1、1.5 函数y=Asin(x+)的图象(二),1.函数y=Asin(x+),A0,0中参数的物理意义,A,x+,2.函数y=Asin(x+)(A0,0)的有关性质,R,-A,A,【点拨】(1)函数y=Asin(x+)(A0,0)中对于参 数的物理意义的理解 A:它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距 离,称为振幅; T:T= ,它表示做简谐运动的物体往复运动一次所 需要的时间,称为周期;,f:f= = ,它表示做简谐运动的物体在单位时间 内往复运动的次数,称为频率; x+:称为相位;:当x=0时的相位,称为初相.,(2)研究函数y=Asin(x+)性质的基本策略 借助周期性:研究函数的单调
2、区间、对称性等问题时,可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性,再利用周期性推广到全体实数; 整体思想:研究当x,时的函数的值域时,应将x+看作一个整体,利用x,求出的范围,再结合y=sin的图象求值域.,【自我检测】 1.函数y=2sin 的周期、振幅依次是 ( ) A.4,-2 B.4,2 C.,2 D.,-2,【解析】选B.在y=Asin(x+)(A0,0)中,T= , A叫振幅(A0),故y=2sin 的周期T= =4,振幅 为2.,2.函数y=Asin(x+)+1(A0,0)的最大值为5,则A= ( ) A.5 B.-5 C.4 D.-4,【解析】选C.因为A0, 所以当sin(x+
3、)=1时,ymax=A+1=5, 所以A=4.,3.函数y=3sin 的频率为_,相位为_ _,初相为_.,【解析】函数y=3sin 的周期为T= =4,所以 频率为f= = , 相位是x+= ,初相是 . 答案:,4.函数y=sinx+1的对称中心坐标为_. 【解析】函数y=sinx+1的对称中心坐标为(k,1) (kZ). 答案:(k,1)(kZ),5.函数y=sin 在区间(-,)内的对称轴有 _条.,类型一 求三角函数解析式问题 【典例】1.已知函数f(x)=Asin(x+)+B的一部分图 象如图所示,若A0,0,| ,则 ( ),A.B=4 B.= C.=1 D.A=4,2.已知函数
4、f(x)=2sin(x+) 的最小正 周期为,且它的图象经过 ,则的值为_ _.,3.函数f(x)=Asin(x+)中A0,0,| ,且图 象如图所示,求其解析式.,【审题路线图】1.确定A,B,图象最高点纵坐标确定A值,图象上的特殊点确定,B, 2.求将点代入结合最小正周期求 3.方法一:由图象求其解析式五点作图法. 方法二:由图象求其解析式由图象特殊点代入f(x)=Asin(x+)中求得A,【方法技巧】确定函数y=Asin(x+)解析式的策略与步骤若设所求解析式为y=Asin(x+),则在观察函数图象的基础上,可按以下规律来确定A,. (1)一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
5、,(2)因为T= ,所以往往通过求周期T来确定,可以通 过已知曲线与x轴的交点来确定T,即相邻的最高点与最 低点之间的距离为 ;相邻的两个最高点(或最低点) 之间的距离为T.,(3)从寻找“五点法”中的第一个“零点” 作为 突破口,要从图象的升降情况找准第一个“零点”的位 置来确定.,【拓展延伸】确定函数y=Asin(x+)解析式常用的基本方法以及解决此类问题的关键点 (1)基本方法:在观察图象的基础上,利用待定系数法来求解. (2)关键点:确定A,.这三个量中确定更为关键,常用以下方法:代入法;五点法.,【变式训练】函数f(x)=Asin(x+)中A0,0, | ,且函数的最大值为2,其相邻
6、的最高点与最低 点横坐标之差为3,图象过点 ,求函数解析式.,【补偿训练】 (2018曲靖高一检测)已知函数f(x)=2sin(x+) (0,-)的部分图象如图所示.,(1)求f(x)的表达式. (2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.,类型二 三角函数图象的对称性 【典例】1.若将函数y=2sin2x的图 象向左平移 个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ),2.在函数y=2sin 的图象的对称中心中,离原点 最近的一个中心的坐标是_.,【审题路线图】1.平移后的对称轴对称轴方程平移后的解析式平移单位原解析式. 2.离原点最近的中心坐标函数解析式方程对称中心坐标.,【延伸探究】 1.
7、将本例2中“sin”改为“cos”,其他条件不变,结果如何?,2.将本例2中“sin”改为“tan”,其他条件不变,结果如何?,3.将本例2中对称中心改为对称轴,其他条件不变,求离y轴最近的一条对称轴方程.,【方法技巧】三角函数对称轴、对称中心的求法,提醒:求正弦函数y=Asin(x+)的对称轴、对称中心时,把x+看作整体,代入正弦函数的对称轴、对称中心中,解出x即可.,【补偿训练】1.已知函数f(x)=sin (0) 的最小正周期为,则该函数的图象 ( ) A.关于点 对称 B.关于直线x= 对称 C.关于点 对称 D.关于直线x= 对称,2.f(x)=Asin(x+)+m的最大值为4,最小
8、值为0,最小 正周期为 ,x= 是其图象的一条对称轴,则下列各 式中符合条件的解析式是 ( ),3.关于函数f(x)=4sin ,xR,有下列命题: f(x1)=f(x2)=0,可得x1-x2必是的整数倍; y=f(x)的表达式可改写成y=4cos ; y=f(x)的图象关于点 对称; y=f(x)的图象关于直线x=- 对称. 其中正确命题的序号是_.,类型三 三角函数性质的综合应用 角度1:三角函数的周期性 【典例】函数f(x)= sin(x+)(0)的图象上相 邻两条对称轴的距离是2,则的值是_.,【审题路线图】确定的值相邻两条对称轴的距离 周期周期与的关系. 【解析】f(x)= sin(
9、x+)(0)的图象上相邻两 条对称轴的距离是2,所以周期T=4,= . 答案:,【典例】将函数y=sin(2x+)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则的一个 可能取值为 ( ),【审题路线图】确定的值偶函数平移后的函数解析式平移单位原函数解析式.,【延伸探究】若本例中的“偶”改为“奇”,其他条件不变,结果如何?,角度3:三角函数的单调性 【典例】(2018镇江高一检测)f(x)= sin2x+1 (0)在区间 上为增函数,则的最大值为 _.,【审题路线图】确定的值函数的单调性所在的区间函数的周期.,角度4:三角函数的最值问题,【审题路线图】求的值结合三角函数性质在区 间
10、上的最值情况确定.,【解析】选B.函数f(x)=sin (0),【方法技巧】 1.正弦余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y=Asin(x+)和余弦型函数y=Acos(x +)不一定具备奇偶性.对于函数y=Asin(x+), 当=k(kZ)时为奇函数,当=k (kZ)时 为偶函数;对于函数y=Acos(x+),当=k(kZ) 时为偶函数,当=k (kZ)时为奇函数.,2.与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间. (2)确定函数y=Asin(x+)(A0,0)单调区间的方法:采用“换元”法整体代换,将x+看作一个整体,可令“z=x+”,即通
11、过求y=Asinz的单调区间而求出函数的单调区间.若0,则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数,再求单调区间.,3.求三角函数值域的常用方法 (1)求解形如y=asinx+b(或y=acosx+b)的函数的最值或值域问题时,利用正、余弦函数的有界性(-1sinx (cosx)1)求解.求三角函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑三角函数的周期性.,(2)求解形如y=asin2x+bsinx+c(或y=acos2x+bcosx+ c),xD的函数的值域或最值时,通过换元,令t=sinx (或cosx),将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域、最值即可.求解过程中要注意t=sinx(或cosx)的有界性.,【变式训练】已知|x| ,求函数f(x)=cos2x+sinx 的最小值.,【核心素养培优区】 【易错案例】求三角函数的解析式 【典例】如图是函数y=Asin(x+)(A0,0, |)的图象,则该函数的解析式为 _,【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:本题错误的根本原因是没有注意到点(,0)在递减的那段曲线上.在求时,常代入图象的最高点或最低点的坐标,一般不代入与x轴的交点的坐标.,