1、数学建模课程设计报 告施肥效果分析04组1摘要首先分别确定产量与施肥量之间的函数曲线类型，考虑函数所对应曲线的类型, 通常有三个参照指标: 一是绘制两个变量的散点图, 从图象的角度判断函数关系的类型; 二是根据给出变量的数据关系以及数据走向来判断; 三是根据所考虑变量之间内在的规律来讨论。本问题中, 我们需要考察的是土豆和生菜产量与各营养素之间的函数关系, 因此其间的内在规律是未知的, 所以我们采用前两种方法。对土豆和生菜利用DPS软件分别绘制出他们的产量与三种营养元素之间关系的散点图，拟合三变量之间的关系式。然后根据曲线类型对所求函数的对应关系进行假设，并利用已知数据计算出所需参数，最终确定
2、变量之间的函数关系。利用 F检验法对其函数进行检验。利用微分法得到土豆最佳施肥量 生菜最佳541.763k24.76,p9, n施肥量 和最优产量 。8.264k 6.31, p21.87, n t/ha023关键词：施肥效果、散点图、曲线拟合、dps、微分法、F 检验法2一、 问题重述某地区作物生长所需的营养素主要是氮（ N ）、钾（ K ）、磷（ P ）。某作物研究所在某地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表所示，其中 ha 表示公顷， t 表示吨， kg 表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于 N 的施肥量做实验时
3、，p 与 k的施肥量分别取为 196kg ha 与 372kg ha 。表 1土豆产量 与施肥量 的关系表 2生菜产量与施肥量的关系施肥量（N）(kg/ha)产量(t/ha)施肥量（P）(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(K)(kg/ha)产量(t/ha)0 15.18 0 33.46 0 18.9834 21.36 24 32.47 47 27.3567 25.72 49 36.06 93 34.86101 32.29 73 37.96 140 39.52135 34.03 98 41.04 186 38.44202 39.45 147 40.09 279 37.73259 43.15 1
4、96 41.26 372 38.43336 43.46 245 42.17 465 43.87404 40.83 294 40.36 558 42.77471 30.75 342 42.73 651 46.22施肥量（N）(kg/ha) 产量 (t/ha) 施肥量（P） (kg/ha) 产量 (t/ha) 施肥量(K) (kg/ha) 产量 (t/ha) 3由于当一种肥料施肥量改变时，另外的两种肥料都保持在第 7个水平上，于是有如下 3个方案：(n,245,465)，(259,p,465)，(259,245,k)。二、 问题分析利用散点图对所拟合问题的曲线类型做出判断。首先要确定所求函数对应曲
5、线的类型，然后根据曲线类型对所求函数的对应关系进行假设，并利用已知数据计算出所需参数，最终确定变量之间的函数关系。我们可以分别绘制出土豆和生菜的产量与施肥量的散点图，从图像的角度判断函数关系，再根据题目所给数据确定最终的函数。三、模型假设和符号说明3.1 模型假设（1）研究所的实验是在相同的实验条件（充分的水分供应、正确的耕作程序）下进行的，产量的变化是由施肥量的变化引起的，产量与施肥量之间满足一定的规律；（2）土壤本身已含有一定数量的氮、磷、钾肥，即具有一定的天然肥力；（3）每次实验是独立进行的，互不影响。0 11.02 0 6.39 0 15.75 28 12.70 49 9.48 47
6、16.76 56 14.56 98 12.46 93 16.89 84 16.27 147 14.33 140 16.24 112 17.75 196 17.10 186 17.56 168 22.59 294 21.94 279 19.20 224 21.63 391 22.64 372 17.97 280 19.34 489 21.34 465 15.84 336 16.12 587 22.07 558 20.11 392 14.11 685 24.53 651 19.40 43.2 符号说明： 的施肥量与土豆产量的关系1wN: 的施肥量与土豆产量的关系2P: 的施肥量与土豆产量的关系13
7、K： 的施肥量与生菜产量的关系： 的施肥量与生菜产量的关系2： 的施肥量与生菜产量的关系3w：对于土豆 的施肥量1N：对于土豆 的施肥量P：对于土豆 的施肥量K：对于生菜 的施肥量2：对于生菜 的施肥量：对于生菜 的施肥量：土豆售价1a：生菜售价： 的售价bN： 的售价2P： 的售价3K：土豆产量1w：生菜产量：购买肥料费用h： 肥用量nN： 肥用量pP： 肥用量kK：土豆获利1：生菜获利2四、模型的建立与求解考虑土豆产量与氮肥之间的数据变化, 可以看到, 当保持磷肥和钾肥施放水平不变时, 随着氮肥施用量的增加, 土豆产量也随之增加,但当施肥量达到一定程度( 336kg/ha) 后, 再增加施
8、肥量时, 就会造成产量的下滑, 可以判断土豆产量与氮肥施用量之间应该可以用二次函数关系来拟合。其次考虑土豆产量与磷肥的关系, 当氮肥和钾肥都保持在确定的水平时, 可以看到, 随着磷肥施用量的增加, 土豆产量总体呈上升趋势, 但产量总的上升量仅为9.27, 说明磷肥的变化对土豆产量的影响比较小, 观察数据可以发现, 虽然随着磷肥施用量的增加, 土豆产量偶有下降的情况, 但基本上还是平稳上升。最后, 钾肥与土豆产量之间的关系比较复杂, 总体来看, 依然是随着施肥量的增加, 土豆产量也随之增加, 但增幅不太大, 而且尽管增加过程中有一次较大起伏( 78 水平) , 但最终趋势是趋向于平稳, 可认为其
9、函数为指数关系。5先考虑土豆与每一种肥料用量的函数关系, 我们利用所给数据来拟合这些函数关系。假设土豆产量与三种肥料:N、P、K 的用量之间的函数关系分别是w11 = f1 ( n) , w12 = f2 ( p) , w13 = f3 ( k)模型 1土豆产量与施肥量 N的散点图拟合结果1034.119750.746.12 XXX 即 11. NNw同理生菜产量与施肥量 N的散点图6拟合结果 1*0238.1*032.294.10 XXX即 2NNw土豆产量与施肥量P的散点图拟合结果 )5.1762)40.2635/)0.2631(1(674.2XEPX即 ).)./).(.11w7生菜产量
10、与施肥量 P的散点图拟合结果 )0764.2)9.378/)25.381(1(73.2XEPX即 ).)./).(. 2w土豆产量与施肥量K的散点图拟合结果 )1098.(140.)0365.(6590.32 XEXPXEXPX 8即 )0198.(140.7)0365.(6590.31 11 KEXPKEXPw 生菜产量与施肥量K的散点图拟合结果 1)026.(3076.12XEXPX即 2).(. Kw如果用上面求出的拟合函数来表示相应的产量与施肥量的函数关系, 从拟合曲线的图形来看, 只有产量与 N肥的用量函数有唯一极大值点。其它函数都不具这一性质,其规律是: P、K 量越多,产量都会增
11、加，但是随着 P、K 的施肥量的增加土豆的产量增长趋势缓慢。利用微分法求解的结果是:土豆当 P、K 固定在第 7种水平,即 时,而 N的372kg/ha, ha196kg/1用量为 ,土豆的产量最大,最大值是 ;hakgN/9265.81 t4.生菜当 P、K 固定在第 7种水平,即 时,而 N的/, 3/P22用量为 ，生菜的产量最大，最大值是 ,/4.2 t0.模型2将土豆和生菜的产量都看成是N、P和K的三元函数设 和k)p,n (fw1分别是土豆和生菜的产量与三种肥料的施肥量之间的函数,这里k)pn, (gw9用2 次多项式来拟合这两个函数。下面是用DPS软件求得的结果, 利用实验数在求
12、拟合函数 和 时,发现只出现 及其乘幂项,k)p,n (fw1k)pn, (gw2k pn而没有 交叉相乘的项。 ,土豆的产量与所施N,P,K的关系为 KPNN*769008.*452301786. 81325.71954生菜的产量与所施 N,P,K的关系为NPw *41038.13.295.0 725.94. 拟合效果如下图所示：求函数 和 的最大值。用微分法可以求出结果k) p,n(f w1 k)p,n (g2是: 当N、P和K的取值分别是 , 土豆的产量最541.7634.76,9, 大,最大值是 ; t/ha9845.当N、P和K的取值分别是 时,生菜的产8.2k .3, p21.8,
13、 n量最大,最大值是 。 1302.五、模型的检验1.回归方程线性关系的显著性检验 1 显著性检验的目的是检验因变量 y与自变量 、 、.、（二元回归中1x2为 和 ）之间是否存在显著的线性关系。采用 F检验。其统计假设为：1x2100:10kH1i至 少 有 一 个如果原假设 被接受，则可认为这 k个自变量(x)之间的线性关系不存在；0若否定原假设 ，则可认为这 k个自变量对因变量(y)的影响是显著的。可以证明，当 成立时，统计量0H1/KNSERF服从自由度为 和 的分布，即 。于是可据此进行统计检验。k1-n)-kn (,自确定显著水平 后，查表得临界值 。当 时。拒绝原假设1)-kn
14、,(F；当 时，则接受原假设 ，认为 与 、 .线性关系0H) ,(F0Hyx2不显著。1）首先检验 对土豆产量的影响：1N已知所建回归方程为 11034.975.046. NNw令 211,X则 ，21. XX其中因变量 和自变量 之间建立了线性回归关系。w21,由软件 DPS可得到 取显著性水平 ，查 分布表5.796F05.F得到临界值 4.)7,2(05.F由于 .),(19605.表明 对产量 之间存在显著线性关系。N同理， 对生菜所建立的回归方程为：2 22N038.N13.24. w可求得 对产量 之间存在显著线性关系。2)其次检验 对土豆产量的影响：1P已知所建回归方程为 )5
15、.1762)40.2635/)0.263(674.21PEX令 31 1745/)0.263 X则 ，)(.1w其中因变量 和自变量 之间建立了线性回归关系。3X由软件 DPS可得到 取显著性水平 ，查 分布表得到临17.586F05.F11界值 32.5)8,1(05.F由于 .)8,1(760.表明 对产量 之间存在显著线性关系。1Pw同理， 对生菜所建立的回归方程为：2 )0764.2)9.378/)25.38(1(73. 2PEX可求得 对产量 之间存在显著线性关系。23)最后检验 对土豆产量的影响：1K已知所建回归方程为 )0198.(140.7)0365.(6590.3 11 KE
16、XPKEXPw 541 )98()( EXP，令则 4Xw其中因变量 和自变量 之间建立了线性回归关系。354,由软件 DPS可得到 取显著性水平 ，查 分布表得到9.386F05.F临界值 7.),2(05.F由于 .),(486905.表明 对产量 之间存在显著线性关系。1K3w而 对生菜产量的影响：2所建回归方程为 2)06.(3076.12KEXP利用“双对数变换”使非线性模型转化为线性模型求解。对指数曲线 ，等号两边分别取对数得2).(.63w.lnlln令 ,2ln62*K则 06.378.1l6*X其中因变量 和自变量 之间建立了线性回归关系。*36X由软件 DPS可得到 取显著
17、性水平 ，查 分布表得到临界值.578F5.F2.5)8,1(05.F由于 32.),(7605.表明 对产量 之间存在显著线性关系。2Kw5、模型的改进以上只考虑了产量模型，根据实际情况，当施肥料带来的收入比用于购买肥料的费用多时，应该多施肥，否则，应少施肥。设土豆和生菜的售价分别是 a1和 a2 (元 / kg) , N、P和K的售价分别中 b1 , b2 , b3 (元 / kg) 。当N、P和K的用量分别是 n, p, k ( kg/ha) 时 ,土豆和生12菜的产量分别是 w1 = f ( n, p, k) 和 w2 = g ( n, p, k) ,而购买肥料的费用是 h = b1
18、n + b2 p + b3 k (元 / ha)利用 DPS得土豆的产量与所施 N,P,K的关系为KP NKPN*769008.*450786. *81903257.0734195.415.9.3 生菜的产量与所施 N,P,K的关系为Nw *041387.1234.129. 2.32土豆获利 hap1生菜获利用微分法可以确定最优解对于土豆：当, ，10325.8196.abN 1452301786.2abp时，可求的 的最大值，即获利最大。7924k 1对于生菜：当， , 105.9386abn 1034268.5abp时，可求的 的最大值，即获利最大。40372k六、参考文献 1 孙海珍，刘宝友，刘向林. 概率论与数理统计.北京:中国铁道出版社,2009。 2 张举刚.统计学. 河北:河北人民出版社, 2003。 3 张文国，牟卫华，陈庆辉.高等数学.北京：中国铁道出版社， 2004。 4 兰吉昌.dps 应用实例精讲.化学工业出版社，2010。
