1、数论部分参考答案：一、奇偶性判断2解题思路：5 个数中包含 3 奇 2 偶，积是奇数只能是奇数乘奇数，那么有 3 取 2 即322=3（个） ；积是偶数则可以是奇数乘偶数或者偶数乘偶数，奇数乘偶数有32=6（个） ，偶数乘偶数有 1 个，所以一共 6+1=7（个） 。偶数的积多。3解题思路：同 2 题，3-9 这 7 个数中有 4 奇 3 偶，乘积是奇数的有 4 取 2 即432=6（个） ；积是偶数的有 43+322=15（个） ，6 个奇数与 15 个偶数的和是偶数。5. 解题思路：设这 5 个数为 a,b,c,d,e，根据题意 a 与 b 的差是奇数，则 a 与 b 的和也是奇数，同理
2、b 与 c，c 与 d，d 与 e，e 与 a 的和分别是偶，奇，偶，奇，全部加起来得：2 倍的(a+b+c+d+e) 是奇+偶+奇+ 偶+奇=奇，产生矛盾，所以不可能。7. 解题思路：一共 6 条直线，恰好 3 条直线的红圈数是奇数，则另外 3 条是偶数，那么一条直线一条直线的数，6 条直线的红圈数是奇数；而数完 6 条直线实际上每个圈都被数了2 次，那么红圈数应该是偶数，产生矛盾，所以不可能。二、位值原则2. 解题思路：1000a+100b+10c+d+100a+10b+c+10a+b+a=1111a+111b+11c+d=1370,所以a=1，111b+11c+d=259,所以 b=2，
3、11c+d=37，所以 c=3，d=4。三、数的整除特征及性质1. 解题思路：设任意自然数为 M，当 N 是 1 位数时，则有 10M+N 能被 N 整除，即 10M能被 N 整除，所以 N 是 10 的一位数因数，可以为 1，2， 5。当 N 是 2 位数时，有 100M+N 能被 N 整除，即 100M 能被 N 整除，所以 N 是 100 的两位数因数，可以为 10，20，25，50。当 N 是 3 位数时，有 1000M+N 能被 N 整除，即 1000M 能被 N 整除，所以 N 是 1000 的三位数因数（且小于 130） ，可以为 100，125。3. 解题思路：91=713，而
4、任意一个三位数连续写两遍都能被 1001 整除，所以 连续3ab写 1000 遍一定能被 1001 整除，即能被 7 和 13 整除。所以 要能被 91 整除。所以3aba=6,b=44解题思路：1998=9222，既然 N 能被 1998 整除，则首先一定能被 222 整除，即 K 是3 的倍数；干脆让 N 先除以 222，判断得到的商能被 9 整除就达到题目的要求，设M=N222=1001001001001，M 要能被 9 整除则必须有 9 个 1，所以 N 要有 93=27 个2,K=275. 解题思路：听讲座的 12 组总人数是 6+1=7 的倍数。6. 解题思路：10a+b=6(a+
5、b) 4a=5b 所以 a=5,b=47. 解题思路：1+2+3+99 的和是 9 的倍数，所以这个 189 位数是 9 的倍数。8. 解题思路：142857 与 428571。若 a 是希望数，设 a=3n（组成 n 与 a 的数字相同，顺序不同） 。则 a 是 3 的倍数，即 a 的各位数字之和是 3 的倍数，所以 n 的各位数字之和也是 3 的倍数，n 是 3 的倍数。那么 a=3n就是 9 的倍数，同理 n 也会是 9 的倍数，所以 a=3n 是 27 的倍数。即希望数是 27 的倍数。两个希望数的积当然是 2727=729 的倍数。9. 解题思路：设 1000A+100B+10C+D
6、+1000D+100C+10B+A 是 35 的倍数则 1001（A+D）+110(B+C) 是 35 的倍数，35=5 7，即要同时是 5 和 7 的倍数，（1）1001（A+D）+110(B+C)是 5 的倍数：因为 110(B+C)一定是 5 的倍数，所以 A+D 必须是 5 的倍数（且 A 与 D 不能等于 0） 。A+D=5 (A=1,D=4)(A=2,D=3) (A=3,D=2)(A=4,D=1) 4 种A+D=10 (A=1,D=9)(A=2,D=8)(A=8,D=2)(A=9,D=1) 9 种A+D=15 (A=6,D=9)(A=7,D=8)(A=8,D=7)(A=9,D=6)
7、 4 种一共 4+4+9=17（种）（2）1001（A+D）+110(B+C) 是 7 的倍数：因为 1001（A+D）一定是 7 的倍数，所以B+C 必须是 7 的倍数。B+C=0 (B=0,C=0) 1 种B+C=7 (B=0,C=7) (B=1,C=6) (B=6,C=1) (B=7,C=0) 8 种B+C=14 (B=5,C=9) (B=6,C=8) (B=8,C=6) (B=9,C=5) 5 种一共 1+8+5=14（种）1714=238（种）四、质数与合数1. 解题思路：A+18=B+14=C+35,C 的奇偶性与 A,B 不同，所以 C=22. 解题思路：111111=2+111
8、109（9 的倍数） ，不可能4. 解题思路：1764=2 23272=14779=334775. 解题思路：一个数与它的反序数要么都被 3 或 9 整除，要么都不能；要么都被 11 整除，要么都不能。92565=3 2511217=（3115）（31117）五、因数与倍数1. 解题思路：设这两个数分别为 5a,5b（a 与 b 互质）2. 解题思路：两个数 a,b 的积等于这两个数的最大公因数和最小公倍数的积。所以可以先求两数的最大公因数 360/120=3，然后解法同第 1 题。3. 解题思路：一个数的因数是成对存在的，最小的和最大的，第二小的和第二大的而每一对两个因数的积都等于这个数本身
9、。设这个数是 A，最小的因数是 1，则第 2 小的因数是 3，最大的因数是 A，第 2 大的因数是 900-A，3（900-A）=A 所以 A=6754. 解题思路：设这个数最小的因数是 1，第 2 小的因数是 n，则其最大的因数是第 2 大因数的 n 倍，设第 2 大因数是 x，则有 x+nx=123 x(n+1)=123=3*41 都尝试下，得n=2,x=41，所以这个数是 241=825. 解题思路：设这 100 个数的最大公因数为 n,这 100 个数表示为a1n,a2n,a3na100n(a1,a2a100 互质)所以 a1n+a2n+a3n+a100n=n(a1+a2+a3+a10
10、0)=6666=66101 所以 n=666. 解题思路：设 a=3m5n b=3x5y 75=352 所以 m 和 x 中较小的那个等于 1，n和 y 中较小的那个等于 2。 而且(m-1)（n-1 ）=12 （x-1）(y-1)=10，通过枚举解决7. 解题思路：可以看作是从左到右每隔 5 厘米和 4 厘米染色，则 45=20 厘米为一个周期，所以只用研究 20 厘米长的绳子有多少段 1 厘米的小段就行了。六、余数问题1. 解题思路：只能选两个除以 3 余数相同的，再加一个被 3 整除的。2. 解题思路：可以选 3 个除以 3 余数相同的，或者除以 3 的余数分别为 1，2，0 的。3.
11、解题思路：取出若干张并将每张都剪成 7 张小纸片即多了 6n 张，5+6n=1991 n=331 所以可以做到。4. 解题思路：整体考虑，两种拿法要么减去 3 的倍数个，要么总数不变，由于原来 3 堆的总数 1999+962+86=3047 不是 3 的倍数，所以拿不完。6. 解题思路：除以 7 余 2，即少 5；除以 8 余 3，也是少 5。所以满足这两个条件的最小自然数为 78-5=51，再去枚举使 51+56n 除以 9 余 1，n=2 时 51+562=163 是最小的满足所有条件的数，然后加上（7，8，9）=504 的倍数使这个数在 1000 到 1200 之间。163+5042=1
12、171.7. 解题思路：设这个数为 A，则 A 除以 2 余 1，2A 除以 3 余 2，3A 除以 5 余 4，则 A 除以 2 余 1，除以 3 余 1（22=1） ，除以 5 余 3（5+4=9，93=3 关键） ，A 最小为 13.8. 解题思路：每 3 个人一个苹果，每 5 个人一个橘子，35=15 个人一个周期，所以最少的人数容易得到为 159+1=136（人） ，最多的人在这个基础上，左边可以多 4 个苹果周期34=12（人） ，右边可以多 2 个橘子周期 52=10（人） 所以 136+12+10=158（人）七、完全平方数1. 解题思路：完全平方数的个位数字只能是 1，4，5
13、，6，9。若 n=5 或者 5 以上，则123n+3 的个位为 3，不可能，所以 n 只能为 1，2，3，4。枚举得 n=1 或 3。2. 解题思路：设这个数为 ,则 10a+b+10b+a=11(a+b)是完全平方数，a+b=11 所以这个ab和是 121.3. 解题思路：用平方差公式，设这个数为 A，A+168=m 2 A+100=n2 m2- n2=68 （m+n ）(m-n)=2217 又因为 m+n 与 m-n 的奇偶性相同，所以 m+n=34 m-n=2 m=18,n=16 A=1564. 解题思路：用平方差公式，平方差为 3333.5. 解题思路：A=1，4，9。 A=1 时 设
14、 BCD= n 2 ABCD= m 2 m2- n2=1000 A=4 时 设 BCD= n 2 ABCD= m 2 m2- n2=4000A=9 时 设 BCD= n 2 ABCD= m 2 m2- n2=90006. 解题思路：只有 1 是完全平方数，其它的数除以 4 都余 3，不可能是完全平方数。7. 解题思路：转动 2，4，6，8 即偶数次的同学会面向老师；转动奇数次的同学背对老师。而转动的次数和因数的个数有关，所有的完全平方数都有奇数个因数，即1，4，9，16，25，36，49，64，81，100 这 10 个同学背对老师，100-10=90 个同学面向老师。八、进位制1. 解题思路
15、：箱子里分别装 1，2，4，8，16，32，64，128，256，489 个。2. 解题思路：利用加减，可以表示 140 之间的任何一个整数，即都取 3 的倍数：1，3，9，27 这 4 个数字可以做到（1+3+9+27=40）3. 解题思路：首先将 23 补成比 23 大最小的 2n 即 32，需要补 32-23=9（人） 将 9 转成 2进制（9） 10=（1001） 2，之中有 2 个 1，所以需要 2 场轮空。4. 解题思路：设 A 的各位数字之和是 m，则 A+1 的各位数字之和照理应该是 m+1，但是很明显 m 和 m+1 不可能都是 7 的倍数，所以一定发生了进位，进位 1 次，则各位数字之和会减少 9（本来是 10，但是变成了 1+0=1）假设进位了 n 次，则有 m 是 7 的倍数，m+1-9n也是 7 的倍数，9n-1 是 7 的倍数， n 最小是 4，即进位 4 次，6+9+9+9+9=42 是 7 的倍数，A 最小是 69999.
