1、1第五章:三角形考点一、三角形的有关概念1、三角形的概念:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2、三角形的基本要素:组成三角形的三条线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。相邻两边夹的角,叫三角形的内角。3、三角形的符号表示:三角形用符号“”表示;顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”,读作“三角形ABC”。4、ABC有三条边:AB、BC、AC ;有三个角:A、B、C ,三边可以用小写字母表示,如a、b、c例题1、5、对应的课堂练习:如图,(1)你能从中找四个不同的三角形吗?如能,它们分别是 (2)以AE为边的三角形有 (3)C分别为ABC、ADC 、
2、AEC、GEC中 、 、 、 边的对角。(4)ADE 是 、 的内角。技巧总结在复杂的图形中数三角形时,要注意做到不重不漏,通常在数三角形的时候,可先固定一个顶点,在依次数下去,要按一定顺序去找,才能不重不漏。考点二、三角形的三边关系(重点、难点)(1)三角形式任意两边之和大于第三边(2)三角形任意两边之差小于第三边判断a、b、c三条线段能否组成一个三角形,应注意:a+bc,b+ca,a+cb.三个条件缺一不可.当a是a、b、c三条线段中最长的一条时,只要b+ca,就有任意两条线段的和大于第三边例题1、有两根长度分别为5cm和8cm的木棒,用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗AB CD E
3、F G2?为什么?长度为13cm的木棒呢?长度为7cm的木棒呢?例2、如果线段a、b、c可以构成三角形,那么它们的长度的比有可能是( )A.234 B.224C.225 D.123例题3、一个等腰三角形的一边是2cm,另一边是9cm ,则这个三角形的周长是 cm例题4.一个三角形的两边分别为 ,求其最短边x的取值范围139cm和技巧总结:通常方法:只将较短的两边的和与最长边作比较,若较短两边和大与最长边,就能说明可以组成三角形。对应的课堂练习:1下列每组数分别是三根小木棒的长度,用它们能摆成三角形吗?为什么?(单位:cm)(1) 1, 3, 3(2) 3, 4, 7(3) 5, 9, 13(4
4、) 11, 12, 22(5) 14, 15, 302已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm,则第三边长x的取值范围是 。若x是奇数,则X的值是 。这样的三角形有 个若x是偶数,则x的值是 。这样的三角形又有 个3一个等腰三角形的一边是5cm,另一边是7cm ,则这个三角形的周长是 cm4.下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )A.1cm 2cm 3cm B.2cm 3cm 6cm C.4cm 6cm 8cm D.5cm 6cm 12cm5.下列各组线段中,不能组成三 角形的是( )0aA , , B , ,1a23a3512aC三条线段的比为 D7:4 cmc0,8考点二、与三角形有
5、关的线段3、三角形的中线定义:连结三角形一个顶点和它对边中点的线段,叫做三角形这个边上的中线。简称三角形的中线。如图:AD是三角形ABC的中线。 BDDC BC21或:BC 2BD2DC技巧总结:(1)一个三角形有三条中线,并且都在三角形的内部,相交于一点(2)三角形的中线是一条线段,例1:如图,ABC 的周长为18cm,BE 、CF分别为AC、AB边上的中线,BE、CF相交于O点,AO的延长线交BC于D,且AF=3cm,AE=2cm,求BD的长。2、三角形的角平分线定义:在三角形中,一个内角的角平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和对边交点之间的线段叫做三角形中这个角的角平分线。简称三角形
6、的角平分线。例题1:如图:AD是三角形ABC的角平分线。 12 BAC1或:BAC2122技巧总结:(1)一个三角形有三条角平分线,并且都在三角形的内部,相交于一点(2)三角形的角平分线是一条线段,而角的平分线是一条射线例2:如图,在ABC中,A=60,B=70,ACB的平分线交AB于D,D EBC交AC于E,求BDC和EDC的度数。43、三角形的高(1)定义:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)(2)高的叙述法:如右图AD是ABC的高,也可以叙述如下: AD是ABC的BC边上的高。 ADBC,垂足为D。 D在BC上,且BDA=CD
7、A=90技巧总结:(1) 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高,三角形的三条高所在直线交于一点;(2) 锐角三角形高线交于三角形内部一点;直角三角形的高线交于直角顶点;钝角三角形高线交于三角形外部一点(3) 三角形的高是垂线段三角形的中线、高、内角的平分线的对应的课堂练习:一、填空题1如图1,ABC中,AD是A的平分线,若B=50,C=70,则BAD=_= _=_.2图1 图2 图32如图2,AD是锐角ABC的BC边上的高,则图中互余的角有_对,分别是_.3如图3,AD是ABC的BC边上的中线,则BD =_= _.214如图,ABC、ACB的平分线相交于O,EF过点O,且EFBC。5若
8、ABC=50,ACB=60,求BOC度数;考点三、三角形的内角和外角三角形内角和定理:三角形的内角和始终为180典型例题例题1、(1)如果三角形三个内角都相等,则这个三角形是_三角形。(2)如果三角形的一个 内角等于另外两个内角的和,则这个三角形是_三角形。(3)如果三角 形的两个内角都小于 40,则这个三角形是_三角形。例题2、三角形三内角之比为3:2:5,则三个内角的度数 为_。例题3、已知ACB=90,ABCD(1)图8中有_个直角三角形,分别是_ _来源:学科网(2)1和A是什么关系?2和A呢?对应的课堂练习:一、填空题1.已知在ABC中,A+B=107,则C的外角度数为_ _2.如图
9、,在ABC中,C=30,若沿图中虚线剪去C,则1+2等于 .3.如图,用“”连结A、1、2:_ _4.已知在ABC中,若A比B大20,外角ACD=96,则A=_ _, B=_ _5.如图,在四边形ABCD中,B=70,C=50,在顶点D的一个外角为100,则在顶点A的一个外角x=_ 第17题 第15题AB CE F1 2OEFDAB C图7DAC B12图8第19题66.如图,已知B=ACB=75,BDE=3E,试求ADE的值7.如图:(1)图甲是一个五角星,求A+B+C+D+E的度数;(2)图甲中的点A向下移到BE上(如图乙),五个角的和有无变化?说说你的理由;(3)图乙中的点C向上移到BD
10、上(如图丙),五个角的和有无变化?说说你的理由考点四、多变形的及其外角和多边形的内角和:(n-2)180;外角和:360;对角线条数:n(n-3)/2;课堂练习:1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定2.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180,那么与这个外角相邻的内角的度数为( )A.30 B.60 C.90 D.1203.已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为( )A.90 B.110 C.100 D.1204.已知等腰三角形的一个外角是120,则它是( )A.等
11、腰直角三角形; B.一般的等腰三角形; C.等边三角形; D.等腰钝角三角形5.如图1所示,若A=32,B=45,C=38,则DFE等于( )A.120 B.115 C.110 D.1057FEDCBA654321FECBA140801(1) (2) (3)6.如图2所示,在ABC中,E,F分别在AB,AC上,则下列各式不能成立的是( )A.BOC=2+6+A; B.2=5-A; C.5=1+4; D.1=ABC+4二、填空题:(每小题3分,共18分)1.三角形的三个外角中,最多有_个锐角. 2.如图3所示,1=_.3.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225,则与这个外角相邻的内角是_度
12、.4.已知等腰三角形的一个外角为150,则它的底角为_. 5.如图所示,ABC,ACB的内角平分线交于点O,ABC 的内角平分线与ACB的外角平分线交于点D,ABC与ACB的相邻外角平分线交于点E,且A=60, 则BOC=_,D=_,E=_.6.如图所示,A=50,B=40,C=30,则BDC=_.三、基础训练:(共20分)如图所示,在ABC中,A=70,BO,CO分别平分ABC和ACB,求BOC的度数.OCBA四、提高训练:(共20分)如图所示,在ABC中,D是BC边上一点,1=2,3=4,BAC=63, 求DAC的度数.4321D CBAEODCBADCBA8第七章:综合练习一、认真选一选
13、,你一定很棒!(每题3分,共30分)1,能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是( )A.角平分线 B.中线 C.高 D.A、B、C都可以2,下列不能够镶嵌的正多边形组合是( ) A.正三角形与正六边形 B.正方形与正六边形C.正三角形与正方形 D.正五边形与正十边形3,一个多边形有14条对角线,那么这个多边形有( )条边 A.6 B.7 C.8 D.94,(陕西)一个三角形三个内角的度数之比为 ,这个三角形一定是( )2:37A直角三角形 B等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形5,如图1四个图形中,线段BE是ABC的高的图是( ) 6,一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180,这个多
14、边形的边数是( )A.5 B.6 C.7 D.87,三角形的一个外角是锐角,则此三角形的形状是( )A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定8,现有两根木棒,它们的长分别是40cm和50cm,若要钉成一个三角形木架,则在下列四根木棒中应选取长为( )A.100cm的木棒 B.90cm 的木棒 C.40cm 的木棒 D.10cm的木棒9,一个多边形自一个顶点引对角线把它分割为六个三角形,那么它是( )A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形10,下面各角能成为某多边形的内角和的是( )A.430 B.4343 C.4320 D.4360A B C D图1(D)E CBA
15、(C)E CBA(B)E CBA(A)ECBA9二、仔细填一填,你一定很准!(每题3分,共30分)11,如图2,ABCD,AD和 BC交于点O ,若A42,C 51,则AOB _度. 12,一些大小、形状完全相同的三角形_密铺地板,正五边形_密铺地板.(填“能”或“不能”)13,如图3中的三角形的个数是个. 14,在ABC中,AB C234,则A_,C _.15,若一个两边相等的三角形的两边长分别是4cm和9cm,则其周长是_.16, 一个多边形的每一个内角都相等,且比它的一个外角大100,则边数n_.17,一个多边形的内角和是540,那么这个多边形的对角线条数是_.18,三角形的三边长分别为
16、5,1+2x,8,则x的取值范围是_.19,一个四边形的四个内角中最多有_个钝角,最多有_个锐角? 20,ABC中,设Aa,则B、C的平分线的交角是_,B、C 的外角平分线的交角是_,B的平分线与C的外角平分线相交成的锐角度数是_.三、细心做一做,你一定会成功!(共60分)21,如图4中的每个小正方形的边长都为1,请写出以A、B、C、D、E、F中的三点为顶点且面积为1的三角形.22,如图5,ABC中,BD是ABC的角平分线,DEBC,交AB 于E,A60,BDC95,求BDE各内角的度数.23,如图6,A、B、C在同一条直线上,B、D、E在同一条直线上,你能说明21的道理吗? DCBAO图2
17、FEDCBA图4DAECB图5D21FAECB图6图31024,已知一个有两边相等的三角形的一边长为5,另一边长为7,求这个三角形的周长?25,如图7,在ABC中,C90,外角EAB,ABF的平分线AD 、BD相交于点D,求D的度数. 26,如图8,四边形ABCD中,AC 90,BE、CF分别是 B 、D的平分线.(1)1与2有何关系,为什么?(2)BE与DF 有何关系?请说明理由.27,小明在进行多边形内角和计算时,求得的内角和为1125,当发现错误之后,重新检查,发现少加了一个内角,问这个内角是多少度,他求的是几边形内角和? 28,如图9:ACD是ABC的外角,BE平行ABC ,CE平分A
18、CD,且BE、CE交于点E.求证:(1)E A.12(2)若BE、CE 是ABC 两外角平线且交于点 E,321FE DCBA图8FEC BAD图7图94321EDCBA11则E与A 又有什么关系?29,已知ABC的周长是24cm,三边a、b、c满足c+a2b,ca4cm,求a、b、c的长.30,如图10,草原上有4口油井,位于四边形ABCD的4个顶点,现在要建立一个维修站H,试问H建在何处,才能使它到 4口油井的距离之和AH +HB+HC+HD为最小,说明理由.31,如图11,已知:ABC中,AD 是BC边上的中线.试说明不等式AD+BD (AB+AC )成立的理由.1232.(1)如图全章
19、-16,12与BC有什么关系?为什么?(2)如图7.3-26,把ABC沿DE折叠,得到图全章-18,填空:12_ BC(填“”“”“=”),当A40时,BC12_ A B D C 图11图10BDCA12人教版数学七年级下册第七章三角形精选考题(补充练习)一、填空题1如果三角形的一个角等于其它两个角的差,则这个三角形是_三角形2已知ABC中,ADBC于D,AE为A的平分线,且B=35,C=65,则DAE的度数为_ 3三角形中最大的内角不能小于_,两个外角的和必大于_ 4三角形ABC中,A=40 ,顶点C处的外角为110 ,那么B_ 5锐角三角形任意两锐角的和必大于_6三角形的三个外角都大于和它
20、相邻的内角,则这个三角形为 _ 三角形7在三角形ABC中,已知A80,B50,那么C的度数是 8已知A= B=3C ,则A= 129已知,如图7-1,ACD 130,AB,那么A的度数是 10如图7-2,根据图形填空:(1)AD是ABC中BAC 的角平分线,则 (2)AE是ABC中线,则 (3)AF是ABC的高,则 9012在四边形的四个外角中,最多有 个钝角,最多有 个锐角,最多有 个直角13四边形ABCD中,若A+B=C+D,若C=2 D,则C 14一个多边形的每个外角都为30,则这个多边形的边数为 ;一个多边形的每个内角都为135,则这个多边形的边数为 15某足球场需铺设草皮,现有正三角
21、形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形6种形状的草皮,请你帮助工人师傅选择两种草皮来铺设足球场,可供选择的两种组合是 16若一个n边形的边数增加一倍,则内角和将 图7-1 图7-2 图7-31317在一个顶点处,若此正n边形的内角和为 ,则此正多边形可以铺满地面18如图7-4,BCED于O,A=27,D=20,则B= ,ACB= 来源:学,科,网Z,X,X,K19如图7-5,由平面上五个点 A、B、C、D 、E连结而成,则A+B+C+D+E= 20以长度为5cm、7cm 、9cm、13cm的线段中的三条为边,能够组成三角形的情况有 种,分别 是 二、选择题21已知三角形ABC的三
22、个内角满足关系 BC=3A,则此三角形( )A 一定有一个内角为45 B一定有一个内角为60C一定是直角三角形 D一定是钝角三角形22如果一个三角形的三个外角之比为2:3:4,则与之对应的三个内角度数之比为( )A4:3:2 B3:2:4 C 5:3:1 D3:1:523三角形中至少有一个内角大于或等于( )A45 B55 C60 D 6524如图7-6,下列说法中错误的是( )A1不是三角形ABC的外角BB A +B25如图7-7,C在AB 的延长线上,CEAF 于E,交FB于D,若F=40,C=20,则FBA的度数为( )A50 B60 C70 D8026下列叙述中错误的一项是( )A三角
23、形的中线、角平分线、高都是线段B三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部C只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形D三角形的三条角平分线都在三角形内部27下列长度的三条线段中,能组成三角形的是( )A1,5,7 B3,4,7 C 7,4,1 D5,5,528如果三角形的两边长为3和5,那么第三边长可以是下面的( )A1 B9 C3 D1029三条线段a5,b3,c的值为整数,由a 、b、c为边可组成三角形( )图7-4 图7-5图7-6图7-714A1个 B3个 C5个 D无数个30四边形的四个内角可以都是( )A锐角 B直角 C钝角 D以上答案都不对31下列判断中正确的是( )A四边
24、形的外角和大于内角和B若多边形边数从3增加到n(n为大于3的自然数),它们外角和的度数不变C一个多边形的内角中,锐角的个数可以任意多D一个多边形的内角和为 188032一个五边形有三个角是直角,另两个角都等于n,则n的值为( )A108 B125 C135 D15033多边形每一个内角都等于150,则从此多边形一个顶点发出的对角线有( )A7条 B8条 C9条 D10条34在三角形ABC中,D为BC上的一点,且S ABD =SADC ,则AD为( )A高 B角平分线 C. 中线. D.不能确定三、解答题39如图,在三角形ABC中, BC,D 是BC上一点,且FD BC,DE AB,AFD 14
25、0,你能求出EDF的度数吗?40如图,有甲、乙、丙、丁四个小岛,甲、乙、丙在同一条直线上,而且乙、丙在甲的正东方,丁岛在丙岛的正北方,甲岛在丁岛的南偏西52方向,乙岛在丁岛的南偏东40方向那么,丁岛分别在甲岛和乙岛的什么方向?41如图,已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I ,IH BC于H ,试比较CIH和 BID的大小42如图,在三角形ABC中,AD BC,BEAC ,CF AB,BC =16,AD3,BE =4,CF=6,你能求出三角形ABC的周长吗?1543如图,在三角形ABC中,AD 是BC边上的中线,三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5,你能求出AC与AB的边长的差吗?44
26、已知等腰三角形的周长是16cm(1)若其中一边长为4cm,求另外两边的长;(2)若其中一边长为6cm,求另外两边长;(3)若三边长都是整数,求三角形各边的长45如图,四边形ABCD中,AC=90,BE平分ABC,DF平分ADC,试问BE 与DF平行吗?为什么?46某同学在计算多边形的内角和时,得到的答案是1125,老师指出他少加了一个内角的度数,你知道这个同学计算的是几边形的内角和吗?他少加的那个内角的度数是多少?47把边长为2cm的正方形剪成四个一样的直角三角形,如图所示请用这四个直角三角形拼成符合下列条件的图形:(1)不是正方形的菱形;(2)不是正方形的长方形;(3)梯形;(4)不是长方形、菱形的的平行四边形49如图,凸六边形ABCDEF的六个角都是120,边长AB2cm,BC=8cm,CD11cm,DE6cm ,你能求出这个六边形的周长吗?16