1、数学实验,第十章,线性规划,10. 1 引例,如果每天可供使用的劳动力为150h，可供生产的原材料为200kg，试制定生产计划使总利润最大，并求各种产品的日产量。,引例1 已知某工厂利用两种资源劳动力和原材料生产A、B、C三种产品的数据如下：,1. 问题分析,设xA，xB，xC分别表示 A，B，C三种产品的日 产量，由已知数据可得,7xA+3xB+6xC150 (1),4xA+4xB+5xC200 (2),xA，xB，xC0 (3),z=4xA+2xB+3xC,2. 模型建立,显然，满足条件(1),(2)和(3)的变量xA, xB, xC的取值可以有多种方法。而工厂的目标是在不超过所有资源限量
2、的条件下，得到最大的利润，即使目标函数z具有最大值。因此问题变成： 求xA, xB, xC ，使得,max z=4xA+2xB+3xCs.t. 7xA+3xB+6xC1504xA+4xB+5xC200xA，xB，xC0,引例2 某广告公司想在电视、广播和杂志上做广告，其目的是尽可能多地招揽顾客。已知市场调查的结果如下：,广告公司的期望,1. 广告的总费用不超过800(千元) 2. 要达到以下效果： (1)至少要有200万妇女收看广告； (2)电视广告费用不超过500(千元)； (3)电视广告白天至少播出3次，最佳时间至少播出2次； (4)通过广播、杂志做的广告要重复5到10次。,总广告经费的约
3、束条件,1. 问题分析,受广告影响的女顾客数的约束条件,电视广告的约束条件,广播和杂志广告的约束条件,受广告影响的顾客的总数,40x1+75x2+30x3+15x4800(总经费),设x1,x2,x3,x4分别表示 白天电视、最佳时间 电视、广播、杂志广 告次数，则,300x1+400x2+200x3+100x42000(女顾客数),40x1+75x2500，x13，x22(电视),z=400x1+900x2+500x3+200x4 (总人数),5x310，5x410(广播杂志),2. 模型建立,由问题分析可知引例2的问题变成：求x1,x2,x3,x4 使得,max z=400x1+900x2
4、+500x3+200x4,s.t. 40x1+75x2+30x3+15x4800300x1+400x2+200x3+100x4200040x1+75x25003 x12 x25 x3105 x410,引例3 某公司经销某种产品，三个产地和四个销地的产量、销量、单位运价如下表所示。问在保证产销平衡的条件下，如何调运可使总运费最少？,1. 问题分析,设xij(i=1,2,3;j=1,2,3,4)为从产地Ai运到销地Bj的运量,产量约束,销量约束,2. 模型建立,设cij(i=1,2,3;j=1,2,3,4)为从产地Ai运到销地Bj的运费，则问题变成：求xij 使得,min z= cij xij,s
5、.t. x11+x12+x13+x14=60x21+x22+x23+x24=40x31+x32+x33+x34=60x11+x21+x31 =30x12+x22+x32 =50x13+x23+x33 =40x14+x24+x34 =40 xij0 (i=1,2,3;j=1,2,3,4),10. 2 线性规划模型,上述几例所提出的问题，可归结为在变量满足线性约束条件下，求使线性目标函数值最大或最小的问题。它们具有共同的特征: 每个问题都可用一组决策变量(x1,x2,xn)表示某一方案，其具体的值就代表一个具体方案。通常可根据决策变量所代表的事物特点，可对变量的取值加以约束，如非负约束。 存在一组
6、线性等式或不等式的约束条件。 都有一个用决策变量的线性函数作为决策目标(即目标函数)，按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。,线性规划是运筹学的一个重要分支，它所研究的问题主要有两类： 任务确定后，如何统筹安排，尽量做到用最少的人力物力资源去完成这一任务； 已有一定数量的人力物力资源，如何安排使用它们，使得完成任务最多。,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题,线性规划问题,线性规划的主要应用领域,生产计划制定(合理下料，配料，“生产计划、库存、劳力综合”) 市场营销(广告预算和媒介选择，竞争性定价，新产品开发，制定销售计划) 库存管理(合理物资库存量, 停
7、车场大小, 设备容量) 运输问题 财政、会计(预算, 贷款, 成本分析, 投资, 证券管理) 人事(人员分配, 人才评价, 工资和奖金的确定) 设备管理(维修计划, 设备更新) 城市管理(供水, 污水管理, 服务系统设计、运用),线性规划的数学模型,一般形式,Max(Min) z=c1x1+c2x2+cnxn s.t. a11x1+a12x2+a1nxn(=,)b1a21x1+a22x2+a2nxn(=,)b2 am1x1+am2x2+amnxn(=,)bmx1 ，x2 ， ，xn 0,(z:目标函数),线性规划的数学模型,矩阵形式,max(min) z=cTx s.t. Ax(=,)bx0,
8、线性规划模型的实用形式,min z=c1x1+c2x2+cnxn s.t. a11x1+ a12x2+ a1nxn=b1a21x1+ a22x2+ a2nxn=b2ak1x1+ ak2x2+ aknxn=bkak+11x1+ak+12x2+ak+1nxnb k+1am1x1+ am2x2+ amnxnbmlixiui (i=1,2,n),(目标函数极小化),(决策变量上下界约束),线性规划模型的实用形式的矩阵表示,min z=cTx s.t. A1x=B1A2xB2LxU,矩阵分块的MATLAB实现 A1=A(1:k,:) ; A2=A(k+1:m,:) B1=b(1:k) ; B2=b(k+
9、1:m) L=l1 l2 lnT; U=u1 u2 unT,10. 3 有关线性规划解的概念,1.可行解: 满足全部约束条件的决策向量x(Rn) 2.可行域: 全部可行解构成的集合 3.最优解: 使目标函数达到最优值(最大或最小值，且有界)的可行解 4.无界解: 求极大化时目标函数在可行域中无上界，求极小化时目标函数在可行域中无下界的可行解 定理 线性规划问题如果有最优解，则最优解必是可行域的某个顶点(极点),可行域的性质,线性规划的可行域是凸集(“凸多面体”) 线性规划的最优解在极点上,凸集,凸集,不是凸集,极点,线性规划算法,单纯形法 单纯形法(simplex methods)是解决线性规
10、划问题最常用、最有效的算法之一。 单纯形法的基本思路是：从可行域的一个顶点到相邻的另一个顶点，保证使目标函数值严格下降，直到达到最优点的一种迭代方法。 单纯形法是在实践中久经考验的算法，目前仍是一种比较好的方法。 许多线性规划软件中实现了单纯形算法。,max z=x1+3x2 s.t. x1+ x26-x1+2x28x10, x20,简单线性规划的图解法,可行域,目标函数等值线,最优解,6,4,-8,6,0,x1,x2,3,z=0,z=3,z=6,z=12,z=？,(4/3,14/3),max z=46/3,10.4 灵敏度分析,在所有的线性规划模型中，目标函数的系数和约束条件都是作为输入数据
11、或参数提供给模型的。 由于在实际问题的建模过程中会遇到很多不确定因素，所以不容易确切掌握这些系数。而系数的变化会改变原线性规划问题，随之也会影响原来求得的最优解。 因此必须研究已求得的最优解是怎样随输入参数的变化而变化的。这称为线性规划的参数灵敏度分析。,对线性规划模型 min z= cTx s.t. AxbLxU,其参数的变化可分为三种情况： 1cc+c; 2AA+A; 3bb+b 参数变化对解的影响可以参考有关的线性规划方面的书籍,10.5 线性规划问题的MATLAB求解,线性规划问题求解的MATLAB命令为linprog,1. 用于求解模型,min z = cTx s.t. Axb,格式
12、1 x= linprog(c,A,b) 格式2 x,z= linprog(c,A,b) 其中输出x,z分别为决策向量的最优解和目标函数的最优值 格式3 x=linprog(c,A,b,Aeq,beq) 格式4 x,z=linprog(c,A,b,Aeq,beq) 其中Aeq和beq表示等式约束，即Aeq*x=beq,2. 用于求解模型,min z = cTx s.t. AxbLxU,x0表示初始点,格式5 x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,L,U) 格式6 x,z=linprog(c,A,b,Aeq,beq,L,U,x0),注意：命令linprog还有一些其他更复杂的用法可以通过
13、help命令去学习了解,引例1的求解,引例1 max z=4xA+2xB+3xCs.t. 7xA+3xB+6xC1504xA+4xB+5xC200xA，xB，xC0,min cTx s.t. AxbLxU,求解程序 c=-4;-2;-3; A=7,3,6;4,4,5; b=150;200; L=zeros(3,1); U=inf*ones(3,1); x,z=linprog(c,A,b,L,U),运行结果： x=0 50 0，z=-100,结论：只生产B产品，日产量50件，利润最大。,max z=400x1+900x2+500x3+200x4 s.t. 40x1+75x2+30x3+15x48
14、00300x1+400x2+200x3+100x4200040x1+75x25003 x12 x25 x3105 x410,引例2的求解,引例2的求解,不满足实用形式的要求，因此将其改写为-(300x1+400x2+200x3+100x4)-2000,再令 c=-400;-900;-500;-200 b=800;-2000;500 A=40,75,30,15;-300,-400,-200,-100;40,75,0,0 L=3;2;5;5, U=inf;inf;10;10,min cTx s.t. AxbLxU,由于第二个不等式300x1+400x2+200x3+100x42000,引例2的求解
15、程序,c=-400;-900;-500;-200; A=40,75,30,15;-300,-400,-200,-100; 40,75,0,0; b=800;-2000;500; L=3;2;5;5; U=inf;inf;10;10; x=linprog(c,A,b,L,U); y=round(x) total=round(-c*x) women=round(-A(2,:)*x),程序运行结果,y =3 3 10 10 total =10960 women = 5127,结论：白天电视、最佳时间电视、广播、杂志广告次数分别为3，3，10，10，则可以满足广告公司的要求。 在此情况下，受广告影响的
16、总人数为10960千人；受广告影响的女顾客人数为5127千人。,min z= cij xij s.t. x11+x12+x13+x14=60x21+x22+x23+x24=40x31+x32+x33+x34=60x11+x21+x31 =30x12+x22+x32 =50x13+x23+x33 =40x14+x24+x34 =40 xij0 (i=1,2,3;j=1,2,3,4),引例3的求解,引例3的求解,eye(4),eye(4),eye(4),引例3的求解程序,E=ones(1,4); O=zeros(1,4);I=eye(4); A11=E;O;O;A12=O;E;O;A13=O;O;
17、E; A=A11,A12,A13;I,I,I; c=5;6;10;3;4;1;9;7;4;2;3;8; b=60;40;60;30;50;40;40; L=zeros(12,1); U=inf*ones(12,1); x,z=linprog(c,A,b,A,b,L,U),程序运行结果,x=20 0 0 40 0 40 0 0 10 10 40 0 z=440,结论：从A1运到B1,B2,B3,B4的运量分别为：20，0， 0，40； 从A2运到B1,B2,B3,B4的运量分别为：0， 40， 0，0； 从A3运到B1,B2,B3,B4的运量分别为：10，10，40，0； 则可以满足要求，且使总运费最少 总运费z=440,
