1、湖南省长郡中学 2011 届高三年级分班考试数学试题（理科）时量：120分钟 总分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.1 的二项展开式中的第七项为 （ ）)()10为 虚 数 单 位iA210 B 210 C120i D120i2一个空间几何体的三视图及其尺寸如下图所示,则该空间几何体的体积是 （ ）A B C7 D14373143函数 的零点所在的区间是 （ ）xxf2)ln()A B C D1,2()1,(e)2,1(e),2(e4已知离心率为e的双曲线 ，其右焦点与抛物线 的焦点
2、重合，则e的值为72yaxy6（ ）A B C D43234344235如图，设D是图中所示的矩形区域， E是D 内函数图象上方的点构成的区域，向D 中随xycos机投一点，则该点落入E（阴影部分）中的概率为 （ ）A B21C D126执行下面的程序框图，输出的S 值为 （ ）A B C D10918798527为了迎接第十届全国中学生运动会在长沙举行，某中学从6名品学兼优的同学中选出4名去进行为期三天的宣传活动，每人一天，要求星期天有2人参加,星期五、星期六各有1人参加,则不同的选派方案的种数为 （ ）A90 B 180 C240 D3608已知集合 、 、)1(,.:,4321, fAN
3、MfNM若 点定 义 函 数 )2(,fB的外接圆圆心为 D，且 ，则满足条件的函数Cf),3( (RBA有 （ ）xA6 个 B 10 个 C12 个 D16 个二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 3 分，共 21 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9由抛物线 和直线 x=2 所围成图形的面积为 .xy210集合 ，则实数 t 的取ABtxBA 若,012|,14|R值范围是 。11已知二次函数 的最小值为acxcaxf 1),)(2)( 则的 值 域 为。解：值域为 得 所以最小值为 40,)0,112给出下列四个命题：过平面外一点，作与该平面成 角的直线一定有无穷多条；一条直
4、线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；对确定的两条异面直线,过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线都平行；对两条异面的直线,都存在无穷多个平面分别与这两条直线所成的角相等；其中正确的命题序号为 （请把所有正确命题的序号都填上）.三、解答题：本大题共 6 小题，共 55 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16 （本小题满分 8 分）三角形的三内角 A，B，C 所对边的长分别为 ),(, abcmcba设 向 量求：,/),(nmcban若（1）角 B 的大小；（2） 的取值范围.si17 （本小题满分 8 分）某单位举办 2010 年上海世博会知识宣传活动
5、,进行现场抽奖.盒中装有 10 张大小相同的精美卡片,卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝” （世博会吉祥物）图案;抽奖规则是: 参加者从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖,否则,均为不获奖.卡片用后放回盒子,下一位参加者继续重复进行.（1）活动开始后,一位参加者问:盒中有几张“海宝”卡? 主持人答:我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是 ，求抽奖者获奖的概率；152（2）现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖,用 表示获奖的人数，求 的分布列及期望.18 （本小题满分 9 分）已知几何体 ABCED 的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是腰长为 4 的等腰直角三角形，
6、正视图为直角梯形.求：（1）异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值；（2）二面角 AEDB 的正弦值；（3）此几何体的体积 V 的大小.19 （本小题满分 10 分）学习曲线是 1936 年美国廉乃尔大学 T. P. Wright 博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的。已知某类学习任务的学习曲线为： 为掌握该任务的程度，t 为学习时间） ，且这类学习)(%10243)( fatft其 中任务中的某项任务满足 .6)(f（1）求 的表达式，计算 的含义；)(tf )0(f并 说 时（2）已知 为该类学习任务在 t 时刻的学习效tfxx )(,2l
7、n现 定 义恒 成 立对 任 意 率指数，研究表明，当学习时间 时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求21(f学习效率指数相应的取值范围。20 （本小题满分 10 分）已知直线 l 与函数 的图象相切于点（1，0） ，且 l 与函数xfln)(的图象也相切。271)(2mxxg（1）求直线 l 的方程及 m 的值；（2）若 ，求函数 的最大值；)()() 的 导 函 数是其 中 xggfh )(xh（3）当 .211:,0affa求 证时21 （本小题满分 10 分）已知椭圆 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为21)0(1:2的 离 心 率 为bayxC半径的圆与直线 相切。6（1）求椭圆 C 的
8、方程；（2）设 轴对称的任意两个不同的点，连结 PB 交椭圆 C 于另xBAP上 关 于是 椭 圆,)04(一点 E，证明：直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q；（3）在（2）的条件下，过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M、N 两点，求 的取值范围。ON参考答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。18 ABCCDABC二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 3 分，共 21 分。9 10 114 325,(12 13 1410 cos215 31三、解答题：本大题共 6 小题，共 55 分.16解：（1） ，)()(,/ bacnm.1,2222abac由余弦定理得
9、4 分.3,1osB（2） ，2CAA,656,320).sin(3cosin22)sin(sinA8 分.3sin23,1)sin(1C17解：（1）设“世博会会徽”卡有 n 张，由 1 分.4,1520nCn得故“海宝”卡有 6 张，抽奖者获奖的概率为 3 分.32106C（2） 可能取的值为 0，1，2，3，4，则 4 分;8124)3()2(1;86)(2434CP.81)3(4(;4所以 的分布列为0 1 2 3 4P 863814818 分.312410E18解：方法一（1）取 EC 的中点是 F，连结 BF，则 BF/DE， FBA 或其补角即为异面直线 DE 与 AB 所成的角
10、在BAF 中，AB= 42，BF =AF= 5 10cos5ABF异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为 103 分（2）AC 平面 BCE，过 C 作 CGDE 交 DE 于 G，连 AG可得 DE平面 ACG，从而 AGDEAGC 为二面角 A-ED-B 的平面角在ACG 中，ACG=90 ，AC=4，CG= 85 5tan2AGC 5sin3AGC二面角 AEDB 的正弦值为 6 分（3） 116CEDVS几何体的体积 V 为 16 9 分方法二：（坐标法） （1）以 C 为原点，以 CA，CB ，CE 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系则 A（4，0，0） ，B（0，4
11、，0） ，D（0，4，2） ，E （0，0，4）(,2)(,)DE， 1cos,5AB异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为 1053 分（2）平面 BDE 的一个法向量为 (4,)CA，设平面 ADE 的一个法向量为 nxyz，,nADE(,2)(0,2)DE 0从而 42,4xyzyz,令 1y，则 (,1)n, 2cos3CAn二面角 A-ED-B 的的正弦值为 56 分（3） 116BCEDVS，几何体的体积 V 为 169 分19解：（1） ，%60)2(,%(0243)( ftatft 且为 学 习 时 间5.378)1(4)0),0(21402( ,6142 f tatt可
12、 解 得则表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为 37.5% 4 分)0(f（2）令学习效率指数 ，tfy)(,2)( )0(243)1)(的 单 调 性现 研 究即 t tttgtfy6 分).0(21ln)(l1)(2 ttttt ,)(),0() ,0(ln2l,为 正 数上 为 增 函 数 且在 恒 成 立即 恒 成 立时又 已 知 tgtgtxxt上为减函数。 8 分,)2(43在tttfy).21,03() ,103(|,| 21tfyfytt而故所求学习效率指数的取值范围是 10 分).2,10(20解：（1） 的图象在点（1，0）处的切线。xflxf ln,1)(是 函 数
13、直 线k其 斜 率 为1 分1yl的 方 程 为直 线又因为直线 的图象相切，)(xg与 分舍 去不 题 意得 3).,4(209)1( ,09)1722 mmxy（2）由（1）知 ,7(xxg),1(2)1ln()1() xxgxfh4 分.当 .0)(,;0)(, xhxh时当时于是， 上单调递减。 5 分1)( 在上 单 调 递 增在所以，当 6 分.2)()(, x取 得 最 大 值时（3）由（2）知：当 ；8 分xxh)1ln(,0即时当 21,0a时10 分.2)ln(l)(1( aff21解：（1）由题意知 ,ace.3,4,316.,222 bbce所 以又 因 为 即所 以故椭圆 C 的方程为 2 分.42yx（2）由题意知直线 PB 的斜率存在，设直线 PB 的方程为 ).4(xky由 .0126432)4(.134),(22 kxkyxk得 .)(,0).(,),(),(122122yxxyAEyAB得令 的 方 程 为直 线 则设 点将 代入整理得，)4(),4(1kk得 .8221xx
