1、- 1 -江苏省盐城市 2011-2012 学年度高三年级摸底考试数 学 试 题(总分 160 分，考试时间 120 分钟)一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 .不 需 写 出 解 答 过 程 ， 请 把 答 案 写 在 答 题 纸 的 指 定 位置 上 .1已知集合 2,0,|3PQx，则 PQ . 2命题“ sinxR”的否定是 .3. 已知复数 ()z为虚数单位)，则 z= . 4. 已 知 等 差 数 列 na满 足 3710a， 则 该 数 列 的 前 9 项 和9S .54 张卡片上分别写有数字 0，1，2，3，从这 4
2、张卡片中一次随机抽取不同的 2 张，则取出的卡片上的数之差的绝对值等于 2 的概率为 . 6. 某校举行 2011 年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如右上茎叶统计图所示，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值为 .7执行右图所示的程序框图，则输出的 y的值是 .8已知向量 1(3,)(,)2ab，若向量 ab与向量 a垂直，则实数 的值为 . 9. 在平面上,若两个正方形的边长的比为1：2,则它们的面积比为1：4；类似地，在空间，若两个正方体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .10若 sin()0,|)2yAx的最小值为 2，其图象相邻最高点与最低点横坐标之差为 ，且图
3、象过点 (0,3)，则其解析式是 . 11.如图，在平面直角坐标系 xoy中，已知椭圆21(0)xyab的左顶点为 A，左焦点为 F，上顶点为B，若 09AOF，则椭圆的离心率是 . 12.与 直 线 3x相 切 ， 且 与 圆 22()()xy相 内 切 的 半 径 最 小 的 圆 的 方 程7 9 8 4 4 4 6 7 9 3第 6 题是开始x 16x1,结束输出 yx 2 否y e x2第 7题x 第 11 题yxA F OB- 2 -是 . 13.已知函数 2()|6|fx，若 0ab,且 ()fab，则 2a的最小值是 . 14.设等差数列 na满足：公差 *dN， *n，且 n中
4、任意两项之和也是该数列中的一项. 若513，则 d的所有可能取值之和为 .二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15(本小题满分 14 分)如图，正三棱柱 1ABC中，点 D是 BC的中点.（）求证: D平面 ；（）求证: 1平面 1.16(本小题满分 14 分)如图，在 ABC中， 边上的中线 AD长为 3，且 10cos8B， 1cos4ADC（）求 sinD的值；（）求 边的长17(本小题满分 14 分)某市出租汽车的收费标准如下：在 3km以内(含 3k)的路程统一按起步价 7 元收费，超过 3km以
5、外的路程按 2.4 元/ k收费. 而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分:一是固定费用约为2.3 元；二是燃油费，约为 1.6 元/ ；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为 100第 15 题ABCDA1B1C1ADB C第 16 题- 3 -km时，折旧费约为 0.1 元. 现设一次载客的路程为 xkm.()试将出租汽车一次载客的收费 F与成本 C分别表示为 的函数；()若一次载客的路程不少于 2km,则当 取何值时，该市出租汽车一次载客每 km的收益y( FCx)取得最大值? 18(本小题满分 16 分)如图，在平面直角坐标系 xoy中，已知 1(4,0)F， 2(,)
6、， (0,8)A，直线 (08)yt与线段1AF、 2分别交于点 P、 Q.()当 3t时，求以 12,F为焦点，且过 P中点的椭圆的标准方程；()过点 作直线 RA交 12于点 R，记 1F的外接圆为圆 C. 求证:圆心 C在定直线 7480xy上； 圆 是否恒过异于点 1F的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由. 19(本小题满分 16 分) 已知 fx为 R上的偶函数，当 0x时， ()ln2)fx.第 18 题PAROF1QxyF2- 4 -()当 0x时，求 ()fx的解析式；()当 mR时，试比较 1m与 (3)f的大小；()求最小的整数 (2)，使得存在实数 t，对
7、任意的 ,10xm，都有 ()2ln|3|fxtx.20(本小题满分 16 分)已知数列 na满足 112()2()()3nnnaa， *N， 12a.()求 2， 3的值；()设 12nnb， *N，证明: nb是等差数列；()设 ca，求数列 nc的前 项和 S.江苏省盐城市 2011/2012 学年度高三年级摸底考试数学附加题部分（本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟）21选做题 在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修 41：几何证明选讲）如图，圆 O的直径 6， 为圆周上一点， 3BC，过点 C作圆
8、 的切线 l，过点 作 l的垂线 AD， 为垂足，且 AD与圆 交于点 E，求 C的度数与线段 E的长.第 21(A)题A O BElDC- 5 -B （选修 42：矩阵与变换）已知矩阵 A= 1，求 A的特征值 1、 2及对应的特征向量 1、 2.C （选修 44：坐标系与参数方程）已知直线 l的极坐标方程为 ()4R，曲线 C的参数方程为 2cos(inxy为参数)，试判断 与 的位置关系.D.（选修 45：不等式选讲）已知 ,abc为正数，且 2214abc，试求 23abc的最大值. 必做题 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内.22 （本
9、小题满分 10 分） 甲、乙等五名深圳大运会志愿者被随机地分到 ABCD， ， ， 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者()求甲、乙两人同时参加 A岗位服务的概率；()设随机变量 为这五名志愿者中参加 岗位服务的人数，求 的分布列23 （本小题满分 10 分）如图，在直三棱柱 1ABC中， ACB90，B30， ， 6， M是棱 1的中点.第 23题ABMA1B1C1C- 6 -（）求证： 1AB M；（）求直线 与平面 1所成角的正弦值.盐城市 2011/2012 学年度高三年级摸底考试数学参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.1 2 2 ,sin0
10、xR 3. 445 5 13 6. 85 71 84 9. 1:8 10. si()3y 11 12 12. 225()()xy 13.16 14. 364二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15(本小题满分 14 分)证:（）因为 ABC是正三角形,而 D是 BC的中点，所以 ADBC 3分又 BC 是两个相互垂直的平面 与面 1的交线,且 面 ,所以 1D面 7 分（）连接 1AB,设 E,则 E 为 1AB的中点,连接 DE,由 是 BC的中点,得 EC11 分 又 D面 ,且 11CA面 ,所以 1
11、A平面 1D14分16(本小题满分 14 分)解:（）因为 10cos8B，所以 36sin8B2分又 cs4ADC,所以 15si4ADC 4 分所以 ini()sincossinBBBADCB- 7 -150136()48487 分（）在 ABD中,由正弦定理,得 siniADB,即 3684BD,解得 210分故 2C,从而在 C中,由余弦定理,得 22cosACAC= 13()64,所以 414 分17(本小题满分 14 分)解: () 703(2.()xFx7032.xx3 分设折旧费 zk,将(100,0.1)代入,得. .1k,解得 515分所以 251()2.360Cxx7 分
12、()因为 Fyx,所以54.71.62302.8()xxy11 分当 3时,由基本不等式,得 650.0.791y(当且仅当 50x时取等号)12 分当 2x时,由 在2,3上单调递减,得 max554221.67.9y13分答: 该市出租汽车一次载客路程为 500k时,每 的收益 y取得最大值14 分18(本小题满分 16 分)解:()设椭圆的方程为21(0)xyab,当 3t时,PQ 的中点为(0,3),所以 b=33分 而 216ab,所以 25a，故椭圆的标准方程为2104xy5 分()解法一:易得直线 12:8;:8AFyx,所以可得 8(,)(,)2ttPQ,再由 1RAF,得 (
13、)t8 分- 8 -则线段 1FR的中垂线方程为 2tx, 线段 1PF的中垂线方程为 15628tyx,由5628tyx,解得 1R的外接圆的圆心坐标为 7(,)t10 分经验证,该圆心在定直线 7480xy上 11 分解法二: 易得直线 12:;:8AFx,所以可得 8(,)(,)2ttPQ,再由 QR,得 (,)t8 分设 1P的外接圆 C的方程为 20xyDEF,则22(4)()08()ttFytttE,解得 7416tFt10 分所以圆心坐标为 7(,)t,经验证,该圆心在定直线 780xy上11 分由可得圆 C 的方程为 2(4)16xytty13 分该方程可整理为 2(16)0x
14、,则由2407xy,解得 321y或 4,所以圆 C恒过异于点 1F的一个定点,该点坐标为 (,)316 分19(本小题满分 16 分) 解: ()当 0x时， ()ln(2)fxx3 分()当 时, ln2单调递增,而 f是偶函数,所以 ()fx在 ,0)上单调递减,所以 (1)fm22(3)|1|3|(1)(3fmm6 分所以当 2时, ()f；当 时, )()ff；当 时, ()f 8 分- 9 -()当 xR时, ()ln|2)fx,则由 ()2ln|3|fxtx,得2l(|)ln(3)xtx,即2|3t对 10m恒成立12 分从而有257xt对 ,x恒成立,因为 2m，所以2min2
15、ax()577tx14 分因为存在这样的 t ,所以 22,即 2670 15 分又 m,所以适合题意的最小整数 116 分20(本小题满分 16 分)解: ()因为 112(2()()3nnnaa (*),且 12a,所以将 1n代入(*)式,得 13a,故 81 分 将 2代入(*)式,得 237,故 352 分()在(*)式中,用 n代换 ,得 1 21()()()6nnn ,即 216n ,再在(*)式中,用 代换 ,得 221211()()()3)nnnaa,即 2134nan , ,得 233n,即 4nb6分则由 1(1)(4)nb,得 nb是等差数列 8分()因为 12a,由(
16、)知, 213153213()()()k kaaa (4)()4= k ,将代入,得 236kk,即 2265kk 10分所以 221(1)kkca= 745, 221()kca= 43,则 3,所以 213421()()k kSc= (21)()2() 5 ()k 13 分所以 222125(5)5kkSckkk 15 分- 10 -故2135(21)nknkS2351()4nn为 数为 数偶16 分数学附加题部分21A. 解: 连结 OC，因 BC=OB=OC=3,因此 06CBO,由于 DCABO,所以 06DCA，又 ADC，故 03A5 分又因为 09B,得 ,那么 EA,连接 BE
17、,则 03E，于是 12E 10 分B. 解:设 A 的一个特征值为 ,由题意知 124=0,则 (2),解得 1或 235 分 当 1=2 时，由 4xy=2，得 A 属于特征值 2 的特征向量 1=8 分当 2=3 时，由 2=3，得 A 属于特征值 3 的特征向量 2=10 分C. 解：直线 l的直角坐标方程为 yx3 分 曲线 C是圆,圆心为(2,0),半径为 2r6分因为圆心到直线 l的距离 |20|dr,所以直线与曲线 C 相切10分D. 解:根据柯西不等式,得 2222(3)()(13)14abcabc8分所以 2314abc,即 的最大值为 1410 分22. 解：()记甲、乙两人同时参加 A岗位服务为事件 AE，那么3245()0APC，即甲、乙两人同时参加 岗位服务的概率是 1405 分()随机变量 可能取的值为 1，2,事件“ 2”是指有两人同时参加 岗位服务，则2354()CAP,所以 3()()4P，即 的分布列如下表所示10 分1 3
