1、运用试除法计算指数 笔者试图探讨如何运用初等方法计算指数，从理论上进一步完善指数的计算方法，并为应用计算机技术直接计算指数提供理论依据。运用初等方法计算指数简单、快捷、精确，同时也适用于计算对数。试除法 *：一数连续试除以另一数，计算一数里含有另一数的几个整数次方的方法。通过计算得到两个结果，一是含有几个整数次方，二是试除后的余商（暂称 s 数） 如用 a 连续除 b，当除到 m 次时， 小于 a 而不小于 1。则 b 里含有 a 的 m 个整数次方，bam是 s 数。这时 m0 为整数，a mb as 数1 bam（若 ab m=0 若 a=b m=1 若 ab，m1） 为了叙述方便，暂借用
2、符号“/” *表示指数式 即: a m =b m = b/a 指数式的化简和运算规律与分数式的比较指数式 分数式 = 1 m=b/a b-a-a .-a（m 个 a = 0 m = b/a baa .a (m个 a)b/a = bm/am (m0) = (m0) ba bmamb/a = = 1a/b ba 1a/bb/a + c/a = bc/a + = ba ca b+cab/a - c/a = /a = bc ba ca b-cab/a c = bc/a c = ba bcab/a c/a = b/c = ba ca bc从上面比较可以看出，在同一运算中。指数式是乘方，分数式则是相乘；指
3、数式是相乘，分数式则是相加；指数式是相除分数式则是相减。从而可以认为，指数式是分数式进一步发展而来的，二者关系密切。掌握了这些规律，则可把指数式转化成分数式或小数式。指数式转化成小数式把指数式转化成小数式与把分数式转化成小数式的方法类同，只是指数式是三级运算时分数式则是二级运算，指数式是二级运算时分数式则是一级运算。即指数式是乘方时分数式则相乘；指数式需扩大 10 次方时分数式则扩大 10 倍，指数式需试除时分数式则试减；指数式试除后的 s 数趋近或等于 1，分数式试减后的余数趋近或等于 0。ax=b 把指数 x 转化成小数式 (a1 b1) 设：m 为 x 的整数部分。 mi = m1，m
4、2 .mn ，m 1为 x 小数部分的 10 分位，m 2为 x 小数部分的 100 分位.m n为 x 小数部分的 10n分位 10m i 0 用 a 试除 b 求出 x 的整数部分 m m0 a mb a 1 bam等式两边同除以 amax-m= bam若 =1 ax-m = 1 x = m bam若 1 时，等式两边同时扩大 10 次方 bama10x-10m = b10a10m用 a 试除 ，求出 x 小数部分的 10 分位小数 m1 b10a10m10m 1 0 a m1 a 1 b10a10m b10a10m + m1等式两边同除以 am1 a10X-10m - m1 = b10a
5、10m + m1若 =1 a10X-10m-m1 =1 x = m + b10a10m + m1 m110若 1 时，等式两边同时扩大 10 次方 b10a10m + m1a100X-100m -10m1 = b100a100m + 10m1用 a 试除 ，求出指数 x 小数部分的 100 分位小数 m2 b100a100m + 10m110 m 2 0 a m2 a 1 b100a100m + 10m1 b100a100m + 10m1 + m2等式两边同除以 am2 a100X-100m -10m1-m2 = b100a100m + 10m1 + m2若 = 1 a100X100m -10
6、m1- m2 =1 x = m + + b100a100m + 10m1 + m2 m110 m2100若 1 时， 等式两边同时扩大 10 次方再如此继续求出 x 小数b100a100m + 10m1 + m2部分的 1000 分位、10000 分位.10 n分位小数 m3， m4 . mn ,直到 s 数等于 1 或达到精度要求的下一位。 即: a(10nx-10nm-10n-1m1-10n-2m2 .-mn)= b10na(10nm+10n-1m1+10n-2m2 .+mn)10nx-10nm-10n-1m1-10n-2m2 .- mn = /a b10na(10nm+10n-1m1+1
7、0n-2m2 .+mn)x = m + + .+ + /a m110 m2100 mn10n b10na(10nm+10n-1m1+10n-2m2 .+mn)若 1 b10na(10nm+10n-1m1+10n-2m2 .+mn)/a 1/a 0 b10na(10nm+10n-1m1+10n-2m2 .+mn)xm + + .+ m110 m2100 mn10n计算指数的操作方法通过上述不难看出计算指数的方法是先用底数试除真数求出指数的整数部分。这时 s 数若等于 1，则指数为整数，若小于底数而大于 1，将其扩大 10 次方，再用底数试除求出指数小数部分的 10 分位。如此反复试除，再扩大 1
8、0 次方，再试除。继续求出 100 分位,1000 分位.小数，直到 s 数等于 1 或达到精度要求的下一位小数，四舍五入。此方法同时适用于计算对数。它的实质是：ax=b 假如给等式两边同时扩大一个够大的 E 次方。aEx = bE 用 a 试除 bE求出整数次方 m aEx m = bEamExm = /a bEamx = + , 0 mEx mE显然，这种方法是不切实际的。但我们可以先用 a 试除 b，使 b 小于 a，再给等式两边同时扩大一个适当大的次方 e，再用 a 试除 se，使其又小于 a，反复如此，即可简捷准确地达到计算指数的目的。这个适当大的 e 次方应该是 10 或 2、8、
9、16 为宜。则：x = m + m1/e + m2/e2 + mn/en 例一 计算 131072/65536 值 131072 / 655361210 / 655360102410 / 6553661610 / 65536225610 / 6553651 x = 1.0625 例二 计算 243/27 值 243 / 271910 / 276 9 x = 1.6. (循环小数)例三 计算对数 log102 值 （精度要求保留 15 位小数）2 / 10 0210 / 10 3 1.02410 / 10 0 1.26765060022822940149670320537610 / 10 1 1
10、.0715086071862673209484250490610 / 10 0 1.995063116880758384883742162683610 / 10 2 9.990020930143845079440327643300310 / 10 9 9.900656229295898250697923616301910 / 10 9 9.049817306360800301396402667708710 / 10 9 3.684665936980458763209092390984210 / 10 5 4.612976001169069393116119221037410 / 10 6 4.
11、363268634556242898858291087671810 / 10 6 2.501033571773471231360815711099410 / 10 3 9.576244231492743284805059495794410 / 10 9 6.485629529555838957442228147189610 / 10 8 1.316804717933509690619631430236410 / 10 1 1.567522339544829325194195517131610 / 10 1 log10 2 = 0.301029995663981 用这种方法计算指数，除了简单快捷
12、外，从理论上讲，可以准确地计算到任意位小数。原因有三。一，真数在不断地试除和扩大 10 次方时，末尾几位小数必然有误差，但试除时只取整数，因而末尾几位小数是无效小数，不影响结果的准确性。二，试除时底数一直保持不变，因而底数始终是准确的。三，末尾几位无效小数随着不断地试除和扩大 10 次方时也在不断地被舍去。毫无疑问，其计算结果是准确的。(用计算器计算时要连续计算)指数式转化成连分数 把指数式 b/a 转化成连分数 (ba1) 设：m i = m1 ,m2 .mn，m 1为连分数的第 1 位，m 2为连分数的第 2 位. mn为连分数的第 n 位。m i1 为整数。用 a 试除 b 求出连分数的
13、第 1 位 m1 b/a = m1 + /a 这时 a bam1 bam1将 a 和 对换位置后取其倒数 bam1b/a = m1 + 用 试除 a 求出连分数的第 2 位 m2 bam1b/a = m1 + 这时 bam1 a1 + m1 m2bm2. 如此反复小数试除大数取其整数，底数和真数对换位置后取其倒数，直到认为试除后的s 数趋近或等于 1。则: b/a = m1 + b/a = m1 + b/a = m1 ,m2 .mn 表示连分数 指数式、对数式转化成连分数，因为底数和真数轮流对换位置，s 数趋近于 1 快。但连分数还要化成分数、再化成小数，然后确定小数位数，反倒麻烦。例一 65
14、536X = 131072 X 化成连分数 131072 / 655361 65536 / 216 1x = 1,16 例二 27X = 243 X 化成连分数243 / 27127 / 919 / 321 x = 1,1,2 例三 Log10 2 化成连分数 2 / 100 10 / 232 / 1.253 1.25 / 1.0249 1.024 / 1.0097419586828951109270125635622 Log10 20,3,3,9,2 * “试除法”一词来源于数学研究所。一九七一年，本人曾将第一篇“初稿” 寄给数学所请求指导。数学所的回复只有一句话，说此计算指数的方法是“试除法” 。* 建议使用下面符号表示指数式，在复杂运算时不致引起混乱。ax = b = x 摘要：本文清楚地阐述了指数运算的基本规律，进一步完善了指数运算的基础理论，提供了一种计算指数的新方法。也为计算机直接计算指数提供了理论依据。个人观点，仅供参考。 数痴 b a
