1、目录摘要 .1Abstrqct.11 引言 .22 方程问题 .22.1 方程实根的正负情况 .22.2 求方程实根的个数 .32.3 含参数的方程 .33 不等式问题 .43.1 无理不等式 .43.2 二元二次不等式组 .43.3 高次不等式 .53.4 绝对值不等式 .53.5 含参数的不等式 .64 最值问题 .64.1 转化为直线的截距 .64.2 转化为直线的斜率 .74.3 转 化为距离 .75 函数问题 .85.1 比较函数值的大小 .85.2 函数的定义域 .95.3 函数的值域 .95.4 函数求值 .105.5 函数的单调区间 .115.6 函数的奇偶性,单调性 .116
2、 解决线性规划问题 .12参考文献 .13致谢 .131谈数形结合思想在中学数学解题中的应用XXX数学与信息学院数学与应用数学专业 2011 级 指导老师:XXX摘要：数形结合思想在中学数学中应用广泛, 本文将例举说明数形结合思想方法在方程问题，不等式问题，最值问题，函数问题，线性规划问题等方面的实际应用。充分说明在解题中运用数形结合的方法，借助几何图形的直观描述，如何使许多抽象的概念和复杂的关系形象化、简单化。在中学数学解题中充分运用数形结合思想,有助于学生思维能力的培养, 有利于他们解题能力的提高。关键词: 数形结合；数形结合思想；方程问题；不等式问题；最值问题；函数问题；线性规划问题On
3、 the combination of application of thought in middle school mathematicsXXXCollege of Mathematics and Information Mathematics and Applied MathematicsGrade 2011 Instructor: XXXAbstrqct：Several form combining ideas is widely used in the middle school mathematics, this article will illustrate that numbe
4、r form combined with the thinking and methods in the equation, inequality problem, the most value problem, function problem, the practical application of linear programming problems. Full explanation in the problem solving, with the method of using the number form, with the help of a visual descript
5、ion of the geometry, how to make many abstract concepts and visual and simplify complex relationships. Full use of in the middle school mathematics problem-solving number form combining ideas, helps to develop students thinking ability, is conducive to the improvement of their ability to problem sol
6、ving.Key words: The number of combination form; Several form combining ideas; Equation problem; Inequality problem; The most value problems; Function problem; Linear programming problem21 引言数 与 形 是 数 学 中 的 两 个 最 古 老 ， 也 是 最 基 本 的 研 究 对 象 ， 它 们 在 一 定 条件 下 可 以 相 互 转 化 。 中 学 数 学 研 究 的 对 象 可 分 为 两 大 部 分
7、 ， 一 部 分 是 数 ， 一部 分 是 形 ， 但 数 与 形 是 有 联 系 的 ， 我 们 通 常 把 数 与 形 之 间 的 一 一 对 应 关 系称 之 为 数 形 结 合 或 形 数 结 合 。 其 主 要 作 用 是 将 抽 象 的 数 学 语 言 、 数 量 关 系与 直 观 的 几 何 图 形 、 位 置 关 系 结 合 起 来 ， 使 复 杂 问 题 简 单 化 ， 抽 象 问 题 具 体化 ， 从 而 起 到 优 化 解 题 途 径 的 目 的 。 纵观多年来的各地的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，都可起到事半功倍的效果。在 解 析 几 何
8、中 就 常 常 利 用 数 量 关 系 去 解 决 图 形 问 题 。 将 “数 ”的 问 题转 化 为 形 状 的 性 质 去 解 决 ， 它 往 往 具 有 直 观 性 ， 易 于 理 解 与 接 受 的 优 点 。数 形 结 合 在 解 题 过 程 中 应 用 十 分 广 泛 ， 如 在 解 决 集 合 问 题 ， 求 函 数 的 值 域和 最 值 问 题 ， 解 方 程 和 解 不 等 式 问 题 ， 三 角 函 数 问 题 ， 解决线性规划问题中都 有 体 现 ， 运 用 数 形 结 合 思 想 解 题 ， 不 仅 易 于 直 观 的 寻 找 解 题 途 径 ， 而 且能 避 免 繁
9、 杂 的 计 算 和 推 理 过 程 ， 大 大 简 化 解 题 过 程 。 下面我将就数形结合思想在方程、不等式、线性规划中的应用做一个系统的分析与总结。2 方程问题 方程是中学数学中常见和重要的学习研究对象，特别是二次方程，是方程问题学习中的重点和难点。而方程、不等式、函数三者之间又有密切联系 ，这就使得这类问题成为应用数形结合方法的良好载体。2.1 方程实根的正负情况若用代数方法研究方程根的情况,计算复杂.但如果用数形结合的方法,利用方程与函数的关系,画出函数图象,将方程解的问题转化为函数图象的交点来处理,则形象直观,过程明了。例1 已知二次方程 有一正根和一负根,求 的取值范围.22l
10、g()0xaa解:设 ()f因为二次项系数大于0，函数图象开口向上，如图1所以函数与 轴的交点落在 轴两侧只需 ，xy(0)f.)2lg()af012a解之得，- 或 .1利用函数图像来研究二次方程，要注意抛物线开口方向的讨论。分析题意，提取作图的限制条件，列出满足条件的方程，做到不重不漏。图 132.2 求方程实根的个数有些方程并不需要求出实根,只要求方程的实根个数.这就没有必要按常规方法求解.利用数形结合,将方程实根的个数转化为曲线的交点的个数.例2 求方程 的实根个数。214xx解：此题若直接解方程则较为困难，若利用数形结合，将代数问题转化为几何问题，则较为简单。即求两曲线的交点的个数。
11、做出函数 和 的图象，从图2中可以看出两曲线的交点M214yxyx只有一个，所以，方程只有一个实数解。例3 求方程 的解的个数.sinlg解:作出函数和 的图象。sinyxly观察图象,两函数图象有3个交点。所以，原方程的解有3个。结合函数定义域正确画出函数图像时要注意 交点，分界点。可结合函数的性质或简单的计算、估算作出判断。2.3 含参数的方程中学数学中常见的是含参数的二次方程，很多数学问题最后都可转化为二次方程问题来处理。在对二次方程问题的探讨中,对含有参数的二次方程实根问题代数解法讨论较繁而且解题入手点不简明。若采用数形结合方法解决此类问题,则思路自然、结果简明直观,易操作,容易理解运
12、用。例4 集合 ,2(,)| Axymx且(,)|10Bxy,求实数 的取值范围。图 2图 3图 44解:由题意得方程 ( )等价变形为方程 21xmx02在(0 ,2)中有解。21()x设 , , y2(1)y.则 的图象为抛物线段， 图象为过定点(0 ,0)的直线系，1 2(1)yx其中L 1 : 为切线,切点为(1 ,2)。x由图4可知,直线系斜率 满足 时,直线系和抛物线段都相交。1m所以， 的取值范围是 。m由于方程含有参数，因此画出的函数图像不是静态不变的，而是动态变化的，例如直线系，曲线系。要注意寻找分界点，分界直线。3 不等式问题不等式问题也是中学数学的重要内容。不等式是解决问
13、题的一种有利工具，而许多复杂的不等式问题也能通过数形结合的方法得到巧妙解决。3.1 无理不等式解无理不等式是中学数学的一个重要内容，常规解法是平方去根号转化为有理不等式(组 )求解。但上述解法往往运算量大，过程冗长。解题中若能注意到某些代数式的功能作用，将原不等式作适当转化，利用数形结合的方法，常能简化解题过程，优化数学思维，提高解题效率。例 5 解不等式 。 2x解：令 ()()sqx， ，则不等式 的解就是使x的解在 的上方的那段图象所对应的横坐标，如图 5 不等式的解()2s()x集为 。|AB而 可由 解得Bx2A， ，故不等式的解集为 。|x3.2 二元二次不等式组xy图5sx()
14、= +2qx() =123 1231123P(2,)OAB5例6 解不等式组210()4xy解:先考虑相应的方程组2(3)xy如图6，它们分别表示双曲线和圆由(3)知 代21xy入(4),得 。62y所以，原不等式的解集为 或22614yx22641yx熟悉代数式结构，巧用几何意义。3.3 高次不等式中学数学中主要学习一次不等式与二次不等式。高次不等式需转化为低次不等式来求解。最常用的是数轴标根法。例7 解不等式 .2(3)(1)0xx解:因最高次项系数为- 1 23.5 含参数的不等式若对参数分类讨论来求解，过程烦琐.利用数形结合可大大简化计算过程。例9 若不等式 + 恒成立,求 的取值范围
15、。1xa解：要使不等式恒成立，只要 + 的最小值.考虑用绝对值的几1x何意义，把 + 理解为到数轴上两点(-1,0),(1,0) 的距离的和，则较为简单。当 时,有 + 最小值2. x(1)1x所以 的取值范围是 。a(,2)与含参数的方程同理，含参数的不等式的图像也是动 态变化的，要注意找出分界情况，当然还需要按参数分情况作图。4 最值问题最值问题若采用代数方法求解,需要大量的计算,过程冗长,且较难找到切入点,一时之间难以入手，若能深刻挖掘题目的几何意义将问题巧妙地转化,往往能简化过程,取得良好的解题效果。4.1 转化为直线的截距将所求问题看作直线的截距，即求满足题目条件的直线系何时取得最值
16、。例10 已知 ,求 的最大值和最小值。268210xy2uxy解:已知等式可化为 ,它表示以 为圆心，2为半径(3)(4)y3,4图 8图 97的圆， 可看作是直线的截距。当 取得最值时,直线 恰是圆的切线。uu2xyu从而由距离公式可得: 2|34|1解得 . 5u故 u max=5+2 , u min=5-2 .5将最值问题转化为直线系的截距，注意找出直线与曲线相切的情况。4.2 转化为直线的斜率例 11 如果实数 满足 方程，求 的最大值。,xy2()yyx解:不妨设点 在圆 上，(,)P圆心为 ,半径等于 ,则所求表示的是20M2点 与原点连线的斜率。当 与圆 相切，且OM切点 落在
17、第一象限时， 有最大值，即 有最PPKyx大值。因为 , ,所以 =1，2M= 。maxtnOPyK2将最值问题转化为直线的斜率问题，要注意将原式正确变形，不同的变形，其对应的函数图像也不同。注意找出相切的情况。4.3 转化为距离将所求问题通过变形、构造等方法巧妙地转化为距离。即求点与点，点与直线距离和与差。结合几何知识，不难求得结果。若是直接采用代数方法求解，计算复杂，往往事倍功半。例 12 当 S 和 T 取遍所有实数时，求 的最小值.22(53cos)(sin)StSt解: 分析可知，式子可以看成是动点 与动点 距离的,平方，有下面两个函数：图 10图 11Oy x8， 2194xy5x
18、222389360bbxy22(18)4()1b 故 0,3P所以 min5132d所以 20802例 13 求 函 数 46utt的 最 值 。解： 2xyuxy设 ， ， 则216(02)yx且 ，所 给 函 数 化 为 以 为 参 数 的 直 线 方 程 ， 它 与 椭 圆 在u xy216第一象限的部分（包括端点）有公共点， （如图 13） umin2相切于第一象限时，u 取最大值2223416016yxxu解 ， 得 ， 取所以 max2u结合函数图像找出最大或最小距离，利用几何知识加以判断。5 函数问题函数问题与函数图象密切相关.结合函数的性质画出函数图象，容易理解题意，求解过程简
19、单，结果直观形象。5.1 比较函数值的大小函数解析式形式多样，函数值形式也多样。作出函数图像，在图像上找出y=x-5y=x+b(0)dd=minPF FO xyM图 12图 139与函数值对应的点，是最简便快捷的解题方法，且结果直观。例14 比较三个数的大小0.3 2, 20.3.log03,解:这三个数看成三个函数:, ,21yx2logx3xy在 时对应的函数值，在同一坐标系内作0.3出这三个函数的图像,从图像可以直观地看出当时,对应的三个点 的位置, .x123P从而可得出结论: 0. 2log0.比较不同名的函数值大小较为困难。若采用代数方法需有较强的公式变形技巧及运算技巧。将函数值在图像上表示出来，能避免大量的计算。尤其是解选择题的快捷途径。5.2 函数的定义域例 15 求函数 的定义域。lg(2sin1)2cosyxx解：要使函数有意义，必须有：即 . 2sin10coxsi21cx在同一坐标系中画出 和 的图象.找出公共区间sinyxcosyx( )。52,36kkZ5.3 函数的值域例 16 若椭圆 与抛物线 有公共点，则实数 的取值224()xya2xya图 15图 14
