1、第6讲 指数与指数函数,考试要求 1.有理指数幂的含义及运算(B级要求)；2.实数指数幂的意义，指数函数模型的实际背景(A级要求)；3.指数函数的概念、图象与性质(B级要求).,知 识 梳 理,1.根式,根式,2.分数指数幂,(2)有理指数幂的运算性质：aras_；(ar)s_；(ab)r_，其中a0，b0，r，sQ.,没有意义,ars,ars,arbr,3.指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质,(0，),(0，1),y1,0y1,y1,0y1,增函数,减函数,诊 断 自 测,1.思考辨析(在
2、括号内打“”或“”),(3)函数y2x1是指数函数.( ) (4)函数yax21(a1)的值域是(0，).( ),(3)由于指数函数解析式为yax(a0，且a1)，故y2x1不是指数函数，故(3)错误. (4)由于x211，又a1，ax21a.故yax21(a1)的值域是a，)，故(4)错误. 答案 (1) (2) (3) (4),答案 7,3.(2018盐城高三上学期期中)函数f(x)ax13(a0且a1)的图象经过定点_.解析 当x1时，f(x)4，所以f(x)ax13(a0且a1)的图象经过定点(1，4).答案 (1，4),4.(2015江苏卷)不等式2x2x4的解集为_.解析 2x2x
3、422，x2x2，即x2x20，解得1x2.原不等式的解集为(1，2).答案 (1，2),答案 cba,考点一 指数幂的运算,规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.,【训练1】 化简求值：,考点二 指数函数的图象及应用 【例2】 (1)已知实数a，b满足等式2 017a2 018b，下列五个关系式：0f(c)f(b)，则下列结论中一定成立的是_(填序号).a0；2a
4、2c；2a2c2.,解析 (1)如图，观察易知a，b的关系为ab0或0ba或ab0.,(2)作出函数f(x)|2x1|的图象，如图，,af(c)f(b)， 结合图象知，00，0f(c)，12a2c1，2a2c2. 答案 (1) (2),规律方法 (1)指数函数的图象在y轴右侧，底数a越大，图象越高. (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 有关函数零点、指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.,【训练2】 已知f(x)|2x1|.(1)求f(x
5、)的单调区间；(2)比较f(x1)与f(x)的大小；(3)试确定函数g(x)f(x)x2的零点的个数.,(2)在同一坐标系中，分别作出函数f(x)、f(x1)的图象，如图所示.,(3)将g(x)f(x)x2的零点个数问题转化为函数f(x)与yx2的图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出函数f(x)|2x1|和yx2的图象(图略)，有四个交点，故g(x)有四个零点.,考点三 指数函数的性质及应用 角度1 函数的单调性,又ux22x1的增区间为(，1， f(x)的减区间为(，1.,(2)设t2x，则yt22t的单调增区间为1，)， 令2x1，得x0， 函数f(x)4x2x1的单调增区间是0，)
6、. 答案 (1)(，1 (2)0，),【例32】 (1)(2019徐州模拟)下列各式比较大小正确的是_(填序号).1.72.51.73；0.610.62；0.80.11.250.2；1.70.30.62.，错误.,答案 (1) (2)(，4,角度3 函数的值域与最值,(2)如果函数ya2x2ax1(a0，a1)在区间1，1上的最大值是14，则a的值为_. 解析 (1)因为x3，2，,(2)令axt，则ya2x2ax1t22t1(t1)22.,所以ymax(a1)2214， 解得a3(负值舍去).,规律方法 (1)比较指数式的大小的方法是：能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能
7、化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小. (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. (3)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论. (4)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解.,【训练3】 (1)已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为_.,解析 (1)由函数f(x)2|xm|1为偶函数，得m0，所以f(x)2|x|1，当x0时，f(x)为增函数， log0.53log23，所以log25|log23|0， 所以bf(log25)af(log0.53)cf(2m)f(0)， 即bac.,(2)当x8时，f(x)x3， x27，即8x27； 当x8时，f(x)2ex83恒成立，故x8. 综上，x(，27. 答案 (1)cab (2)(，27,
