1、奶制品的加工计划问题一、 加工问题一奶制品工厂用牛奶生产 A1，A2 两种初级奶制品，它们可以直接出售，也可以分别加工成 B1，B2 两种高级奶制品再出售。按目前技术每桶牛奶可加工成 2kgA1 和 3kgA2，每桶牛奶的买入价为 10 元，加工费为 5 元，加工时间为 15h。每千克 A1 可深加工成0.8kgB1，加工费为 4 元，加工时间为 12h；每千克 A2 可深加工成 0.7kgB2，加工费为 3 元，加工时间为 10h。初级奶制品 A1，A2 的售价分别为 10 元 /kg 和 9 元/kg，高级奶制品B1， B2 的售价分别为 30 元/kg 和 20 元/kg。工厂现有的加工
2、能力为每周总共 2000h。根据市场状况，高级奶制品的需求量占全部奶制品需求量的 20%至 40%。试在供需平衡的条件下为该厂制定（一周的）生产计划，使利润最大，并进一步研究如下问题：（1 ）工厂拟拨一笔资金用于技术革新，据估计可实现下列革新中的某一项：总加工能力提高 10%；各项加工费用均减少 10%；初级奶制品 A1，A2 的产量提高 10%；高级奶制品 B1，B2 的产量提高 10%。问将资金用于哪一项革新，这笔资金的上限（对于一周）应为多少？（2 ）该厂的技术人员又提出一项技术革新，将原来的每桶牛奶可加工成品 2kgA1 和3kgA2 变为每桶牛奶可加工成 4kgA1 或 6.5kgA
3、2。假设其他条件都不变，问是否采用这项革新，若采用，生产计划如何？（3 ）根据市场经济规律，初级奶制品 A1，A2 的售价都要随着二者销售量的增加而减少，同时，在深加工过程中，单位成本会随着它们各自加工数量的增加而减少。在高级奶制品的需求量占全部奶制品需求量 20%的情况下，市场调查得到如下一批数据如下表。试根据此市场实际情况对该厂的生产计划进行修订（设其他条件不变） 。奶制品市场调查数据二、 初步分析本问题是将实际的奶制品生产计划作为一个优化问题来进行研究。可以利用最优化理论中的具体优化方法进行求解。已知条件：1、 A1， A2，B1 ，B2 的售价分别为 10， 9， 30， 20 元/公
4、斤。2、 牛奶的买入和加工的总费用为 10+5=15 元/ 桶3、 A1，A2 的深加工费用分别为 4， 3 元/公斤。4、 每桶牛奶可加工成 a1=2 公斤 A1 和 3 公斤 A2，每公斤 A1 可深加工成 0.8 公斤B1，每公斤 A2 可深加工成 0.7 公斤 B2。5、 每桶牛奶的加工时间为 15 小时，每公斤 A1，A2 的深加工时间分别为 12， 10 小时，工厂的总加工能力为 t=2000 小时。6、 B1，B2 的市场需求量（即生产量）占全部奶制品的比例为 20%40% 。变量设定：1、 设 A1， A2，B1 ，B2 一周的销售量为 x1，x2，x3 ，x4 桶；2、 设
5、A1，A2 一周的生产量为 x5，x6 桶；3、 A1，A2 深加工的数量为 x7，x8 桶；4、 购买的牛奶数量 x9 桶三、 基本问题求解在供需平衡的条件下为该厂制定（一周的）生产计划，使利润最大。1. 不考虑牛奶桶数取整，即可以购买任意数量的牛奶，建立优化模型如下。（1）123497819937485629341234max00153,.8.,0.,i,.9i xxxxxx该问题为线性规划，在 Lingo 中进行求解（程序代码见附件） ，得到全局最优解（Global optimal solution）：Objective value: 2998.374Variable Value Red
6、uced CostX1 55.28455 0.000000X2 204.8780 0.000000X3 65.04065 0.000000X4 0.000000 0.000000X9 68.29268 0.000000X7 81.30081 0.000000X8 0.000000 5.762602X5 136.5854 0.000000X6 204.8780 0.000000将所得结果的小数位进行适当的省略，则在模型（1）的情况下一周的生产计划为：购买 68.3 桶牛奶，A1 和 A2 的总产量分别为 136.6 公斤和 204.9 公斤，其中 55.3 公斤的 A1 和全部的 A2 用于销售
7、，余下的 81.3 公斤 A1 深加工得到 65.0 公斤的 B1。按照该计划所得收益为 2998.4 元。2. 牛奶必须购买整数桶。在模型（1）基础上加入 x9 为整数的约束条件，得到模型（2） 。则该问题变成了混合型整数规划。采用分支定界算法（B-and-B ） ，得到全局最优解：Objective value: 2992.667Variable Value Reduced CostX1 54.33333 0.000000X2 204.0000 0.000000X3 65.33333 0.000000X4 0.000000 0.000000X9 68.00000 -19.50000X7 8
8、1.66667 0.000000X8 0.000000 6.333333X5 136.0000 0.000000X6 204.0000 0.000000将所得结果的小数位进行适当的省略，则在模型（2）的情况下一周的生产计划为：购买 68 桶牛奶，A1 和 A2 的总产量分别为 136 公斤和 204 公斤，其中 54.3 公斤的 A1和全部的 A2 用于销售，余下的 81.7 公斤 A1 深加工得到 65.3 公斤的 B1。按照该计划所得收益为 2992.7 元。略小于模型（ 1）的最优值，两种生产计划差别不大。按照模型（2）最优解安排生产时，生产时间为 2000，相当于完全利用了生产能力。高
9、级奶制品占所有奶制品的比例为 0.20，达到了最低比例，即高级奶制品生产得较少时有利于提高利润。四、 进一步研究注：以下的各种计算均以模型（1）为基础。1. 技术革新资金应投入项目a) 总加工能力提高 10%，即 t=2200 小时。求解得到最大利润为 3298.2 元。b) 各项加工费用均减少 10%，即每桶牛奶加工费变为 4.5 元，A1、A2 深加工费变为3.6 元和 2.7 元。最大利润为 3065.0 元。c) 初级奶制品 A1，A2 的产量提高 10%，即一桶牛奶可以生产 2.2 斤 A1 和 3.3 斤A2。最大利润为 3242.5 元。d) 高级奶制品 B1，B2 的产量提高
10、10%，即一斤 A1 可生产 0.88 斤 B1，一斤 A2 可生产 0.77 斤 B2。最大利润为 3233.8 元。通过比较四种不同技术革新方案的最大利润可知，将资金用于提高总加工能力可以得到最大的收益。比较起未改革之前的收益增加了 3298.2-2998.4=299.8，约等于 300 元，按照投资不出现亏损的要求，这笔资金的上限（对于一周）应为 300元。2. 加工技术革新将原来的每桶牛奶可加工成品 2kgA1 和 3kgA2 变为每桶牛奶可加工成 4kgA1 或6.5kgA2。即将模型（1）中的约束条件 换为 ，得到模1929,3xx129/46.5x型（3 ） ，问题仍然为线性规划
11、。在 Lingo 中计算得到经过加工技术革新后的最大利润为3256.2。比未经过技术革新的模型（2）所得利润增加了 3256.2-2998.4=257.8 元。相应的生产计划为：购买 64.2 桶牛奶，其中 21.6 桶加工成 86.5 公斤的 A1，42.6 桶加工成 276.6 公斤的 A2，全部 A1 加工成 69.2 公斤的 B1，全部的 A2 用于销售，即最后销售的奶制品只有A2 和 B1 两种。高级奶制品占所有奶制品的销售比例是 0.2，达到了最低比例。总生产时间是 2000 小时，充分利用了生产能力。市场调查的结果显示了 A1、A2 两种奶制品的价格与两者的联合销售量（x1、x2
12、 ）有关，而两者的深加工费用分别与各自的深加工量有关。设 A1、A2 的价格 p1、p2 为 A1、A2 联合销量的函数，即 p1=p1(x1,x2)，p2=p2(x1,x2)；考虑到方法的效率和实用性，采用线性函数的形式对价格函数进行拟合。设售价函数的形式如下：p1(x1, x2)=a1+b1x1+c1x2p3(x1, x2)=a2+b2x1+c2x2A1、A2 的深加工费 d1、d2 分别为各自深加工量的函数，即 d1=c1(x7)，d2=c2(x8)。考虑到误差和实用性，采用二次函数进行拟合。设深加工费函数的形式如下：d1=a3+b3x7+c3x72d2=a4+b4x8+c4x82采用最
13、小二乘法对以上四个函数进行拟合，得到各个系数如下：a1=24.7299，b1=-0.0937 ，c1=-0.0356，R 2=0.9933;a2=29.9575，b2=-0.0563 ，c2=-0.0839，R 2=0.9873;a3=8.5879，b3=-0.1084，c3=0.000553，R 2=0.9849;a4=7.3272，b4=-0.0822，c4=0.000368，R 2=0.9626。拟合的平方相关系数均在 0.96 以上，拟合效果比较好，可以认为基本反映了真实销售价格和深加工费用的变化。已知高级奶制品占市场需求 20%，将变化后的销售价和深加工费带入到模型（1 ）中，并更改
14、相应的约束，得到新的优化模型如下：模型（4）12349172899374851629341234max05,0.8.,0.0,i,9ipxxcxxxx在 Lingo 中求解得到最优解为：Objective value: 3405.405Variable Value Reduced CostX1 47.35384 0.000000X2 175.4878 0.000000X3 55.71040 0.000000X4 0.000000 0.000000X9 58.49592 0.000000X7 69.63800 0.000000X8 0.000000 10.05662X5 116.9918 0.000000X6 175.4878 0.000000最大利润为 3405.4 元。比较模型（ 1）的利润多了 3405.4-2998.4=408.0 元。此时的生产时间为 1713.1 小时，没有达到生产能力的限制。在这种情况下，购买了更少的牛奶，花费了更少的生产时间，却获取了更大的利润，分析发现，此时的 A1 价格高于模型（1）中的价格，而 A2 的深加工费用却低于模型（1 ）的费用，综合作用使得总收益增大。
