1、第一章立体几何初步单元小结导航知识链接点击考点（1） 了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。（2） 能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，并会用斜二测法画出它们的直观图。（3） 通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。（4） 理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。（5） 理解平面的基本性质及确定平面的条件。（6） 掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。（7） 掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。名师导航1.学习方法指导（1） 空间几何体空间图形直观描述了空间形体的特征，我们一般用斜二测画法来
2、画空间图形的直观图。空间图形可以看作点的集合，用符号语言表述点，线，面的位置关系时，经常用到集合的有关符号，要注意文字语言，符号语言，图形语言的相互转化。柱，锥，台，球是简单的几何体，同学们可用列表的方法对它们的定义，性质，表面积及体积进行归纳空间几何体构成几何体的基本元素平行投影与中心投影直观图和三视图的画法柱，锥，台，球的结构特征柱，锥，台，球的表面积和体积点，线，面之间的位置关系平面的基本性质 确定平面的条件空间中的平行关系空间平行直线及其传递性直线与平面平行的判定及性质平面与平面平行的判定及性质空间中的垂直关系直线与平面垂直的判定及性质平面与平面垂直的判定及性质整理。对于一个正棱台，当
3、上底面扩展为下底面的全等形时，就变为一个直棱柱；当上底面收缩为中心点时，就变为一个正棱锥。由 和 ，就可看出它们的侧面积与体积公1()2Sch正 棱 台 侧 ()3Vs正 棱 台式的联系。（2） 点，线，面之间的位置关系“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，这种转化最基本的就是三个公理。空间中平行关系之间的转化：直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行。空间中垂直关系之间的转化：直线与直线垂直 直线与平面垂直平面与平面垂直。2.思想方法小结在本章中需要用到的数学思想方法有：观察法，数形结合思想，化归与转化思想等。主要是立体几何问题转化为平面几何问题，平行与垂直的
4、相互转化等。3.综合例题分析例 1：如图，P 是 ABC 所在平面外一点， ， ， 分别是 ， ， 的重心。ABCPBCAPB（1） 求证：平面 平面 ABC； PABC（2） 求 ： .S证明:(1) 连结 , , ,设 ,P D, ,则 D,E,F 分EF别是 BC,AC,AB 的中点,且 C AA23ABCDB 所以, , ，且 ,EF BC平 面 平 面 DEAC平 面,所以 , 从而, 平面 平面 ABC.F平 面 A平 面 A平 面 (2) 由平面几何知识有， ， 所以， .14DEBCS49DEFS 19ABCS点评: (1)由线线平行 线面平行 面面平行,是证明平行问题的常用方
5、法.(2)灵活运用平面几何知识是解决本题的关键。例 2：试证：正四面体内任意一点到各面距离之和等于这个正四面体的高。分析：如图，设 P 为正四面体 ABCD 内任一点，AO 为正四面体的高，点 P 到各面的距离分别为 则1234,dPACDPABPCDABCDBVV即 123413BCDSAOSdSdA正四面体各面是全等的正三角形1234()3BBCDAA124dd点评：多面体问题常用技巧有“割” “补” “等积变换”等，利用这些技巧可使问题化繁为易。例 3：圆台的内切球半径为 R，且圆台的全面积和球面积之比为 。求圆台的上，下底面半径 （ ） 。21812,r2r解：如图，设圆台母线为 ，
6、则 ，由平面几何知识得，l12r即 2212()()Rr12Rr又 ， 221()Slr圆 台 全 2124SRr球由题意得， 21()48r即 221470r代入 得 ， ， .212Rr1R2r点评: (1) 解组合体的关键是注意选择合适的角度画出示意图，通过交点交线来研究问题，正确作出截面，把复杂问题转化为熟悉的,较常见的问题.(2) 轴截面在解决旋转体问题中，有着相当重要的作用.例 4已知三棱锥 中， ， ， 平面 ， ，ABCD901BCDABCD60AB分别是 上的动点，且 ，,EF, ()AEF（）求证：不论 为何值，总有平面 平面 ；（）当 为何值时，平面 平面 ？证（） 平面
7、 ， ，ABCB ，且 ， 平面 ，CDDAC又 （ ） ，EF01不论 为何值，恒有 ， 平面 ， 平面 ，/EFEFB不论 为何值恒有平面 平面 B（）由（）知， ，又要平面 平面 ，AC 平面 ， ， ， ， ，BEACDA1D9060AD ， ，由 得 ，2,tan60 27B2BEC67 ，故当 时，平面 平面 7ACEFAC点评：证明垂直和平行一样，要注意线面与面面的转化及立几与平几的转化。误区莫入（1） 几何中的平面是没有厚度且可以无限延展，因此，用平行四边形表示平面时，必要时可以把它延展开来。如同画直线一样，直线是可以无限延展的，但在画直线时，却只画出一条线段来表示。（2） 平
8、面几何中有些概念和性质，推广到空间不一定正确。如：“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”在空间就不正确。而有些命题推广到空间还是正确，如：平行线的传递性及关于两角相等的定理等。第 一 章单元检测题（星）（时间 100 分钟，总分 100 分）一、选择题:(每题 4 分, 40 分) 1平面 与平面 ， 都相交，则这三个平面可能有（ ）（A）1 条或 2 条交线 （B）2 条或 3 条交线 （C）仅 2 条交线 （D）1 条或 2 条或 3 条交线2 是平面 外的一条直线，下列条件中可得出 的是（ ）b bA（A） 与 内的一条直线不相交 （B） 与 内的两条直线不相交（C） 与 内的无数
9、条直线不相交 （D） 与 内的所有直线不相交3在“斜二测”直观图的画法中，下列说法正确的是（ ）（A）等腰三角形的直观图仍为等腰三角形 （B）梯形的直观图可能不是梯形 （C）正方形的直观图为平行四边形 （D）正三角形的直观图一定为等腰三角形4已知 是三条不重合的直线， 是三个不重合的平面。下面六个命题中正确的命题是（ ,abc,） ,A,abaAA,cA ca（A） （B） （C） （D）5若长方体的三个面的面积分别是 ，则长方体的对角线长为（ ）2,36（A） （B） （C） （D）6 226已知正六棱台的上，下底面边长分别为 2 和 4，高为 2，则其体积为（ ）（A） （B） （C） （
10、D）322833037正三棱锥的底面边长为 2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）(A) ( B) ( C) ( D)2248. 已知正四面体 ，其四个面的中心分别为 、 、 、 .设四面体 的表面ABCDS的 表 面 积 为 EFGHEFG积为 ，则 等于( ) A B C DTS194914139. .一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是 4cm，则该球的体积是 ( )(A) (B) (C) (D) 310cm3208cm350cm36cm10.若四面体的各棱长是 1 或 2，且该四面体不是正四面体，则其体积不可能是（ ）（A） （B） （C） （D）3
11、14216二、填空题:(每题 4 分,共 16 分)11三个球的半径之比为 1：2：3 则最大球的体积是其它两球体积之和的 倍。12 （99 年高考） 是两个不同的平面， 是平面 之外的两条不同直线，给出四个论断：,mn, 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正mnn确的一个命题 13已知正六梭柱各侧面都是正方形，底面外接圆直径为 8cm，它的体积为 14已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 AC=BC=6，AB=4，则球的体积等于_。三、解答题:(每题 11 分,共 44 分)15 长方体全面积为 16 ，长，宽，高之和为 5cm.。求它的
12、外接球的体积。2cm16一个倒置圆锥形容器，轴截面为正三角形，在这个容器内放入半径为 r 的一个铅球，然后注入水，使水面与球相切。求将球取出后水面的高度。17已知球面面积为 ，在球面内作一内接圆柱，使圆柱的底面半径和高的比为 .求圆柱的体积。25cm 1:318如图，在正方体 中，点 N 在 BD 上，点 M 在 上，且 CM=DN 求证：1ABCD1BC。1MNA平 面11ACA B 第 一 章单元检测题（星）（时间 100 分钟，总分 100 分）一、选择题:(每题 4 分, 40 分) 1在空间四边形的四条边所在直线中，相互垂直的直线对数最多可以有（ ）（A）2 对 （B）3 对 （C）
13、4 对 （D）5 对2长方体的表面积是 22 ，所有棱长之和为 24cm，则对角线长为（ ）2cm（A） （B） （C） （D）1113cm14c3三棱锥的四个面中，下列说法错误的是 （ ）（A）可以都是直角三角形 （B）不可以都是钝角三角形（C）可以都是等腰三角形 （D）可以都是锐角三角形4棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱，侧面积，体积时，相应的截面面积分别为，则（ ）123,S（A） （B） （C） （D）3S321S213S132S5将边长为 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使 BD= ,则三棱锥a a的体积为（ ）DC（A） （B） （C） （D）3631
14、2a3123126等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是（ ）（A） （B） （C） （D）不能确定S球 正 方 体 S球 正 方 体 S球 正 方 体7已知直线 l、m，平面 、 ，且 l ,m .给出四个命题：（1）若 ,则 lm;(2)若 lm,则 ;(3)若 ,则 lm ;(4)若 lm ,则 ,其中正确的命题个数是( )A.4 B.1 C.3 D.28如图，定点 A 和 B 都在平面 内，定点 ， ，C 是PB内异于 A 和 B 的动点，且 。那么，动点 C 在平面 内的轨迹是（ ）APCA. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点C. 一个椭圆，但要去掉两个点
15、 D. 半圆，但要去掉两个点9如图，在正方形 中，E，F 分别是 与 的中点，D 是 EF 的中点，现在沿 SE，SF 及 EF 把123SG12G3这个正方形折成一个四面体，使 重合，重合的点记为 G 那么四面体 S-EFG 中必有（ ）123,（A） （B）所 在 平 面 SEFA所 在 平 面（C） （D）GFSE所 在 平 面D所 在 平 面10. 如图，在长方体 中， ， ，1DCBA64A。分别过 BC、 的两个平行截面将长方体分成三部分，31A1其体积分别记为 ， ， 。若 ，则截面11DFAEV112DFCAEBVCFBEV113 1:4:321V的面积为 ( ) A. B.
16、C. D. 1EFD04846二、填空题:(每题 4 分,共 16 分)11两个球的体积之比为 ，那么这两个球的表面积之比为 8:2712一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长是 ,则它的全面积是 a13半径为 R 的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积是 。14在三棱锥 中，三条侧棱 PA，PB，PC 两两垂直。设 PA=x，PB=y ，PC=1，如果 x+y=4, 则此三PABC棱锥体积的最大值是 。三、解答题:(每题 11 分,共 44 分)15一个四面体中，若有5条棱长均为3，只有一条棱长为4. 求此四面体的体积.16在棱长为1的正方
17、体内，有两球相外切并且又分别与正方体内切。（1） 求两球半径之和；（2） 球的半径为多少时，两球体积之和最小？17.在一个正四棱台内有一个以它的上底面为底面,下底面中心为顶点的棱锥,如果棱台的上,下底面边长分别为b和a(ba),且棱锥与棱台的侧面积相等,求棱台的高,并求出有解的条件.18.如图,在正方体ABCD-A 1B1C1D1中，E、F分别是BB 1、CD的中点. ()证明ADD 1F; () 证明面AED面A 1FD1;() 11 12FAEDFAV设 ， 求 三 棱 锥 的 体 积第 一 章单元检测题（星）答案一. 选择题:1.D 2.D 3.C 4.A 5.A 6.B 7.C 8.A
18、 9.C 10.A二.填空题:11.3 12. 或 13. 14. 396cm276三 解答题:15. 16. 17. 18分析：作 ME BC 交 BB 于 E，作392cm315r324cm1NE AD 交 AB 于 F。连结 EF，则 EF 面 AA B B BD=B C DN=CM B M=NB 11故 ME=NF 又 ME BC AD NFCBME1BDNAADNFCME1 MEFN 为平行四边形MN EF MN 平面1第 一 章单元检测题（星）一. 选择题:1. B 2.D 3.B 4.A 5.D 6.C 7.D 8.B 9.A 10.C 二.填空题:11. 12. 13. 14. 4:921(3)4a24R23三 解答题:15. 16. , ,体积最小1Rr317. 21ba(2)ba或18. 解:( )AC 1是正方体, AD面DC 1. 又D 1F 面DC 1, AD D 1F.()由() 知ADD 1F，可证AE D 1F，又ADAE=A， D 1F面AED 又 D 1F面A 1FD1, 面AED面A 1FD1. ()连结GE,GD 1.FG A 1D1, FG面A 1ED1, AA 1=2,面积S A 1GE=SABB 1A1-2SA 1AG-SGBE= 23又 GEFDEDFVV1112FSE131A
