1、北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大家教平台波函数及其在解高考题中的应用一、什么是波函数？波函数的定义：为了定量地描述介质中波动的情况，必修求得介质中各质元的位移与该质元所处的平衡位置及时间的定量关系，这种定量关系就是波的表达式，也叫做波函数（wave function）。二、简谐波函数的推导设有一波前为平面的简谐波，在均匀介质中沿 轴正方向传播，波速为 。由于这是一种平面波，所以在与 轴垂直的平面上，各点的振动情况是一样的。所以只要讨论 轴上各点的振动，就可以知道空间中各点的情况。以 O 点为波源，设该处质元做简谐振动，其位移 与时间 的关系为式中 A 为振幅， 为角频率。考察波线
2、 O 上的任一点 P，它离 O 点的距离为 ，当波源 O 的振动传到 P 点时， P 点的质元将重复 O 点的质元的振动，角频率也相同，但振动的相位要落后于 O 点。因为 O 点的振动传到 P 点需要时间 ，所以 P 处质元在时刻 的振动相位和 O 点质元在时刻 的振动相位一样，即其相位为：北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大家教平台因为平面简谐波传播时各质元的振幅相等，P 处质元在时刻 的位移为： ，这就是平面简谐波的波函数。因为 , , 所以波函数也可以写为 当 取某一确定值时，波函数便是某质点的振动方程，例如 ， 便是振源 O 的振动方程。据此可以画出该质点的振动图象。当 取某
3、一确定值时，波函数便是某时刻的波动方程，例如 ， 便是时刻的波动函数方程。据此可以画出该时刻的波的图象。三、波函数的应用：解高考“波的传播”题波的传播问题，历来是高考的热点。不论原大纲高考，还是新课标高考，波的图象问题，都占有一席之地。2010 年高考的波的图象问题，又有新动向。如 2010 年高考上海物理卷第 20 题，是一道关于波的图象的难题，难在哪？难在两点间的距离不是 的整数倍，还难在波的传播时间不是 的整数倍，而以往的高考题往往都是 的整数倍。笔者经认真研究，给出本题的不同于一般的解法：用波函数解，当然，也就给出了此类题的此种解法。因为 2010 年高考其它省市的理综或物理试卷中，关
4、于机械振动和机械波的题目，也有此类情况，这，就是高考题的发展与变化的规律。北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大家教平台例 1（2010 年高考上海卷第 20 题）如图 1，一列沿 轴正方向传播的简谐横波，振幅为 ，波速为 ，在波的传播方向上两质点 的平衡位置相距 （小于一个波长），当质点 在波峰位置时，质点 在 轴下方与 轴相距 的位置，则图 1A此波的周期可能为B此波的周期可能为C从此时刻起经过 ， 点可能在波谷位置 D从此时刻起经过 ， 点可能在波峰位置解法 1图象法：形象思维解题法对 AB 选项，根据题意，有两种情况：第 1 种情况：北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最
5、大家教平台波的图象如图 2，从图象得， ， ，根据 ，所以波长 ，周期 ，A 正确。图 2第 2 种情况：波的图象如图 3，从图象得， ， ， ，根据 ，所以，波长 ，周期 。北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大家教平台图 3因为只有以上两种情况，所以 B 错误。对 CD 选项，根据以上两种情况，也有两种有两种对应的情况：第 1 种情况，波长是 的波，在 波的图象如图 4，从图象知，b 在波谷，所以 C正确。图 4北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大家教平台第 2 种情况，波长是 的波， 波的图象如图 5，从图象知， 的 在波峰，所以 D 正确。图 5综上各图，所以本题选
6、ACD。解法 2波函数解法：抽象思维解题法波函数 ，在求出波长和周期后，北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大家教平台第 1 种情况，振幅 ，周期 ，波长 ，所以具体波函数是，将 和 代入波函数得：，是波谷；所以 C 正确。第 2 种情况，振幅 ，周期 ，波长 ，所以具体波函数是，将 和 代入波函数得：，是波峰；所以 D 正确。所以本题选 ACD。a例 2（2008 年高考上海卷第 22 题）22（12 分）有两列简谐横波 a、 b 在同一媒质中沿 x 轴正方向传播，波速均为 v25m/s。在t0 时，两列波的波峰正好在 x25m 处重合，如图所示。（1）求两列波的周期 Ta和 Tb。
7、（2）求 t0 时，两列波的波峰重合处的所有位置。（3）辨析题：分析并判断在 t0 时是否存在两列波的波谷重合处。北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大家教平台某同学分析如下：既然两列波的波峰存在重合处，那么波谷与波谷重合处也一定存在。只要找到这两列波半波长的最小公倍数，即可得到波谷与波谷重合处的所有位置。你认为该同学的分析正确吗？若正确，求出这些点的位置。若不正确，指出错误处并通过计算说明理由。分析：本题考查机械波的图象和用数学方法解决物理问题。（1）从图象可以直接读出波长，然后根据波速公式 求周期。（2）根据两列波的波峰重合处的已知的一个位置，求两列波的波长的最小公倍数，可求两列波
8、的波峰重合处的所有位置，因为每经过一个波长就是一个波峰。原解答：（1）从图中可以看出两列波的波长分别为 a25m， b25+15=40m，因此它们的周期分别为北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大家教平台s1s s16s（2）两列波的波长的最小公倍数为 S20m在 t0 时，两列波的波峰重合处的所有位置为x（25 20k）m， k0，1，2，3，（3）该同学的分析不正确。要找两列波的波谷与波谷重合处，必须从波峰重合处出发，找到这两列波半波长的奇数倍恰好相等的位置。设距离 x25m 为 L 处两列波的波谷与波谷相遇，并设L（2 m1） L（2 n1） ，式中 m、 n 均为正整数只要找到相应的 m、 n 即可将 a25m， b40m 代入并整理，得北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大家教平台由于上式中 m、 n 在整数范围内无解，所以不存在波谷与波谷重合处。本人原创解法：波函数解法（1）从图中可以看出两列波的波长分别为 a25m， b25+15=40m，因此它们的周期分别为 s1s s16s（2）从图中可以求出在 t0 时两列波的波函数分别为：，两列波的波峰所有位置分别为：， ， ， （m=0,1,2,3）
