1、第 1 页（共 11 页）南通市 2011届高三第四次调研考前测试数 学 I一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应的位置上1已知集合 ，集合 ，若命题“ ”是命题“ ”的充分|5Ax|BxaxAxB不必要条件，则实数 的取值范围是 a答案： a2复数 1zi（ 是虚数单位） ，则 = 2z答案： 23为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校 200 名授课教师中抽取 20 名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：据此可估计该校上学期 200 名教师中，使用多媒体进行教学次数在内的人数为
2、 15,30答案：100解析：所抽取的 20 人中在 内的人数 10 人，故可得 200 名教师15,30中使用多媒体进行教学次数在 内的人数为 =100 人。,1024如图是一个算法的流程图，则最后输出的 的值为 W答案：14解析：本题考查算法流程图。 0,23,6,4stststst10s（第 3 题图） 开始ST 2SS0T1 TT+1S10WST输出 W结束 Y N（第 4 题） 出卷说明：为迎南通市 2011 届第四次调研数学考试出了这份测试。里面选了 5 月份江苏省各市教研室的最后的练习以及本校高三数学教研组的选题。试卷难度有一些，希望：同学们不要怕，分数是不重要的，关键是在这份试
3、卷中，发现自己的不足。 高三数学教研组制第 2 页（共 11 页）所以输出 。14wst5已知 是等差数列 的前 项和，若 4， 16，则 的最大值是 nsna2s45a答案：96用半径为 cm，面积为 cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分21010忽略不计） ， 则该容器盛满水时的体积是 答案： 3cm7若在区间 和 上分别各取一个数，记为 和 ，则方程 表示焦点在1,52,4mn21xyn轴上的椭圆的概率为 x答案：2解析：本题考查线性规划和几何概型。由题意知 画可行域如图阴影部分。15,24mn直线 与 ， 的交点分别为（2,2） ，（4,4）阴影梯形的面积为 ，1(3)2
4、4而区间 和 构成的区域面积为 8，故所求的概率为 。1,52,4 41828设 是实数若函数 是定义在 上的奇函数，但不是偶函数，则函数a()|1|fxaxR的递增区间为 ()fx答案： 1,9已知三次函数 在 R 上单调递增，则 的最小32()()abfxxcdababc值为 答案：3解析:由题意 0 在 R 上恒成立，则 ， 02()fxabc0a24bac 2abc 221()4ba令 3(1)btaca2221()1(3)94(16)4tttt第 3 页（共 11 页）（当且仅当 ，即 时取“=”4t4bac10若函数 ，对任意实数 ，都有 ，且 ， ()2sin()fxmt()()
5、8ftft()38f则实数 的值等于 m答案： 或 。51解析：本题考查三角函数的图象与性质。由 可知 是该函数的一条对称轴，()()8ftft8x故当 时， 或 。又由 可得 或 。 xsin1()3f5m111已知 A，B，P 是双曲线 上不同的三点，且 A，B 连线经过坐标原点，若直线2xyabPA，PB 的斜率乘积 ，则该双曲线的离心率为 3PABk答案： 215be解析： 一定关于原点对称，设 ， ， ，, 1(,)xy1(,)Bxy(,)Px则 ， ， 21xyab23PABbka253bea12已知等差数列 的公差 d 不为 0，等比数列 的公比 q 为小于 1 的正有理数。若n
6、 n，且 是正整数，则 q 等于 21,d321b答案：13已知 a 0，b 0，且 ，其中 a，b表示数 a，b 中较小的数，则 h2min,4habmin的最大值为 答案： 1214已知定义在 上的函数 f(x)满足 f(1)2， ，则不等式 解集R1fx21fx 答案： ,1,二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请把答案写在答题卡相应的位置上解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15解：由三角函数的定义知 4tanP图(15)QyxO第 4 页（共 11 页） .24()317tan又由三角函数线知 ,10sin 为第一象限角, , . 7 分7ta241673tan() ,
7、 , .35cos245si又 , , . 8 分10in271sin10co .4325s()sicsi由 , ,得 , . 14 分222416(本题满分 14 分)解法 ：取 中点 ,连结 、 .1ACDSB , , ,SCADC 平面 ,又 平面 , . 4 分SSB 平面 , 平面 ,平面 平面 .BA过 作 于 ,则 平面 ,NENE过 作 于 ,连结 ,则 , 为二面角 的平面角.FMFMNFEM平面 平面 , , 平面 .SACSDAS又 平面 , . ,/B ,且 .211242D在正 中,由平几知识可求得 ,B12EF在 中,RtNEF2tanN二面角 的正切值为 . 8
8、分CM在 中, , , .t23EFN1322CMNSF132CMBS设点 到平面 的距离为 ,Bh , 平面 , ,CMNBVB33CNCNhE .即点 到平面 的距离为 . 14 分423CNSEh 42解法 ：取 中点 ,连结 、 . , ,2AOSASB , .平面 平面 ,BC平面 平面 , 平面 , .SO16 图AMBSCNAMBSDCNEF答案图(16-1)AMBSDCNx yz答案图(16-2)第 5 页（共 11 页）如图所示建立空间直角坐标系 ,则 , , Oxyz(20)A3(0)B, , , ,(20)C2(,)S(4)C2,S , . 6 分34,0,AB , ,又
9、 , , .3(1)M2()N(,0)3(0)CM2(1,)N设 为平面 的一个法向量,则 ,nxyzC2nxyz取 , , , .又 为平面 的一个法向量,12626(,1)n(0,)OSABC ,得13|cos,nOS3si, .即二面角 的正切值为 . 10 分213ta,NCMB2由得 ,又 为平面 的一个法向量, ,(0)MB26(,1)nN|3n点 到平面 的距离 .14 分CN|3|42Bd17(本题满分 14 分)解：设 BCx 米（x1） ，AC y 米，则 ABy 12在ABC 中，由余弦定理，得(y )2y 2x 22xycos60 12所以 y （x 1） 法一：y (
10、 x1) 22 34(x 1) 3当且仅当 x1 ，即 x1 时，y 有最小值 2 34(x 1) 3法二： y 由 y0 得 x 1 因为当 1x 1 时，y0；当 x1 时，y 0，所以当 x1 时，y 有最小值 2 3答：AC 的最短长度为 2 米，此时 BC 的长度为（1 ）米14 分318(本题满分 16 分)BCA第 6 页（共 11 页）解：（1）设 A(x0，y 0)，因为 B(0，2)，M( ，0)故 ( ，2)， ( x0 ，y 0) 2 分MB MA 因为 2 ，所以( ，2)2( x0 ，y 0)MB MA 所以 x0 ，y 01即 A( ，1) 4 分因为 A，B 都
11、在曲线 E 上，所以 解得 a1，b 14所以曲线 E 的方程为 x2 1 6 分y24（2） （法一）当 ab1 时，曲线 E 为圆：x 2y 21设 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)因为 2 ，所以(x 2 ，y 2) 2(x 1 ， y1)，即MB MA 设线段 AB 的中点为 T，则点 T 的坐标为( ， )，即( ， )x1 x22 y1 y22 y12所以 ( ， )， (x 2x 1，y 2y 1)( 3x 1，3y 1) OT y12 AB 3因为 OTAB，所以 0，即 34 x13x 3y 0 OT AB 3 21 21因为 x y 1，所以 x1 ，y 1 21
12、21 12当点 A 的坐标为( ， )时，对应的点 B 的坐标为(0，1)，此时直线 AB 的斜率12k ，所求直线 AB 的方程为 y x1；3 3当点 A 的坐标为( ， )时，对应的点 B 的坐标为(0，1)，此时直线 AB 的斜率 k ，12 3所求直线 AB 的方程为 y x1 16 分3（法二）当 ab1 时，曲线 E 为圆：x 2y 21设 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)因为 2 ，所以(x 2 ，y 2) 2(x 1 ， y1)，即MB MA 因为点 A，B 在圆上，所以 由4，得(2x 1x 2)(2x1x 2)3所以 2x1x 2 ，解得 x1 ，x 203由 x
13、1 ，得 y1 （以下同方法一）12（法三）如图，设 AB 中点为 T则 TMTA MA AB，OM 16根据 RtOTA 和 RtOTM，得ABxyTO M第 7 页（共 11 页）即 解得 AB ，OT 所以在 RtOTM 中，tanOMT 312 OTTM 3所以 kAB 或 所以直线 AB 的方程为 y x1 或 y x13 3 3 319(本题满分 16 分)解：（1）设数列 的公差为 ，由 ， nad7213da 232daa解得 , 3, 1n3f)(S n 4 分3nf1(2) ， )(2ab )132(1)(2nnbn 。 8 分31(3nTn(3)由(2)知， ，13,4m
14、T31nT 成等比数列nm,1 ，即 9 分134)(226当 时，7 ， 1，不合题意；n当 时， ， 16，符合题意；10 分2当 时， ， 无正整数解；当 时， ， 无正整数解；3m91n44m1625n43当 时， ， 无正整数解；52当 时， ， 无正整数解； 12 分637当 时， ，则 ，而 ，m01)3(122 m162m343n所以，此时不存在正整数 m， n，且 1mn，使得 成等比数列 15 分nT,1综上，存在正整数 m2，n 16，且 1mn，使得 成等比数列16 分20(本题满分 16 分)解：（1）(i)因为 ，32443fxx所以 是使 取到最小值的唯一的值，且
15、在区间 上，函数 单调递减；3f 3,4fx在区间 上，函数 单调递增因为 ， ， ，所,4fx0f1f20f以 的图象与 x 轴恰有两个交点 4 分fx第 8 页（共 11 页）(第 21-A 题图)A B POEDC(ii)设 x1，x 2 是方程 的两个实根，则 有因式 ，且0fxfx21()xxmn可令 . 于是有 . f2()()mnpq243()1npq分别比较（*）式中常数项和含 x3 的项的系数，得 ， ，1nq1解得 ， 1qnp所以 43x22(1)xmnxn分别比较式中含 x 和 x2 的项的系数，得， ，10mn0mn + n 得 ，即 10 分32032（2）方程化为
16、： ，221axbx令 ,方程为 ， ，即有绝对值不小于 2 的实根1ttt设 ，20gat当 ，即 时，只需 ，此时， ；42480ab216ab当 ，即 时，只需 ，此时， ；2当 ，即 时，只需 或 ，即a220或 ，此时 0b20b45ab的最小值为 16 分2a45数学 （附加题）21 【选做题】本题包括 A， B，C，D 共 4 小题，请从这 4 题中选做 2 小题，每小题 10 分，共 20分请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲如图，O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P，E 为O 上一点，AE=AC
17、，求证：PDE=POC第 9 页（共 11 页）证明：因 AE=AC，AB 为直径，故OAC=OAE 3 分所以POC=OAC+ OCA= OAC+OAC=EAC 又EAC= PDE ，所以，PDE=POC10 分B选修 42：矩阵与变换试求曲线 在矩阵 MN 变换下的函数解析式，其中 M = ，N =xysin 20110解：MN = = 4 分201201即在矩阵 MN 变换下 6 分yxyx即曲线 在矩阵 MN 变换下的函数解析式为 10 分sin xy2sinC选修 44：坐标系与参数方程已知直线 的参数方程： （ 为参数）和圆 的极坐标方程： l12xtyC)4si(（1）将直线 的参数方程化为普通方程，圆 的极坐标方程化为直角坐标方程；l（2）判断直线 和圆 的位置关系C解：消去参数 ，得直线 的普通方程为 2 分tl 12xy即 ，)4(sin2)cos(in两边同乘以 得 ， s26 分)1()(2x（2）圆心 到直线 的距离 ，Cl 2512| d所以直线 和 相交 10 分lD选修 45：不等式选讲已知 x，y，z 均为正数求证： 1yxzzxyz+证明：因为 x，y ，z 都是为正数，所以 2() 3 分第 10 页（共 11 页）同理可得 22yzxxyz ， 将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2，得 1xyzxyz 10 分
