1、乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第一次诊断性测验理科数学（问卷）（卷面分值：150 分 考试时间：120 分钟）注意事项：1.本卷分为问卷和答卷两部分，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上.2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚.第卷 （选择题 共 60 分）一、选择题：每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 A=x|x210, B=x |x0，则 A( RB) =A. x|0x1| B. x|0 0 D. x|x 0 , | ）在区间 0, 1上是单调函数，其图象过点2P1（1 , 0） ，P 2（0 , 1） ，则
2、此函数的最小正周期 T 及 的值分别是A. T= 4, = B. T= 4, =1 C. T= 4 , = D. T= 4, = -12 28.若某射手每次射击击中目标的概率为 P ( 0 0 )A. 若 f (a) + 2a = f (b) + 3b，则 a b B. 若 f (a) + 2a = f (b) + 3b，则 a b D. 若 f (a) -2a = f (b) -3b，则 a b第卷 （非选择题 共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第 22 题 第 24 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共
3、4 小题，每小题 5 分13. 的展开式中常数项为 （用数字作答） ；613x14.中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的渐近线过点 P(2,1)，则其离心率为 ；15.设数列 是公差为 1 的等差数列，且 a1=2，则数列lga n的前 9 项和为 ；na16.已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，点 P 是线段 A1C1 上的动点，则四棱锥 PABCD 的外接球半径 R 的取值范围是 .三、解答题第 1721 题每题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤 .17.已知ABC 中，a , b , c 分别为角 A，B，C 的对边，a 2 + b
4、2 c2，且sin( 2C - ) = .2 12（）求角 C 的大小；（）求 的取值范围.a + bc18.如图，在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中，E 是 AB 的中点.（）在 B1C 上是否存在点 P，使 PB平面 B1ED，若存在，求出点P 的位置，若不存在请说明理由；（）求二面角 D -B1E -C 的平面角的余弦值19.某市共有 100 万居民的月收入是通过“工资薪金所得”得到的，如图是抽样调查后得到的工资薪金所得 x 的频率分布直方图. 工资薪金个人所得税税率表如表所示.表中“全月应纳税所得额”是指“工资薪金所得”减去 3500 元所超出的部分（3500 元为个税起征点，
5、不到 3500 元不交税）工资个税的计算公式为：“应纳税额”=“全月应纳税所得额”乘以“适用税率”减去“速算扣除数”.例如：某人某月“工资薪金所得”为 5500 元，则“全月应纳税所得额”为 5500 -3500=2000 元，应纳税额为 200010% -105=95（元） 。在直方图的工资薪金所得分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，工资薪金所得落入该区间EC1B1A1 D1ADB C的频率为 x 取该区间中点值的概率.（）试估计该市居民每月在工资薪金个人所得税上缴纳的总税款；（）设该市居民每月从工资薪金交完税后，剩余的为其月可支配额 y ( 元 )，试求该市居民月可支配额 y 的数
6、学期望20.已知直线 x y 1= 0 经过椭圆 C： 的顶点和焦点 F.21(0)xyab（）求此椭圆的标准方程；（）斜率为 k，且过点 F 的动直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D，求证直线 BD 过定点21.已知函数 f (x) = ex e x (xR) .（）求证：当 x0 时，f (x) 2x + ；x33（）试讨论函数 H (x) = f (x) ax (xR)的零点个数.请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本题满分 10 分）选修
7、4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 的一条直径，过 A 作O 的切线，在切线上取一点 C，使 AC=AB，连接 OC，与O 交与点 D，BD 的延长线与 AC交于点 E，求证：（）CDE = DAE；（）AE = CD23.（本题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 C 的极坐标方程为 = 2，以极点为原点极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，P 是曲线 C 上的动点，点 A( 2 , 0 ) , M 是线段 AP 的中点（）求点 M 轨迹的直角坐标方程；（）求证点 M 到点 E( , 0 )、F( 3 , 0 ) 的距离之比是常数.3224.（本题满分 10 分）选修 4
8、-5：不等式选讲已知关于 x 的不等式|x-3| + |x-4| m 的解集不是空集.（）求参数 m 的取值范围的集合 M；（）设 a , bM , 求证： a b ab 1全月应纳税所得额 适用税率（%）速算扣除数不超过 1500 元 3 0超过 1500 元至 4500 元 10 105超过 4500 元至 9000 元 20 555 2000 4000 6000 8000 10000 120000.0000250.000050.0000750.000150.0002频率/组距工资薪金所得x(元)DO CABE乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第一次诊断性测验理科数学试题参考答案及评分标准
9、一、选择题:共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12选项 B B D C A C A D A D A A1.选 B.【解析】 ， ， .1x0BxR01BxR2.选 B.【解析】 ， 的实部为 .21ii i2i13.选 D.【解析】 ， .515131,64aqSa534Sa4.选 C.【解析】由函数奇偶性定义得 是奇函数， 是偶函数，,tnyx2xy 的定义域为 ，lgyx0, 既不是奇函数，又不是偶函数.5.选 A.【解析】 由图可知， ，解得min324z .3m6.选 C.【解析】该几何体的直观图，如图所示可知， 是直角
10、三角形，,PBAD ， ， ，229228P25CD， 不是直角三角形.DC7.选 A.【解析】图象经过点 ，12,0,1 ，解得 ，sin012k由 及函数在区间 上是单调函数，可得 ，,20,124T8.选 D.【解析】由题意知， ，即 ，解得53358812CPCP215P（舍） ，或 .54P56P9.选 A.【解析】执行第一次运算时： 1204,3abi执行第二次运算时： 13,ai执行第三次运算时： 20,4b输出 3i10.选 D.【解析】设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，分别过点 作直线 的2yxF0l,AB0l垂线，垂足分别为 ，由抛物线定义，得,MNABFMN.( 是 的中点
11、)2ABpxABxp28Cx11.选 A.【解析】设 中点分别为 ，,N则 1122OstAsBtACNACBtt由外心 的定义知， ，因此， ，,OMANC0OMAB0NC， 102sBt 21st同理： 2tACsB ，B22 2ACAB 21A把代入得 ，解得 .1048st43,5st12.选 A.【解析】易知， 为增函数，ln10xfe若 ，则有 ，又 ， ，即0abab23ab23fafb成立，23ff它的逆否命题：若 ，则 成立；23fafbab在 递增，在 递减，ln1xge0,lnln2,；max2gx在 递增，在 递减，ln13ex0,ln23ln,2， ；maxll2,l
12、x当 时，方程 有两解 ，不妨设 ；0ln3y0gy14,14x方程 也有两解 ，不妨设 ；0x23,x23x又当 时， ， ，g14这样当 时，就有 ，或 ，故，C. D.不正确.0fafbyab二、填空题 :共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.填 .【解析】此二项式的展开式的通项为 ，135 3662113rrrrrTxx令 ， ，常数项为 .602r44256C14.填 .【解析】根据题意得，此双曲线的渐近线方程为 ， ， .5 12yxba5e15.填 .【解析】 是公差为 的等差数列， ，11na111nna ，nalglgln数列 的前 9 项和为 .lgn 9213
13、2lg09S16.填 .【解析】如图，设 的外接球的球心为 ，3,42PABCDG 在球面上，,ABCD球心在正方体 上下底面中心连线 上，点11O也在球上，PGPAR棱长为 ， ，设 ，12OA11,PxOGy则 ，在 中，有 ，Gy1Rt22R在 中， ，将代入，得 ，t 222y 23xy ， ， ，于是0x134y2222319,64Rxy.3,42R三、解答题17.（12 分）（） ， ， ，故22abc22os0abcCC2由 ，得 ， ，即 ； 6 分1sin1243（）sinsincossi 32AAabBcC2sin3由 ，知 ，故 ，C0A233Asin13A ，即 12
14、分232abc1abc18.（12 分）如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 ，2则有 ，0,2,0,0,ABCD1E（） ，1,02,1,20BED设平面 的法向量 ，1 ,abcn则 ，即 ，取 ，则 ，10En2021,bc2,1n设 ，则2,P,PB 平面 ，当且仅当 ，即 时， 平面B1D1PBn10PB1ED ， ， ，02,即 是 的中点时， 平面 ； 6 分P1C1ED（） ，设平面 的法向量1,2,1,BEBC,xyz2n由 ，得， ，取 ，则 ，120n20xzyx12,1设二面角 的平面角为 ，易知 ，1DBEC2 12 分21cos3n19.（12 分）（）工资薪
15、金所得的 组区间的中点值依次为 ， 取这些值530,570,910x的概率依次为 ，算得与其相对应的“全月应纳税所得额”依次0.1,3.4,01.5为 （元） ，按工资个税的计算公式，相应的工资个税分别为：,7（元） ，0（元） ，153%45（元） ，102（元） ，（元） ；79该市居民每月在工资薪金个人所得税总收入为（元） ； 6 分 68450.32.450.14.5102.3510（）这 5 组居民月可支配额 取的值分别是y4,yy（元） ；1y（元） ；250495y（元） ；3767（元） ；498y（元） ；510510 的分布列为：y34967584105P0.15.0.该市
16、居民月可支配额的数学期望为： 30.5Ey（元） 12 分986720.（12 分）（）已知直线直线 经过椭圆 ： 的短轴端点 和右10xyC210xyab0,b焦点 ，可得 ，,0Fcbc22abc故椭圆 的标准方程为 ； 5 分C21xy（）由椭圆 的方程可得右焦点为 ，因为直线 的斜率为 ，且直线经过右焦点,0FABk，所以直线 的方程为 ，FAB1ykx设 ，则点 的坐标为12,xyD1,y当 时，因为点 在椭圆 上， 0k,C2221,xy ，依题意知22110xy12直线 的斜率BD2121BDyxkxy则直线 的方程为 221y由得 12122xxyy把直线 的方程代入椭圆 的方
17、程得 ，ABC221kx即 22140kxk 是方程的两个实数解， ， 12, 2124kx21kx又 ，12,ykxykx 221121x把代入得， 221224kkyk把代入得， 2 221241xyk k即 ，令 ，解得22121kxy0x此时，直线 过定点BD,0当 时，点 为椭圆 的长轴端点，故点 与点 重合，此时直线 即为 0k,ACDABDx轴，而 轴过点 ，则直线 也过点x2B2,0综上所述，直线直线 过定点 . 12 分D,021.（12 分）（）令 32,0xgxf则 ， ，2xfex2gfx 2gx当 时， ， 0,0xxe2xxee ，函数 为增函数，0gx0ygx ，
18、即 2f函数 为增函数，yx ，即 0g2xex函数 为增函数，yx ，即当 时， 成立； 6 分0g0x32xf（）当 时，2aHfa 220xxxfeea函数 为增函数，yR当 时， ，当 时， ，0x0Hx0xHx当 时，函数 的零点为 ，其零点个数为 个2ay1当 时，对 ，xRx函数 为奇函数，且 yH0H下面讨论函数 在 时的零点个数：x由（）知，当 时， ，令0002xe00xae 0xHxf则 ，00xe xHfe当 时， ， ，0x1,x0xe0H函数 为增函数0yH当 时， ；当 时，0x0x0x0x函数 的减区间为 ，增区间为y0,0,当 时， 0xHx即对 时， 0,x
19、0Hx又由（）知， 00 0032x xfee0023x当 时，由知 ，0x0020xe00032xex故，当 时，0032x0023xe ，即 002xeH由函数 为增函数和及函数零点定理知，存在唯一实数0yH使得 ，又函数 为奇函数00,32xxe 0x,yHxR函数 ，有且仅有三个零点 12 分,yR22.（10 分）（） CDEOBD又 与 切于点 ， 是弦，AAAEOBD ； 5 分（） ， ， CCAD ， ACDEAD而 ， EBB由得 又 ， 10 分C23.（10 分）（）曲线 的参数方程为 ，设 ，C2cosinxy2cos,inP,Mxy则 ，即 ； 5 分2coss1inxy212xyx（）设 ，cos1,iM则 . 10 分2235sincos142cos1EF24.（10 分）（）设函数 ，则 ，画出其图象，可知 ，34yx72314xy min1y要使不等式 的解集不是空集，需且只需m1 的取值范围的集合 ； 5 分m1,M（） ，,ab,ab 11ab ， ， . 10 分0,101a以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分.
