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类型南大数值分析课件第六章 曲线拟合与函数逼近.ppt

  • 上传人:hskm5268
  • 文档编号:7167303
  • 上传时间:2019-05-08
  • 格式:PPT
  • 页数:34
  • 大小:1.24MB
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    南大数值分析课件第六章 曲线拟合与函数逼近.ppt
    资源描述:

    1、第六章 曲线拟合与函数逼近 /* Approximation Theory */,仍然是已知 x1 xm ; y1 ym, 求一个简单易算的近似函数 P(x) f(x)。,但是, m 很大;, yi 本身是测量值,不准确,即 yi f (xi),这时没必要取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi) yi 总体上尽可能小。,常见做法:, 使 最小 /* minimax problem */,太复杂, 使 最小,不可导,求解困难, 使 最小 /* Least-Squares method */,1 最小二乘拟合多项式 /* L-S approximating polynomials */,确

    2、定多项式 ,对于一组数据(xi, yi) (i = 1, 2, , n) 使得 达到极小,这里 n m。,法方程组(或正规方程组) /* normal equations */,回归系数 /* regression coefficients */,1 L-S Approximating Polynomials,即, B为正定阵,则非奇异,所以法方程组存在唯一解。,Wait a second! You only gave me a critical point, but its not necessarily a minimum point !,1 L-S Approximating Polyn

    3、omials,证明:,0,注: L-S method 首先要求设定 P(x) 的形式。若设n=m1,则可取 P(x) 为过 m 个点的m1阶插值多项式,这时 = 0。 P(x) 不一定是多项式,通常根据经验确定。,例 用 来拟合 。,1 L-S Approximating Polynomials,例:,(xi , yi) , i = 1, 2, , m,But hey, the system of equations for a and b is nonlinear !,Take it easy! We just have to linearize it ,例 用 来拟合 。,1 L-S Ap

    4、proximating Polynomials,( a 0, b 0 ),HW: p.233 #7,#9, #10,#11,例 用 来拟合 。,2 正交多项式与最小二乘拟合/* Orthogonal Polynomials & Least-Squares Approximation */,已知 x1 xm ; y1 ym, 求一个简单易算的近似函数 P(x) f(x) 使得 最小。,已知 a, b上定义的 f(x),求一个简单易算的近似函数 P(x) 使得 最小。,2 Orthogonal Polynomials & L-S Approximation,常见多项式:, j(x) = x j 对

    5、应代数多项式 /* algebraic polynomial */, j(x) = cos jx 、 j(x) = sin jx j(x), j(x) 对应三角多项式 /* trigonometric polynomial */, j(x) = e kj x , ki kj 对应指数多项式 /* exponential polynomial */,2 Orthogonal Polynomials & L-S Approximation, 离散型 /*discrete type */, 连续型 /*continuous type */,2 Orthogonal Polynomials & L-S

    6、 Approximation, 离散型 /*discrete type */, 连续型 /*continuous type */,内积与范数,离散型,连续型,则易证( f, g ) 是内积,而 是范数。,( f, g )=0 表示 f 与 g 带权正交。,广义 L-S 问题可叙述为:求广义多项式P(x)使得最小。,2 Orthogonal Polynomials & L-S Approximation,法方程组 /*normal equations */,则等式两边分别与0, 1, , n作内积,得到:, ,2 Orthogonal Polynomials & L-S Approximatio

    7、n,例:用 来拟合 ,w 1,解: 0(x) = 1, 1(x) = x, 2(x) = x2,It is soooo simple! What can possibly go wrong?,2 Orthogonal Polynomials & L-S Approximation,例:连续型拟合中,取,则,Hilbert阵!,若能取函数族= 0(x), 1(x), , n(x), ,使得任意一对i(x)和j(x)两两(带权)正交,则 B 就化为对角阵!,这时直接可算出ak =,Well, no free lunch anyway, 正交多项式的构造:,将正交函数族中的k 取为k 阶多项式,为简

    8、单起见,可取k 的首项系数为 1 。,有递推 关系式:,证明略,2 Orthogonal Polynomials & L-S Approximation,例:用 来拟合 ,w 1,解:通过正交多项式 0(x), 1(x), 2(x) 求解,注:手算时也可用待定系数法确定函数族。,2 Orthogonal Polynomials & L-S Approximation,Algorithm: Orthogonal Polynomials Approximation To approximate a given function by a polynomial with error bounded

    9、by a given tolerance. Input: number of data m; xm; ym; weight wm; tolerance TOL; maximum degree of polynomial Max_n. Output: coefficients of the approximating polynomial. Step 1 Set 0(x) 1; a0 = (0, y)/(0, 0); P(x) = a0 0(x); err = (y, y) a0 (0, y); Step 2 Set 1= (x0, 0)/(0, 0); 1(x) = (x 1) 0(x); a

    10、1 = (1, y)/(1, 1); P(x) += a1 1(x); err = a1 (1, y); Step 3 Set k = 1; Step 4 While ( k Max_n) STOP.,注:,HW: p.152 #1,2 Orthogonal Polynomials & L-S Approximation,2 Orthogonal Polynomials & L-S Approximation,2 Orthogonal Polynomials & L-S Approximation,2 Orthogonal Polynomials & L-S Approximation,Sam

    11、ple Output ( represents a space) 3 2.5301e0031.0287e+0007.2279e0021.1287e001 error=6.33097847e0054 1.0025e+0009.6180e0016.2900e0017.0907e0031.1792e001 error=1.61711536e004,2 函数的最佳逼近 /* Optimal Approximation */, 最佳平方逼近:即连续型L-S逼近,在 意义 下,使得 最小。, 最佳一致逼近 /* uniform approximation */,在 意义下,使得 最小。也称为minimax

    12、 problem。,偏差 /* deviation*/,若 ,则称 x0 为 偏差点。,Didnt you say its a very difficult problem?,Take it easy. Its not so difficult if we consider polynomials only.,3 Optimal Approximation,直接构造 OUAP 的确比较困难,不妨换个角度,先考察它应该具备的性质。有如下结论:, OUAP 存在,且必同时有 偏差点。,证明:存在性证明略。后者用反证法,设只有正偏差点。,是n阶多项式,是误差更小的多项式,3 Optimal Appr

    13、oximation, (Chebyshev定理)Pn 是 y 的OUAP Pn 关于 y 在定义域上至少有n+2个交错的 偏差点。即存在点集 a t1 tn+2 b 使得 tk 称为切比雪夫交错组 /* Chebyshev alternating sequence */, 若 且 y 不是 n 次多项式,则 n 次OUAP 唯一。,证明:反证,设有2个OUAPs,分别是Pn 和 Qn 。,3 Optimal Approximation, 由Chebyshev定理可推出:Pn(x) y(x) 在定义域上至少变号 次,故至少有 个根。,n+1,n+1,可见Pn(x) 是 y(x)的 某一个插值多项

    14、式,3 Optimal Approximation,由Chebyshev定理可推出:Pn1(x) 关于xn 有n+1个偏差点,即wn(x)在 n+1个点上交错取极大、极小值。, 切比雪夫多项式 /* Chebyshev polynomials */,3 Optimal Approximation,考虑三角函数 cos(n ) 在 0, 上的 个极值点。,n + 1,当 时, cos(n )交错达到极大值 1 和极小值 1 ,且存在系数 a0, , an 使得, Tn 的重要性质:, 当 时, 交错取到极大值 1 和极小值1,即, 当 时 ,即 x1, , xn 为Tn(x)的n个零点。,3 O

    15、ptimal Approximation, Tn(x)满足递推关系: T0(x) = 1, T1(x) = x,,2n1,偶,奇, T0(x), T1(x), 是 1 , 1 上关于权 正交的函数族。即在内积 的意义下有,OKOK, I think its enough for us Whats our target again?,Tn(x)的n个零点。,3 Optimal Approximation, 可见:若取 ,则wn在 1 , 1 上有 n+1 个极值点 tk ,也即Pn1(x) = xn wn(x)关于xn在 1 , 1 上有n+1个交错偏差点 tk 。,v3.0 OK,取最小值,n

    16、 = 首项系数为1的 n 阶多项式 /*monic polynomials of degree n */ , x1, , xn 即为, 取 x0, , xn 为Tn+1(x)的n+1个零点,做 y 的插值多项式Pn(x),则插值余项的上界可达极小 。,3 Optimal Approximation,注: 上界最小不表示| Rn(x)|最小,故Pn(x)严格意义上只是y(x)的近似最佳逼近多项式;, 对于一般区间 x a, b ,可作变量替换 ,则 t 1 , 1 ,这时,即以 为插值节点 (k=0, n),得Pn(x),余项 有最小上界。,3 Optimal Approximation,例:求

    17、 f (x) = ex 在0, 1上的近似最佳逼近多项式,使其误差不超过 0.5104。,解: 根据误差上界确定 n :,4, 计算 T5(t)的根:, 以 x0, , x4 为节点作L4(x),3 Optimal Approximation, Chebyshev 多项式的其它应用 多项式降次 /* reduce the degree of polynomial with a minimal loss of accuracy */,设 f (x) Pn(x)。在降低 Pn(x) 次数的同时, 使因此增加的误差尽可能小, 也叫 economiza-tion of power series。,因降次而增的误差,3 Optimal Approximation,若简单取 ,则误差,另类解法可查p.163表7-2,将x3 和x4 中的T3 和T4 删除。,注:对一般区间a, b,先将 x 换为 t ,考虑 f (t)在1, 1上的逼近Pn(t),再将 t 换回x,最后得到Pn(x)。,HW: p.164 #3,

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