动弦过定点的问题.doc

1、1动弦过定点的问题例 1、已知椭圆 C： 的离心率为 ，且在 x 轴上的顶点分别为21(0)xyab32A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 上异于点 T 的任一点，直线:(2)lxt lPA1,PA2 分别与椭圆交于 M、N 点，试问直线 MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。例 2、已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3；最小值为 1；（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 与椭圆 C 相交于 A，B 两点（A，B 不是左右顶点） ，且以 ABmkxyl：为直径的圆

2、过椭圆 C 的右顶点。求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标。l例 3、直线 和抛物线 相交于 A、 B，以 AB 为直径的圆过抛物线的mkxyl： 2ypx顶点，证明：直线 过定点，并求定点的坐标：例 4、已知点 A、B、C 是椭圆 E： 上的三点，其中点 A21xyab(0)ab2是椭圆的右顶点，直线 BC 过椭圆的中心 O，且 ， ，(I)求(23,0) 0ACB2AC点 C 的坐标及椭圆 E 的方程； (II)若椭圆 E 上存在两点 P、Q，使得直线 PC与直线 QC 关于直线 对称，求直线 PQ 的斜率。3x例 5、已知，椭圆 C 以过点 A（1， 32） ，两个焦点为（1，0） （

3、1，0） 。（1） 求椭圆 C 的方程；（2） E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。 强化训练：1、若 AB 是过椭圆 中心的一条弦,M 是椭圆上任意一点,且AM,BM 与 坐标轴不平行 , , 分别表示直线 AM,BM 的斜率,则 =( ) A. B. C. D.2、已知 F1、F 2 是两个定点，点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且 PF1PF 2，e 1 和 e2 分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有 A. + =4 B. + =2C.e12+e22=4 D.e

4、12+e22=23、已知定圆 O1、O 2 的半径分别为 r1、r 2,圆心距|O 1O2|=2,动圆 C 与圆 O1、O 2 都相切,圆心 C 的轨迹为如图所示的两条双曲线,两条双曲线的离心率分别为 e1、e 2,则 的值3为 A.r1+r2 B.r1 和 r2 中的较大者 C.r1 和 r2 中的较小者 D.|r 1-r2|4、如图 2 所示，F 为双曲线 C: =1 的左焦点，双曲线 C 上的点 Pi 与 P7-i(i=1,2,3)关于 y 轴对称，则|P 1F|+|P2F|+|P3F|-|P4F|-|P5F|-|P6F|的值是 图 2A.9 B.16 C.18 D.275、双曲线 -y

5、2=1 的虚轴端点与一个焦点连线的中点恰在双曲线的一条准线上,PQ 是双曲线的一条垂直于实轴的弦,O 为坐标原点,则 等于 A.0 B.-1C.1 D.与 PQ 的位置及 a 的值有关6、过点 M(p,0)任作一条直线交抛物线 y2=2px(p0)于 P、Q 两点,则 +的值为 A. B. C. D. .来源:学科网 7、椭圆 C1： + =1(ab0)的左准线为 l，左右焦点分别为 F1、F 2，抛物线 C2 的准线为 l，一个焦点为 F2， C1 与 C2 的一个交点为 P，则 - 等于( ) A.-1 B.1 C.- D.8、设抛物线的顶点为 O，经过抛物线的焦点垂直于轴的直线和抛物线交

6、于两点4B、C，经过抛物线上任一点 P 垂直于轴的直线和轴交于点 Q，若|PQ| 2=|BC|OQ|，则 的值为 A. B.1 C.2 D.39、已知抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F，过 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，A，B 在抛物线准线上的射影分别是 A1，B 1，点 M 是 A1B1 的中点，若|AF|=m，|BF|=n，则|MF|= ( ) A.m+n B. C. D.mn10、经过抛物线 y2=2px(p0)的焦点作一条直线与该抛物线交于 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，则 y1y2 的值为( ) A.2p2 Bp 2 C-2P 2 D-p 211、

7、椭圆 =1(ab0)上两点 A、B 与中心 O 的连线互相垂直，则的值为（ ） A. B. C. D.12、过点 M(-2,0)的直线 l 与椭圆 x2+2y2=2 交于 P1、 P2 两点,线段 P1P2 的中点为 P,设直线 l 的斜率为 k1(k10),直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 的值为（ ） A.2 B.-2 C. D.-13、已知点 P 是双曲线 (a0,b0)右支上一点， F1，F 2 分别为双曲线的左、右焦点，H 为PF 1F2 的内心，若 成立，则 的值为_. 14、已知 F1、F 2 是双曲线 -y2=1 的两个焦点,P 在双曲线上,当F 1PF2 的面积为 1

8、 时, 的值为_. 15、双曲线 C: - =1(ab0)中，F 1、F 2 是它的焦点，设抛物线 l 的焦点与双曲线C 的右焦点 F2 重合，l 的准线与 C 的左准线重合，P 是 C 与 l 的一个交点，那么5=_. 16、过抛物线 y2=2px(p0)的焦点的直线 x-my+m=0 与抛物线交于 A、B 两点,且OAB(O 为坐 标原点)的面积为 ,则 m6+m4=_. 17、如图，椭圆 C: (abo)的焦点为 F1(0，c)、F 2(0，一 c) (c0)，抛物线P：x 2=2py(p0)的焦点与 F1 重合，过 F2 的直线 l 与抛物线 P 相切，切点在第一象限且与椭圆 C 相交

9、于 A、B 两点，且 (I)求证：切线 l 的斜率为定值()设抛物线 P 与直线 l 切于点 E，若OEF 2 面积为 1，求椭圆 C 和抛物线 P 的方程18、设 上的两点，已知向量， ,若 mn=0 且椭圆的离心率 短轴长为 2， 为坐标原点. ()求椭圆的方程；6（）若直线 AB 过椭圆的焦点 F（0，c） ， （c 为半焦距） ，求直线 AB 的斜率 k 的值；（）试问：AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.19、如图，椭圆 ： 的焦点 、 ，抛物线 ：的焦点与 重合，过 的直线 与抛物线 相切，切点在第一象限，且与椭圆 相交于 、 两点，且 . (1)求

10、证：切线 的斜率为定值；(2)若抛物线 与直线 及 轴围成的 图形的面积为 ，求抛物线 的方程；(3)当 时，求椭圆离心率 的取值。20、 设 上的两点，已知向量， ,若 =0 且椭圆的离心率 短轴长为 2， 为坐标原点. (1) 求椭圆的方程；（2）若直线 AB 的斜率存在且直线 AB 过椭圆的焦点 F（0，c ） ， （c 为半焦距） ，求直线 AB 的斜率 k 的值；（3）试问：AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由 .721、过抛物线 y2=2px(p0) 的对称轴上的定点 M(m,0)(m0),作直线 AB 与抛物线相交于 A,B 两点. (1)试证明 A

11、,B 两点的纵坐标之积为定值;(2)若点 N 是定直线 l:x=m 上的任意一点,分别记直线 AN,MN,BN 的斜率为 k1,k2,k3,试探求 k1,k2,k3 之间的关系 ,并给出证明.22、如图,在直角坐标系 xOy 中,A iBiAi+1 (i=1,2,n,)为正三角形,|AiAi+1|=2i1(i=1,2,3,n,). (1)求证:点 B1,B2,Bn,在同一条抛物线上,并求该抛物线 C 的方程;(2)设直线 l 过坐标原点 O,点 B1 关于 l 的对称点 B在 y 轴上,求直线 l 的方程;(3)直线 m 过(1)中抛物线 C 的焦点 F 并交 C 于 M、N,若 (0),抛物

12、线 C的准线 n 与 x 轴交于 E,求证:与 的夹角为定值 .23、如图，已知椭圆 1(ab0) 过点(1， )，离心率为 ，左、右焦点8分别为 F1、F 2.点 P 为直线 l：xy2 上且不在 x 轴上的任意一点，直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D，O 为坐标原点 来源:学科网 ZXXK(1)求椭圆的标准方程(2)设直线 PF1、PF 2 的斜率分别为 k1、k 2.()证明： 2.()问直线 l 上是否存在点 P，使得直线 OA、OB、OC、OD 的斜率kOA、 kOB、k OC、k OD满足 kOAk OBk OCk OD0？若存在，求出所有满足条件的点

13、 P 的坐标；若不存在，说明理由24、 【16 分】在平面直角坐标系 xOy 中，如图，已知椭圆 1 的左、右顶点为A、B，右焦点为 F.设过点 T(t，m)的直线 TA，TB 与此椭圆分别交于点 M(x1，y 1)、N(x2，y 2)，其中 m0，y 1 0，y 20. 来源:学科网(1)设动点 P 满足 PF2PB 2 4，求点 P 的轨迹；(2)设 x12，x 2 ，求点 T 的坐标；(3)设 t9，求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关)25、如图，已知椭圆 1( ab0)的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的9左、右焦点 F1、F 2 为顶点的三角形的周长为 4(

14、 1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D. (1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线 PF1、PF 2 的斜率分别为 k1、k 2，证明：k 1k21；(3)是否存在常数 ，使得|AB|CD| |AB|CD|恒成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由26、已知,椭圆 C 经过点 A(1, ),两个焦点为(1,0),(1,0). (1)求椭圆 C 的方程 ;(2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线EF 的斜率为定值,并求出这个定

15、值.27、已知椭圆 C 经过点 A(1, ),两个焦点为 (1,0),(1,0). (1)求椭圆 C 的方程 ;(2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相互数,证明直线EF 的斜率为定值,并求出这个定值.1028、已知双曲线 C: (a0,b0)的离心率 为 ,右准线方程为 . ()求 双曲线 C 的方程;()设直线 l 是圆 O:x2+y2=2 上动点 P(x0,y0)(x0y00)处的切线,l 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,证明AOB 的大小为定值.29、 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过点 的动直线与双曲线相交于 两点. （I）若

16、动点 满足 （其中 为坐标原点） ，求点 的轨迹方程；（II）在 轴上是否存在定点 ，使 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.30、已知，椭圆 C 以过点 A（1， 32） ，两个焦点为（1，0） （1，0） 。（1） 求椭圆 C 的方程；（2） E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。 31、已知动圆过定点 ，且与直线 相切，其中 .,02p2px0p（I）求动圆圆心 的轨迹的方 程；C（II）设 A、B 是轨迹 上异于原点 的两个不同点，直线 和 的倾斜角分别为OOAB11和 ，当

17、变化且 时，证明直线 恒过定点，并求出该定点的坐标 奎 屯王 新 敞新 疆,4AB.32、已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直x线交椭圆于 A、B 两点， 与 共线 奎 屯王 新 敞新 疆B(3,1)a（）求椭圆的离心率；（）设 M 为椭圆上任意一点，且 ，证明 为定),( RBAM2值 奎 屯王 新 敞新 疆33、已知常数 ，在矩形 ABCD 中，AB4，BC 4a，O 为 AB 的中点，点a0E、F、 G 分别在 BC、CD、DA 上移动，且 ，P 为 GE 与 OF 的交点BECFDGA（如图） 。问是否存在两个定点，使 P 到这两点的距离的和

18、为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。 DyxBA34、 已知常数 a0，向量 c=（ 0，a ） ，i= （1，0） ，经过原点 O 以 c+i 为方向向量的直线与经过定点 A（0，a ）以 i2c 为方向向量的直线相交于点 P，其中 R.试问：是否存在两个定点 E、F ，使得|PE|+|PF|为定值.若 存在，求出 E、F 的坐标；若不存在，说明理由.来源:学|科| 网1235、若双曲线方程为 ，AB 为不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为 ABxayb21中点，设 AB、OM 的斜率分别为 ，则kABO、 kbaABOM236、直线 过抛物线 的焦点，且与抛物线相交于 Al )0(2pxy两点.),(),(21xBy和（1）求证： ;214（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦 CD，直线 l 不是 CD 的垂直平分线.37、已知点 P1(x0,y0)为双曲线 (b 为正常数 )上任一点,F 2 为双曲线的右焦点,过 P1 作右准线的垂线,垂足为 A,连接 F2A 并延长交 y 轴于点 P2. (1)求线段 P1P2 的中点 P 的轨迹 E 的方程;(2)设轨迹 E 与 x 轴交于 B,D 两点,在 E 上任取一点 Q(x1,y1)(y10),直线 QB ,QD 分别交y 轴于 M,N 两点.求证：以 MN 为直径的圆过两定点.