1、2.4 向量的应用,1.会用向量方法计算或证明平面几何和解析几何中的相关问题. 2.会用向量方法处理物理中有关力、速度等矢量的合成与分解的问题.,1,2,3,1.向量在平面几何中的应用 (1)证明线段相等,转化为证明向量的长度相等;求线段的长,转化为求向量的长度; (2)证明线段、直线平行,转化为证明向量共线; (3)证明线段、直线垂直,转化为证明向量的数量积为零; (4)几何中与角相关的问题,转化为向量的夹角问题; (5)对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题,通常以相互垂直的两边所在的直线分别为x轴和y轴,建立平面直角坐标系,通过代数(坐标)运算解决平面几何问题.,1,2,3,【
2、做一做1-1】 在四边形ABCD中,若 ,则四边形ABCD是( ) A.平行四边形 B.梯形 C.菱形 D.矩形 解析:由 ,得ABCD且ABCD,故四边形ABCD为梯形,故选B. 答案:B,1,2,3,答案:等边三角形,1,2,3,2.向量在解析几何中的应用 (1)若直线l的倾斜角为,斜率为k,向量a =(m,n)平行于l,则k=,则向量(m,n)一定与该直线平行; (2)向量(1,k)与直线l:y=kx+b平行; (3)与a=(m,n)平行,且过点P(x0,y0)的直线方程为n(x-x0)-m(y-y0)=0; (4)过点P(x0,y0),且与向量a=(m,n)垂直的直线方程为m(x-x0
3、)+n(y-y0)=0.,1,2,3,【做一做2-1】 已知直线l:mx+2y+6=0,向量(1-m,1)与l平行,则实数m的值为( ) A.-1 B.1 C.2 D.-1或2 答案:D 【做一做2-2】 过点A(3,-2),且垂直于向量n=(5,-3)的直线方程是 . 答案:5x-3y-21=0,1,2,3,3.向量在物理中的应用 (1)力是具有大小、方向和作用点的向量,它与自由向量有所不同.大小和方向相同的两个力,如果作用点不同,那么它们是不相等的.但是,在不考虑作用点的情况下,可用向量求和的平行四边形法则求作用于同一点的两个力的合力. (2)速度是具有大小和方向的向量,因而可用三角形和平
4、行四边形法则,求两个速度的合速度. 归纳总结 1.求力向量、速度向量常用的方法:向量几何法,借助于向量求和的平行四边形法则求解. 2.用向量方法解决物理问题的步骤:(1)把物理问题中的相关量用向量表示;(2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决;(3)把结果还原为物理问题.,1,2,3,【做一做3】 已知两个力F1,F2的夹角为90,它们的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为60,则F1的大小为( )解析:|F1|=|F|cos 60=5(N). 答案:B,2.教材中的“探索与研究” 利用向量与向量平行、垂直的条件,再次研究两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y
5、+C2=0平行和垂直的条件,以及如何求出两条直线夹角的余弦. 结论: l1l2(或重合)A1B2-A2B1=0. l1l2A1A2+B1B2=0.,剖析直线l1:A1x+B1y+C1=0的方向向量为n1=(-B1,A1),直线l2:A2x+B2y+C2=0的方向向量为n2=(-B2,A2). 若l1l2,则n1n2,从而有-B1A2=-A1B2,即A1B2-A2B1=0. 若l1l2,则n1n2=0, 从而有B1B2+A1A2=0. 所以直线l1l2A1B2-A2B1=0, 直线l1l2A1A2+B1B2=0. 因为n1n2=A1A2+B1B2,题型一,题型二,题型三,【例1】 如图,已知AD
6、,BE,CF是ABC的三条高,DGBE于G,DHCF于H,求证:HGEF.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思用向量解决平面几何问题的步骤如下: (1)建立平面几何与向量的联系,即用向量表示问题中涉及的几何元素,从而将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算(线性运算、数量积运算),研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等; (3)把向量运算结果翻译成几何关系.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】 如图,若D是ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:ADBC.则a=e+c,b=e+d, a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2ec-2ed-d
7、2. 由已知a2-b2=c2-d2, c2+2ec-2ed-d2=c2-d2, e(c-d)=0.,题型一,题型二,题型三,【例2】 过点A(-2,1),求: (1)与向量a=(3,1)平行的直线方程; (2)与向量b=(-1,2)垂直的直线方程.,题型一,题型二,题型三,解:设所求直线上任意一点P的坐标为(x,y).(x+2)1-3(y-1)=0, 即x-3y+5=0. 所求直线方程为x-3y+5=0.(x+2)(-1)+(y-1)2=0, 即x-2y+4=0, 所求直线方程为x-2y+4=0. 反思已知直线l的方程Ax+By+C=0(A2+B20),则向量(A,B)与直线l垂直,即向量(A
8、,B)为直线l的法向量;向量(-B,A)与l平行.,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】 已知ABC的三个顶点A(0,-4),B(4,0),C(-6,2),点D,E,F分别为边BC,CA,AB的中点. (1)求直线DE,EF,FD的方程; (2)求AB边上的高线CH所在的直线方程.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,【例3】 一条河的两岸平行,河的宽度为d=500 m,一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处,船的航行速度为|1|=10 km/h,水流速度为|2|=4 km/h.(1)试求1与2的夹角(精确到1)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min); (2)要使船到达
9、对岸所用时间最少,1与2的夹角应为多少? 分析若船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直,则船速的方向不能与河岸垂直.原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与水流速度的合速度.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思注意“速度”是一个向量,既有大小又有方向.结合具体问题,在理解向量知识和应用两方面下功夫.将物理量之间的关系抽象成数学模型,然后通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象.,题型一,题型二,题型三,【变式训练3】 已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某一物体上的一点,为使物体保持平衡,现加上一个力f4,则f4等于(
10、 ) A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) 解析:由题意可知f4=-(f1+f2+f3)=-(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)=-(-1,-2)=(1,2). 答案:D,1,2,3,4,5,6,1.点P是ABC所在平面内一点,若 其中R,则点P一定在( ) A.ABC内部 B.AC边所在的直线上 C.AB边所在的直线上 D.BC边所在的直线上 解析:由 故点P在直线AC上. 答案:B,1,2,3,4,5,6,2.若向量n与直线l垂直,则称向量n为直线l的法向量,则直线x+2y+3=0的一个法向量为( ) A.(1,2) B.(1,-2) C.(2,1)
11、 D.(2,-1)由an=0,可知应选A. 答案:A,1,2,3,4,5,6,3.在重600 N的物体上系两根绳子,与铅垂线的夹角分别为30,60,重物平衡时,两根绳子拉力的大小分别为 ( ),答案:C,1,2,3,4,5,6,4.经过点A(3,2),且与直线l:4x-3y+9=0平行的直线方程为 . 答案:4x-3y-6=0,1,2,3,4,5,6,5.已知两个粒子A,B从同一点发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为sa=(4,3),sb=(3,4),则sa在sb方向上的射影的数量为 .,1,2,3,4,5,6,6.如图,已知ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线,求证:ACBD.,1,2,3,4,5,6,
