1、1抢渡长江摘要本文就竞渡策略问题建立了竞渡路线优化模型。首先，分析问题一我们要确定 2002 年的第一名的路线。可将参赛者的速度设为 ，1v水流速度为 且恒定，根据物理上的方法我们可得到 又因为2v 84sin10co62v，解方程可得 米/秒， 另外要为一个速度能保持 1.5 米/54.1v46.27秒的人选择游泳方向，并计算出他的成绩为。将参赛者的成绩设为 ,一时间最短建立t目标函数： 求解可得 ， 秒21minsi0co6vt86.3190t接着，问题二分析 1934 年和 2002 年能到达终点的人数的百分比差别之大的原因，得出是由于起点中点水平距离的不同而导致了比赛所需的最小的速度不
2、同。其中 2002年到达终点的选手所需的最小速度为 1.43 米/秒，1934 年则只需要 0.44 米/秒。其次，对于问题而问题三我们用同样的方法把时间分为三段，以时间最短建立目标函数 再根据所给条件的不同，具体分析，列其约束条件。再根据数学软件31minitTLINGO 求解出问题三中参赛者在每段的游向的方向角分别为 36.11,28,09,36.11 最佳成绩为 15 分 4 秒 0228。 对于四我也较好的处理了这一问题。最后翻阅了一些资料，给了也给出了参赛者一些建议，又将文本所建立的模型做了一些推广，他们可以应用到航天，航空和航海等。关键词：最优解 LINGO 路线最优 2一、问题重
3、述“渡江”是武汉城市的一张名片。1934 年 9 月 9 日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约 5000 米。有 44 人参加横渡，40 人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜” 。2001 年， “武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。2002 年，正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛” ，于每年的 5 月 1 日进行。由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。2002 年 5 月 1 日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约 1160 米。据报载
4、，当日的平均水温 16.8, 江水的平均流速为 1.89 米/秒。参赛的国内外选手共 186 人（其中专业人员将近一半） ，仅 34 人到达终点，第一名的成绩为14 分 8 秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000 米，见示意图。请你们通过数学建模来分析上述情况, 并回答以下问题: 1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。试说明2002 年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她
5、游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在 1.5 米/ 秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。2. 在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么 1934 年 和 2002 年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。3. 若流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y 轴正向) ：米米秒 ，米 米米秒 ，米 米米秒 ，米 160960/47.122/.)( yyv游泳者的速度大小（1.5 米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成
6、绩。4. 若流速沿离岸边距离为连续分布, 例如 1609)160(28.22.)( yyv， ，1160m1000m长江水流方向终点: 汉阳南岸咀起点: 武昌汉阳门3或你们认为合适的连续分布，如何处理这个问题。5. 用普通人能懂的语言，给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。6. 你们的模型还可能有什么其他的应用？ 抢渡长江路线图 抢渡长江竞赛现场2、模型假设(1) 不考虑抢渡时风力、水的浑浊等因素对水流速度的影响。(2) 竞渡的两岸为平行直线。(3) 在竞渡过程中参赛选手的游泳速度的大小不变，且水流速度方向与河岸平行，在竞渡区内水中没有障碍物。(4) 不考虑参赛选手之间在竞渡过程中的
7、相互影响，且游渡到终点的时间不受限制。(5) 不考虑参赛队员的身体特征和素质。(6) 比赛路线理想化，忽略起点和终点的区域性，所有成功横渡选手均视为从同一点出发，在同一点到达。(7)把参赛选手视为质点。三、符号说明1、渡江起点为为 A，终点为 B；2、参赛者的速度为 ，水流速度为 ，方向角为 ；1v2v3、参赛者的成绩为 T，并分为 ；1,t4、两岸之间的距离为 y，并分为 ；32,y5、起点与终点的水平距离为 并分为 ，l1l4、模型的建立与分析问题一：确定游泳速度的大小和方向41、设竞渡在平面区域进行,参赛者的速度为 ，水的流速为 ，参赛者的方向角为 ，1v2v由已知假定在竞渡过程中游泳者
8、的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。参赛者完成的时间为 14 分 8 秒即 848 秒。还已知河宽为 1160 米，起点于终点 的水平距离为 1000 米。见图一：AB根据物理上的方法我们可得到 其中 ， ，解方程可84sin10co62v89.12v2得 米 /秒， 54.1v46.272、为了确定一个速度能保持在 1.5 米/秒的人的游泳方向，并估计他的成绩，我们见参赛者的成绩设为 ,一时间最短建立目标函数： 其约束条件为t 21minsi0co6vt，解出 ，286.31st90问题二：确定参赛者成功的条件1、如果参赛者始终以和岸边垂直的方向游, 即 ，所以
9、当参赛者的速02106v度满足 时，就可以垂直到达岸边，也就是说参赛者的速度必须比水流速度2106v要大。2、在水流速度均不变的情况下，比较 1934 年 和 2002 年的参赛情况，将起点 于终A点 的水平距离设为 L，分析 L 对速度的影响： 要使游泳者到达对岸必须满足条件B(在水流速度均不变时) ： 我们可知当 L 值不同时参赛者的速度就211sinco60vv不同，若以 建立里目标函数，可知当 L 为 1000 时用 LINGO 软件（见附件 1）的min1v5当 时 。所以很显然 2002 年如果参43.1minv 58.46310522L4.0min1v赛者想成功速度必须达到 1.
10、43 米/秒的速度，而 1934 年是只要达到 0.44 米/ 秒就可以了，所以很显然 1934 年比 2002 年容易得多。总结： 在水流速度不变、人的速度一定的情况下，得出在比赛中，最关键原因是起点到终点的水平距离，另外当然还要考虑水流速度，水温，天气情况等原因。问题三：流速改变时确定成绩由于流速沿岸边分三段分布，参赛者的速度大小恒定 ，我们可以假定在每一段5.1u人的速度为一个不同的方向，它们的方向角分别为 人游过三段的时间分 别为32,，总时间为 ，另外将 L 也分为三段分别为每段时间里水流走过的路321,t 321ttT程分别为 ，将两岸之间的距离也分为 。其中 T 是一个321,l
11、 0,76,0321yy关于 的函数，以时间最短建立目标函数： 约束条件为： 31minitT用 LINGO 软件（见附件 2）求解得：210sinco321i iilltvy所以我们得到参赛者在每段的游向的方向角分别为08.94minT1.3609.236.11,28,09,36.11 最佳成绩为 15 分 4 秒 0228。问题四：进一步分析流速的分布由于流速沿岸边分三段分布，且题目中假设人的速度大小不变，我们可以假定在每一段人的速度为一个不同的方向，它们的方向角分别为 人游过三段的时间分321,别为 ，总时间为 ，与问题三类似 是一个关于 的函数。由此，我321,t 321ttTT们可以
12、求出目标函数 ：3min1it6约束条件 又因为210sinco321i iilltvy1609)160(28.22.)( yyv， ，由以上式子再将 代入可以得到：5.1v 321cos5.s.7cos5. T用 LINGO 软件（见附件 3）解得 6.7,9.4,26.37,48.931问题五：竞渡策略凡 是 有 意 参 加 竞 渡 长 江 的 游 泳 爱 好 者 都 有 一 共 同 的 愿 望 成 功 横 渡 长 江 。然 而 受 到 自 然 条 件 和 自 身 条 件 等 外 在 因 素 的 影 响 以 及 选 择 路 线 的 错 误 ， 使 得 竞 渡 失败 。 那 么 怎 么 才
13、能 成 功 的 横 渡 长 江 呢 ？ 我 们 作 出 以 下 策 略 供 您 参 考 ：在 忽 略 了 自 然 条 件 与 自 身 条 件 等 的 情 况 下 ， 根 据 我 们 的 模 型 ， 我 们 可 以 为 不 同速 度 得 游 渡 者 提 供 一 张 表 ， 参 赛 选 手 可 在 这 张 表 中 查 到 渡 江 时 的 游 渡 速 度 方 向 角 ，按 照 我 们 所 提 供 的 方 案 ， 你 定 能 渡 江 成 功 。假 设 水 流 速 度 v(y)=8.2937y(1160-y)， 现 将 游 渡 速 度 在 1m/s2.2m/s 的 部 分选 手 游 渡 方 案 列 表
14、如 下 ：选手游渡速度v0(m/s)需逆游时间t0(s)第一段游渡角度和到达纵坐标( ()1, (m)y第二段游渡角度和到达纵坐标( (), (m)22y第三段游渡角度和到达纵坐标( () (m)33y1 796.48(48.81， 115.43) (71.75，1044.57) (48.81，1160)1.1 521.31(48.88，128.59) (70.69，1031.41) (48.88，1160)1.2 320.30(48.97，142.15) (69.71，1017.85) (48.97，1160)1.3 170.48(49.05，156.14) (68.79，1003.86)
15、(49.05，1160)1.4 57.01 (49.15，170.61) (67.94，989.39) (49.15，1160)1.43 28.45 (49.17，175.06) (67.69，984.94) (49.17，1160)1.47 0 (50.24，181.06) (67.67，978.94) (50.24，1160)1.5 0 (54.24，185.62) (68.68，974.38) (54.18，1160)1.54 0 (58.98，191.78) (70.18，968.22) (58.98，1160)1.55 0 (60.09，193.33) (70.56，966.67)
16、(60.09，1160)1.59 0 (64.37，198.04) (71.39，961.96) (62.83，1160)1.6 0 (64.44，201.21) (73.02，958.79) (64.54，1160)71.7 0 (72.76，217.47) (76.44，942.53) (72.76，1160)1.8 0 (78.33，234.50) (80.01，925.50) (78.33，1160)1.9 0 (82.54，252.42) (83.21，907.58) (82.55，1160)2.0 0 (85.89，271.37) (86.08，888.63) (85.88，116
17、0)2.1 0 (86.27，291.56) (87.76，868.44) (92.58，1160)2.2 (90.93，313.28) (90.96，846.72) (90.94，1160)说明： 选手可根据自己的速度选择你的游渡角度。如 v0=1.43(m/s) ，查表得选手先逆游 28.45 秒，然后速度方向再以 49.17的角度，游到纵坐标为 175.06 米处，改变速度方向角度为 67.69，游到纵坐标为 984.04 米处，再改变速度方向角度为 49.17，游到终点。当 v01.46m/s 时，选手无需逆游，开始入水速度方向为 ，1游到纵坐标为 y1米处，改变速度方向角度为 ，游到
18、纵坐标为 y22米处，再改变速度方向角度为 ，游到终点。3问题六：模型的其他应用（1）飞机的紧急避险模型：飞机遇到风暴时，应在最短的时间内飞到最近的机场上空着陆。才能最大限度保证飞机的安全。在此模型中，假设风的速度成连续分布，方向固定。将 x 轴设为风速方向，那么与抢渡长江模型基本上一样。我们将抢渡模型作为基本的模型，在考虑到其它因素对质点运动轨迹有一定影响时，那么我们就将模型推广，可以考虑更加符合实际的复杂模型（例如空间三维模型） 。（2）潜水艇的发射模型 ：潜伏在水中的潜艇在侦测到目标（舰艇或潜艇）时，应迅速找出最佳攻击方案。考虑到鱼雷有一定的杀伤半径，且在发现目标到鱼雷攻击到目标的时间越
19、短，目标的位移越小，所以近似的将目标视为固定点。将潜艇与目标建立在同一坐标系内，设水流速度方向为 x 轴。建立潜水艇的发射模型，那么与抢渡长江数学模型同出一辙。如果考虑到水流方向的任意性和不同层面的水流速度是连续性分布，那么就此建立的模型更符合实际。但模型就更加复杂化。综合分析可知，潜艇在潜伏区域测出水流的速度，方向及地形等因素对各个层面流速的影响，计算出水流流速的连续性曲线，那么在攻击区域内可以通过调整精确的发射角度而在最短的时间内将目标击中。 我们的模型还会引用于航海，航空，宇宙空间飞行等实际应用中。五、模型的评价由结果可知，模型四中所用的总时间 T 小于模型三中的总时间 T，说明模型四中
20、的方案确实优于模型三中的方案，可是按照模型四中的方案，不断变换速度方向，选手将很难把握，模型四太过理想化，不太符合实际情况，在实际情况中，由于各种因素的作用，如，水速对选手速度的影响，选手判断方向的误差等，选手将不能严格按照8模型四中方案提供的路线前进，结果可能导致到达不了终点。如果条件允许的话，选手能随身携带一个事先按照此模型设计的一个仪器，提示选手在每一位置应该取的方向，那么就可以得到最优前进路线。在现实生活中人们通常习惯于看参照物前进，可以在不同水域中给出不同的参照物一直引领游泳者前进，在这个模型中我们要运用到坐标矢量分析和最优化求解，且系数比较多一时难以建立。参考文献1 王志魁，化工原
21、理，化学工业出版社，1998 年。2 同济大学应用数学系，微积分，高等教育出版社，1999 年。3 教育部高等教育司，证券投资学, 高等教育出版社，1999 年。4 宋济，知识助我登上领奖台，http:/210.35.251.120/cjfd/mainframe.asp?encode=gb&display=chinese&navigate=mid，2003 年 9 月 24 日。5 彭援军，毛泽东畅游九江，http:/210.35.251.120/cjfd/mainframe.asp?encode=gb&display=chinese&navigate=mid，2003 年 9 月 24 日。6 史力生，用数字直接模拟层流，http:/210.35.251.120/cjfd/mainframe.asp?encode=gb&display=chinese&navigate=mid，2003 年 9 月 24 日。7杨波等，抢渡长江最佳路线的探讨，数学通讯，2003 年 9 月 24 日。
