1、数学冲刺 2 答案一、选择题目1.A； 2C； 3D； 4D； 5D； 6B；7B；8D ； 9A； 10C； 11C.； 12B13B 14C 15C 16B 17D 18B 19C 20D 21A 22C 23A 24B二填空题25. ； 26. -4,0,4； 27 5.； 28. 214 1x1229、64 30、4 31、 )4(371nn 32、 10三、解答题33. (本小题满分 12 分)解：（1）由题意知3 分).6)()2(,106411 dada解得 5 分3所以 an=3n5. 6 分（） 153842nnb数列b n是首项为 ，公比为 8 的等比数列，-9 分所以 1
2、2 分;2181)(nnS34 解：（1）由 f(0)=2a=2, 得 a=1 , 2,43)(baf得f(x)=2cos 2x+2sinxcosx=sin2x+cos2x+1= 1)sin(2xf(x)的最大值是 ，最小值是 1（2） . ,2)42sin(01)42sin(,0)( 得f).12(4732),20( )10(,4,4522 分或或或 分或 或 Zkk Zk35（1）由已知: 锐角ABC （2）原式=36 解：()茎叶图2 分从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，应选派乙同学代表班级参加比赛更好；4 分（）设事件 A 为：甲的成绩低于 12.8，事件 B 为：乙
3、的成绩低于 12.8，则甲、乙两人成绩至少有一个低于 秒的概率为：12.8= ；8 分P)(1B5401(此部分，可根据解法给步骤分:2 分)（）设甲同学的成绩为 ，乙同学的成绩为 ，xy则 ，10 分0.8xy得 ，.如图阴影部分面积即为 ，则32.4.16. 04(0.8)(.08)325PxyPxyx12 分OzyxF MEDCBA37.解：（）记“取出的 3 张卡片上的数字互不相同”为事件 A，（1 分）则 31520C=PA,即取出的 3 张卡片上的数字互不相同的概率为 （3 分）（）随机变量 X的所有可能取值为 2，3， 4，5，（4 分）相应的概率为：3410C(2)P，1243
4、01()5，121630C()PX，128301C(5)PX，（6 分）随机变量 的分布列为：X 2 3 4 5P 015081从而 18()234053E.（8 分）（）从盒子里任取 3 张卡片，按卡片上最大数字的 9 倍计分，所以要计分超过 30 分，随机变量 X的取值应为 4 或 5，（10 分）故所求概率为 5()()106PX.（12 分）38 解：（1）以直线 、 、 分别为 轴、 轴、 轴建立空间DACExyz直角坐标系，则 ， ， ，所以 .)0,2(),2(B),4()2,0(E)1,20(M 2 分1,BM又， 是平面 的一个法向量.4OCF 即O 平面 4 分ADE（2）
5、设 ，则 ，),(zyx)2,(zyx又 ,40E设 ，则， 即 .6 分1CM,0)2,40(M设 是平面 的一个法向量，则),(1zynBM02xOB )2(411 zynO取 得 即 1 12,1 ,又由题设， 是平面 的一个法向量，8 分)(AAF 10 分216)1(42|,cos| 2 nOA即点 为 中点，此时， ， 为三棱锥 的高，MECDEMSDEMB 12 分BDV339 解：()存在，线段 的中点就是满足条件的点 P（1 分）证明如下：取 A的中点 F，连接 PEF,，则PC，且 12A.（2 分）取 的中点 M，连接 ,C，AE且 60，V是正三角形， E四边形 D为矩
6、形， 12A又 CA， FPA且 ，四边形 是平行四边形（4 分）DPE，又 平面 EB， D平面 EAB， A平面 B（6 分）（II） （解法 1）过 作 AC的平行线 l，过 作 l的垂线交 l于 G，连接 D，E， l，则 是平面 与平面 C的交线（8 分）平面 平面 ， D，DC平面 B，又 Gl， ，G是所求二面角的平面角（10 分）设 2AEa，则 3Ca， 2，7，cosDG （12 分）（解法 2） 90BAC，平面 EACD平面 B，以点 为坐标原点，直线 为 x轴，直线 为 y轴，建立空间直角坐标系 Axyz，如图所示设 2ABCEa，由已知，得(20)a， (,3)a，
7、 (0,3)DE，（8 分）设平面 B的法向量为 (,)xyzn，则 En且 D，0=， 230 axyz，解之得320 xzy，取 ，得平面 EBD的一个法向量为 (3,02)n.（10 分）又因为平面 AC的一个法向量为 ,1（11 分）2227cos|,|(3)00 .（12 分）40. (本小题满分 12 分)解：（1）设 、 ，由于 和 轴，所以,(yxM,0yPDPMx代入圆方程得： -2 分x00 142y当 时，轨迹 表示焦点在 轴上的椭圆；当 时轨迹 就是圆 O；1CC当 时轨迹 表示焦点是 轴上的椭圆. -4 分y（2）由题设知 ， ， ， 关于原点对称，所以设 ，),2(
8、A),0(BEF)32,(1xE， ，不妨设 -6 分3,(1yxF3xG01x直线 的方程为： 把点 坐标代入得2yG260x又， 点 在轨迹 上，则有 -8 分EC9421 491 即 -10 分GF6)(60110xx075x （ ） -12 分7523492982or41 解：()由题意得，直线 AB的方程为 0().bxayb（1 分）由 522ba及 232a，得 .1,（3 分）所以椭圆的方程为 .142yx（4 分）() 3QMNP， 4MN. （6 分）当直线 l的斜率不存在时， (0,1)， (,)，易知符合条件，此时直线 l的方程为.0x（8 分）当直线 l的斜率存在时，
9、设直线 l的方程为 35kxy，代入 142yx得.06412)369(kx由 224 05(93)，解得 92k.设 12(,),)MxyN，则 122036x， 2369k， （10 分）由得 .421x 由消去 21,，得226(4)93k，即23619k，无解.综上存在符合条件的直线 0.lx，（12 分）42(本小题满分 12 分)解：（1） .2)1()2( bxabaf由于直线 的斜是 ，且过点（ ） ，.045yx4523,1 即 -4 分324)1(23babaf 1)(2xf（2）由（1）知： 则),1()1ln()(2xmxg，-6 分22)()(mxg令 ， h当 时，
10、 ，在 时， 即， 在0m2)(xh,00)(xh)(g)(xg上是增函数，则 ，不满足题设., )(g当 时， 且1m2m 时， 即， 在 上是增函数，则,0x0)(x)()(x,0，不满足题设.-8 分)(g当 时，则 ，由 得1m)14422 0)(xh； 01x 01x则， 时， ， 即， 在 上是增函数，则),02)(h0)(g)(xg2,，不满足题设.-10 分()2g当 时， ， 即，14242 m )(xh0)(g在 上是减函数，则 ，满足题设.x, )(x综上所述， -12 分),1m43 解：（）2(2)1(2(axaxfxx， 0，令 0)(xf得 1或 .2a， .当
11、x及 a时， ()0fx；当 12ax时， ()0fx，()f的单调递增区间为 ,)2a.（3 分）（）当 4a时， xxfln46)(， 4()6fx， .令 ()2fx，方程无解， 不存在 0ym这类切线.（5分）令 4()63f得 12x或 4，当 12x时，求得 7ln；当 时，求得 80.（7 分）（）由（）知，当 4a时，函数 )(xfy在其图象上一点 )(,0xfP处的切线方程为 20000()26)(64lnymxx,设 2 20000()()4ln()(64ln)f xxx，则 0().x（ 8 分）0000442226(6)2()1()xxx，若 0x， )(在 0,)上单
12、调递减，所以当 0()，时， 0()x，此时 )(0；若 02x， ()x在 02,)上单调递减，所以当 02(,)x时， 0()x，此时 )(0.所以 ()yfx在 ,2)(,)上不存在“类对称点”.（10 分）若 0， 2x， (x在 0,)上是增函数，当 0x时， 0)(，当 0时， 0(x，故 0().x即此时点 P是 yfx的“类对称点”.综上， ()存在“类对称点” ， 2是一个“类对称点”的横坐标.（12分）44（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲解：（I）证明： ，CBDAECDA ，又 ，ECBD ， ， CD =DEDB； （5 分）245 （本小题满分 10
13、分）选修 44：坐标系与参数方程解：（）消去参数得直线 的直角坐标方程： -2 分l xy3由 代入得 .sincoyxcos3sin)(R（ 也可以是： 或 ）-5 分3)0(4（） 得3sin2sico22 -7 分032设 ， ，),(1A),(2B则 .-10 分154| 221（若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分）46(本小题满分 l0 分)选修 45：不等式选讲解：（1） ，-3 分)2(312(xxf又当 时， ，3 -5 分)(3f（2）当 时， ；1x 112x当 时， ；1xx当 时， ；-8 分3综合上述，不等式的解集为： .-10 分,47 解：（） CEA，
14、CAE （2 分）AB， BD， D， ，（4 分）， ，即 BD平分 C（5 分）（）由（）知 又 F， AFV （7 分）ABD， 6， 8B2398（10 分）48 解：（）将点 P43， 化为直角坐标，得 23P， ，（2 分）直线 l的普通方程为 1yx，显然点 不满足直线 l的方程，所以点 不在直线 l上.（5 分）（）因为点 Q在曲线 C上，故可设点 2cos,inQ，（6 分）点 到直线 l： 31yx的距离为2sin231|23cosin1|d ，（8 分）所以当 sin时， min32d，当 i13时， ax故点 Q到直线 l的距离的最小值为 231，最大值为 23.（10 分）49 解：() 5()1342()xf.（2 分）由35412x解得 13x；由42x解得 1x；由 4x解得 4，（4 分）综上可知不等式 ()fx的解集为 1|3x或 .（5 分）（）由 yf的图象，可知 ()f在 2处取得最小值 72，（6 分）xR， 29(),（8 分）27,即 70,1或 .实数 的取值范围为 ,1,2.（10 分）
