心。,11,在层流内层，仅考虑分子传递，即在湍流中心，忽略分子传递，仅考虑涡流传递，即在过渡层中，既考虑分子传递又考虑涡流传递，即,12,三个假设： 由于层流内层厚度L和过渡层厚度 B远小于管子内半径ri，故层流内层外缘和缓冲层外缘处的动量通量均可近似用壁面处的剪应力w表示；稳态传热下，通过层流底层、缓冲层和湍流中心的热量通量均可近似用壁面处的热量通量表示，即qL,y=
4、qT,y= qB,y= qw并假定涡流扩散系数和涡流热扩散系数相等，即e = e,13,在上述前提下，分别求得层流内层、缓冲层和湍流中心的温度差，再将各层的温度差相加，得出湍流中心至管内壁面的总的温度差，最终根据总的温度差导出冯卡门类比的表达式。冯卡门类比模型结构示意图,14,(1) 层流底层的温度差tL 对式积分可得其中层流内层厚度于是,15,(2) 缓冲层的温度差tB 对式积分可得为求得e，由得,16,再由前面章节中和导得缓冲层中的通用速度分布式u+=5lny+ 3.05，得到,17,从而得代入上述e公式中得 故,18,(3) 湍流中心的温度差tT湍流中心的温差与前述Prandtl两层模型
5、一样，可表示为式中uB为湍流中心与过渡层交界处的流速，由 可得,19,(4) 总的温度差 (5) 传热膜系数将摩擦因子的定义式,20,代入上式，并整理可得或上式称为传热的冯卡门类比。对于传质过程，参照传热的冯卡门类比的推导步 骤，可以导出传质的冯卡门类比，即,21,对于圆管内湍流，式中的平均速度与最大速度的比 值uav/umax一般可取为0.871，实际上其值随雷诺数略有变 化。冯卡门类比既可用于圆管内，亦可用于平壁。当用 于平板时，将管中心的速度、温度和浓度分别改用边界 层外的速度、温度和浓度，故平板上传热和传质的冯卡 门类比分别为：,22,式中引入的是平壁湍流的平均摩擦因子，故所得传热系数
6、、传热的斯坦顿数以及传质系数和传质的斯坦顿数均为平均值；若式中引入局部摩擦因子fx，则式中的h、St以及k0C和St 均需分别用离平壁前缘x处的局部值hx、Stx以及k0Cx和St x代替。,23,在推导冯卡门类比时，层假定通过层流底层、缓冲层和湍流中心的动量通量、热量通量均等于壁面处的动量通量、热量通量，对于动量通量、热量通量和质量通量沿径向改变的圆管内的流动、传热和传质过程，显然具有一定的误差。又和普朗特-泰勒类比一样，忽略了层流底层中涡流传递以及湍流中心分子传递的作用。故冯卡门类比仍然不能确切地反映真实情况。在Pr=0.46324范围内，冯卡门类比的计算结果与试验数据比较，误差为20%。
7、当Pr=1和Sc=1时，冯卡门类比的结果和雷诺类比完全相同。,24,7.5 柯尔邦类比,柯尔邦研究大量对流传热对流传质压力降 的实验数据，得出关联传热系数、传质分系数和摩擦因子的关联式。管内湍流摩擦因子,25,管内湍流传热将上式两侧同除以RePr1/3，得所以,26,上式左侧可以改写为则 jH 称为传热的j 因子。,27,同理可得 传质分系数和摩擦因子的关系式或式中jM称为传质的j 因子。,28,广义柯尔邦类比柯尔邦类比的适用范围注意：当Pr = 1, Sc = 1时，柯尔邦类比与雷诺类比一致。,29,7.6 不稳定条件下的三传类比 稳态条件下的三传类比来源于概念、物理规律、公式的一致性。同理，非稳态传递也存在类似的规律。现以半无限厚介质的非稳态传递为例；,30,7.6.1, 微分方程及其解,31,32,7.6.2 动量与热量传递的类比动量： 热量：则,33,两式相比则或,34,7.6.3, 动量与质量传递的类比 与上述同理，由及 可得 或,35,半无限厚介质的广义类比式为,
