1、极 端 性 原 理用 极 端 原 理 解 题 ， 就 是 在 解 决 相 关 数 学 问 题 时 ， 重 点 放 在 所 研 究 问 题 的极 端 情 况 。 这 是 因 为 矛 盾 的 普 遍 性 往 往 存 在 与 特 殊 性 质 中 ， 所 涉 及 问 题 的 结论 也 往 往 蕴 含 在 极 端 情 况 之 中 。 1 最 小 数 原 理 、 最 大 数 原 理命 题 一 有 限 个 实 数 中 ， 必 有 一 个 最 小 数 (也 必 有 一 个 最 大 数 ) 命 题 二 无 限 个 正 整 数 中 一 定 有 最 小 值 。 命 题 三 无 限 个 实 数 中 不 一 定 有 最
2、 大 数 最 小 数 对 于 自 然 数 集 ， 有 最 小 数 原 理 若 M 是 自 然 数 集 N 的 任 一 非 空 子 集 (有 限 或 无 限 均 可 )， 则M 中 必 有 最 小 的 数 2 最 短 长 度 原 理最 短 长 度 原 理 1： 任 意 给 定 两 点 ， 所 有 连 接 这 两 点 的 线 中 ， 以 直 线 段 的长 度 为 最 短 ； 最 短 长 度 原 理 2： 在 连 接 一 已 知 点 和 已 知 直 线 或 已 知 平 面 的 点 的 所 有 线中 ， 以 垂 线 段 的 长 度 为 最 短 。 编 辑 本 段 典 型 例 题（ 一 ） 考 虑 问
3、题 的 极 端 情 形 ： 引 例 ： 平 面 上 有 n 个 (n 3)点 ， 任 三 点 不 共 线 ， 证 明 ： 存 在 3 点A、 B、 C， 使 其 余 n 3 个 点 都 在 ABC 外 面 例 1 求 证 ： 在 四 面 体 ABCD 中 ， 必 有 某 个 顶 点 ， 从 它 发 出 的 三 条 棱 作 为三 边 可 以 构 成 一 个 三 角 形 。 例 2 给 出 平 面 的 一 个 有 限 点 集 ， 点 集 中 的 点 不 全 在 一 条 直 线 上 证 明 ：存 在 一 条 直 线 ， 只 经 过 点 集 中 的 两 个 点 例 3 平 面 上 有 n 个 红 点
4、与 n 个 蓝 点 ， 任 意 三 点 都 不 共 线 求 证 ： 可 以用 n 条 线 段 连 结 这 2n 个 点 ， 每 条 线 段 连 结 一 个 红 点 与 一 个 蓝 点 ， 且 这 n条 线 段 没 有 公 共 点 例 4 有 n(n3)个 排 球 队 参 加 单 循 环 赛 (排 球 赛 的 每 场 都 要 分 出胜 负 ) ， 比 赛 结 束 后 ， 发 现 没 有 一 个 队 全 胜 求 证 ： 必 存 在 三 个 队A， B， C， 使 A 胜 B， B 胜 C， C 又 胜 A 例 5 有 n 个 男 生 ， m 个 女 生 （ n， m1） ， 每 一 个 男 生 至
5、 少 与 一 个 女 生彼 此 相 识 ， 每 个 女 生 不 全 认 识 n 个 男 生 ， 证 明 ： 他 们 当 中 ， 必 有 两 个 男 生 和两 个 女 生 ， 其 中 每 个 男 生 恰 好 认 识 其 中 一 女 生 ， 其 中 每 个 女 生 恰 好 认 识 其 中一 男 生 。 （ 二 ） 逐 步 调 整 法 例 6 一 群 小 孩 围 坐 一 圈 分 糖 果 ， 老 师 让 他 们 先 每 人 任 取 偶 数 块 糖 ， 然 后按 下 列 规 则 调 整 ： 所 有 小 孩 同 时 把 自 己 手 中 的 糖 分 一 半 给 右 边 的 小 孩 ， 糖 块变 为 奇 数
6、的 人 向 老 师 要 1 块 糖 这 算 一 次 调 整 证 明 ： 经 过 有 限 次 调 整 后 ，大 家 的 糖 就 变 得 一 样 多 了 （ 三 ） 无 穷 递 降 法 例 7 若 干 个 球 装 在 2n+1 个 口 袋 中 ， 如 果 任 意 取 走 1 袋 ， 总 可 以 把 余下 的 2n 袋 分 成 两 组 ， 每 组 n 袋 ， 并 且 这 两 组 的 球 的 个 数 相 等 证 明 ： 每 个袋 中 的 球 的 个 数 都 相 等 例 8 试 求 方 程 x3 2y3 4z3=0 的 所 有 整 数 解 例 9 设 正 整 数 n ， m 满 足 nm， 证 明 ：
7、存 在 的 一 种 不 等 的 倒 数 分 拆 ，既 存 在 自 然 数 n1n2nk， 使 得 。 （ 四 ） 构 造 法 与 极 端 性 原 理 例 10 求 最 大 的 整 数 A， 使 对 于 由 1 到 100 的 全 部 自 然 数 的 任 意 一 排 列 ，其 中 都 有 10 个 位 置 相 邻 的 数 ， 其 和 大 于 或 等 于 A。 例 11 若 平 面 上 有 997 个 点 ， 如 果 每 两 点 连 成 一 条 线 段 ， 且 中 点 染 成 红色 证 明 ： 平 面 上 至 少 有 1991 个 红 点 ， 你 能 找 到 恰 有 1991 个 红 点 的 特
8、例吗 ？ （ 五 ） 反 证 法 与 极 端 性 原 理 例 12 设 a 是 大 于 1 的 自 然 数 ， 求 证 ： a 的 所 有 正 因 数 中 ， 至 少 有 一 个是 质 数 例 13 设 f(n)是 定 义 在 自 然 数 集 上 且 取 自 然 数 值 的 严 格 单 调 递 增 函 数 ，f(2)=2， 当 m， n 互 质 时 ， 有 f(mn)=f(m)f(n)， 求 证 ： 对 一 切 自 然 数 n， 有f(n)=n。 （ 六 ） 几 个 例 题 例 14 已 知 ， ， ， 与 ， ， ， 是 2n 个 数 ， 且 2+ 2+ 2=1， 2+ 2+ 2=1， 求 证 ： ， ， ， 中 存 在 一 个 值 一 定 不 大 于 1。 例 15 求 证 ： 单 位 长 的 任 何 曲 线 能 被 面 积 为 0.25 的 闭 矩 形 覆 盖 。 （ 美国 普 特 南 数 学 竞 赛 题 ， 1963 年 ）
