1、细品二次函数小题 感受知识运用经典在中考中二次函数占举足轻重的地位，其小题更是涌现出其灵活性、创新性。选择填空题虽阅读量小，但细品来，其解法灵活，且具有探索性，对学生的基础知识、基本技能及分析理解能力的要求不亚于一些压轴题。现加以归类浅析，为大家以后解决小题提供经验：一、与 a、b、c 有关例 1 如图 1，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象caxy2过正方形 ABOC 的三个顶点 A、B 、C，则 值为 。c解析：由已知易得 A（0，c）则正方形 ABOC 的 C 点坐标为（， ） ，代入 得 ，化简得c2axy221ac4。a例 2 （2010 邯郸）如图 2，抛物线 y=ax2+bx+
2、c，OA=OC，下列关系中正确的是 ( )Aac+1=b Bab+1=cCbc+1=a D +1=cba解析：由已知得 C（0，c） ，又 OA=OC，A(-c ，0)，将 A 点代入 y=ax2+bx+c 得，0= ，即 ac+1=b。选 A。2abc1， 得例 3 （2009 义乌）如图 3，抛物线 与 轴的一个交点 A 在点（-2yaxbcx2，0）和（-1，0）之间（包括这两点） ，顶点 C 是矩形 DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则(填“ ”或“ ”)；(1)abc的取值范围是 。2解析：（1）开口向下 a0，对称轴0， b0，C 是与 y 轴交点的纵坐标，x2aC 0,a
3、bc0；（2）a 决定开口大小， 越大，抛物线开口越小。当抛物线在 x 轴的交点与抛物线对称a轴的距离大，且顶点接近 x 轴（顶点与 x 轴距离小）时，抛物线开口就大，即 最小，此a时抛物线经过点（-2，0） ，顶点为 F（3,2） ，设这时的抛物线解析式为图 1BAC图 2图 3，代入点（-2，0） ，得 ；当抛物线在 x 轴的交点与抛物线2yax32a5对称轴的距离小，且顶点远离 x 轴（顶点与 x 轴距离大）时，抛物线开口就小，即 最大，a此时抛物线经过点（-1，0） ，顶点 E(1,2), 设这时的抛物线解析式为 ,2y1代入点（-1，0）,得 。所以 。3a42a5二、与阴影面积有关
4、例 4 （2010 长春）如图 4，抛物线 yax 2c (a0)交 x 轴于点 G、F ，交 y 轴于点 D，在 x 轴上方的抛物线上有两点B、E ，它们关于 y 轴对称，点 G、B 在 y 轴左侧BA OG 于点A，BCOD 于点 C四边形 OABC 与四边形 ODEF 的面积分别为 6 和 10，则ABG 与BCD 的面积之和为 解析：解此题关键是由已知条件得出四边形 GODB 与四边形ODEF 关于 y 轴对称，这两个四边形面积相等，即四边形GODB 为 10，则阴影部分面积为 10-6=4例 5 (2010 遵义市)如图，两条抛物线 、121xy与分别经过点 , 且平行于 轴的两条1
5、2xy02平行线围成的阴影部分的面积为（ ）8 6 10 4 解析：因为两抛物线的二次函数都为 ，12是由 向下平移 2 个单位得到的。所12xy2xy以阴影部分面积可以转化为长为 4，宽为 2 的矩形 ABCD 的面积8，故选 A。例 6 （2009 庆阳改编）如图 6，是二次函数 21yx的图象在 x 轴上方的一部分，若这段图象与 x 轴所围成的阴影部分面积为 S，则 S 取值最接近（ ） A.4 B. C.2 D.813解析：设抛物线与坐标轴的交点 A(-2,0),B(0,2),C(2,0).从图中可以看出，阴影部分面积在 ABC 面积和以 O 为圆心 2 为半径的半圆的面积之间，即 4
6、S2，故选 B。AG OBDC EF xy图 4图 5AB CD图 6O图 8yPx例 7 （2008 年杭州市）如图 7，记抛物线的图象与 正半轴的交点为 ，将线段 分21yxxAO成 等份，设分点分别为 ， ， ，过每个分点作n1P21n轴的垂线，分别与抛物线交于点 ， ， ，再记xQ21n直角三角形 ， 的面积分别为 ， ，这样就1OQ21S有 ， ，；记 ，213nS34nS21nWS当 越来越大时，你猜想 最接近的常数是（ ）A. B. C. D.1234解析：此题有两种方法，方法一：结合图形，设抛物线与 y 轴交点为 B，在第一象限所围成的图形面积大于等腰三角形 OAB 的面积 ，
7、小于以 O 为圆心，1 为半径的 圆面214积 ，而阴影部分面积是整个图形面积的一半，所以 W ，满足该条件的只有1448选 C。方法二：从所给的式子入手： = + +112n=S+ 23234n= = ，由结果可以看223n（ -1） 2336n（ ） 2出，当 越来越大时， 最接近 。W1三、与分类讨论有关例 8 （2010 宁波市）如图 8，已知 P 的半径为 2，圆心 P 在抛物线 y x21 上运12动，当 P 与 x 轴相切时，圆心 P 的坐标为_ 解析： 当P 在第二象限与 x 轴相切时，则 P 点的纵坐标为2，代入 y x21 得 ， （舍） ，12 62；1p6，图 7当P
8、在第一象限与 x 轴相切时，仿方法得 2p6，故圆心 P 的坐标为 。62， 或 ，注： P 不可能在第三、四象限与 x 轴相切，因为抛物线与 y 轴交点为（0，-1 ） ，故抛物线上的点与 x 轴距离最远是 12。四、与探索规律有关例 9 （2009 兰州）二次函数 的图象如图 9 所示，点2y3位于坐标原点，点 ， ， ， 在 y 轴的正半轴0A12A208上，点 ， ， ， 在二次函数 位于第一1B2308Bx3象限的图象上，若 , ， ，0122A都为等边三角形，则 的边长 20782A0780。 解析：本题难度较大，考查利用二次函数及等边三角形的知识探 究线段的规律。设B1 坐标（
9、x1,y1）,因为A 0B1A1 为等边三角形，所以 x12=3y12,又因为 y1= x12,所以，3y1=3y12,解得：y 1= ，所以 A0A1=2y1=1.设点 B2（x 2,y2）, 因为A 1B2A2 为等边三角形，3所以 x22=3（y 2-1） 2，又因为 y2= x22,所以 y2=3（y 2-1） 2，解得：y 2= 或 2，故 y2=2，3所以 A1A2=2（ y2-1）=2. 同理可得 A2A3=3.则发现规律：A nAn+1=n+1,所以当 n=2007 时，A2007A2008=2008。五 、 与 猜 想 论 证 有 关例 10 （2009 湖州）已知图 10
10、中的每个小方格都是边长为 1 的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过 81 个格点中的多少个？（ ）A6 B7 C8 D9解析：将最左下角的个点作为坐标原点，建立坐标系。由于二次函数的图像与纵向的每条方格线只有一个交点，所以它的图像经过的格点数必不大于 9。要想使它经过的格点数最多，使用对称的方法。设解析式为 其中 0，1yax（ -） 2（ ） a当在每条竖线上都经过格点时，可设它经过（0,0） ， （8,0）两点。则，所以28X 0 1 2 3 4 5 6 7 8图 9图 10图 1028yax0 -7a -12a -15a -16a
11、-15a -12a -7a 0分析 a 的取值得 y 的值最多有 5 个整数（当 a=- 时） ，即函数的图像最多过 5 个格点；12当在左面的八条竖线上都经过格点时，可设它经过（0,0） ， （7,0）两点，则，所以27xX 0 1 2 3 4 5 6 72ya0 -6a -10a -12a -12a -10a -6a 0分析 a 的取值可得 y 的值最多有 8 个整数（当 a=- 时） ，即函数的图像最多过 8 个格点12所以画出的抛物线最多经过 8 个格点，选 C。六、与阅读新定义有关例 11（2010 杭州）定义 ,abc为函数 2yaxbc的特征数, 下面给出特征数为 2m，1 m
12、, 1 m 的函数的一些结论： 当 m = 3 时，函数图象的顶点坐标是( 31， 8)； 当 m 0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 2； 当 m 41时，y 随 x 的增大而减小； 当 m 0 时，函数图象经过同一个点.其中正确的结论有（ ）A. B. C. D. 解析：当 m=-3 时，函数为 ，其函数图象的顶点坐标是( 31， 8)，264yx故正确；，222140mbac（ 3+）（ 3+1） ，12x，则 ，当 m0 时， ，故正确；12132123x当 m0 时，函数的对称轴为 ，即对称轴在 的14mx1414x右侧，不正确；当 m0 时，函数 =2y（ -） +（ ）
13、 2= ，所以当 x=1 时，y=0；当 时， 。即函数21x1x1x3y经过点（1,0）或 ，故正确。32，七、与函数最值有关例 12 （ 2010 宿迁改编）如图 11，在矩形 ABCD 中， AB=4， BC=6，当直角三角板 MPN 的直角顶点 P 在 BC 边上移动时，直角边线段 MP= 且始终经过点 A，设直角三角板的25另一直角边 PN 与 CD 相交于点 QBP=x，CQ=y，那么 y 与 x之间的函数图象大致是（ ）解析：由已知易得ABPPCQ， 即 ，化简得 ，ABP=CQ46xy2134x显然对于此二次函数当 x=3 时，y 有最大值是 2.25。大部分学生选 C;但是当 x=3 时，MP=5 ，故 x 取不到 3，而 x 取值范围是 02（当 M 与 A 点重合，利用勾股定理25求的 BP=2） ，根据二次函数性质，结合图像知在对称轴左侧 y 随 x 的增大而增大，当 x=2时，y 有最大值为 2。故答案选 DMQDCB PNA图 11xyO2.2563CxyO 3 64B2.25xyO 63A D2xyO 2
