1、三次函数百科名片三次函数基本概念与性质 形如 y=ax3+bx2+cx+d(a0,b,c,d 为常数)的函数叫做三次函数(cubics function)。 三次函数的图像是一条曲线-回归式抛物线（不同于普通抛物线），具有比较特殊性。二 .零 点 求 法求 函 数 的 零 点 可 用 盛 金 公 式 ： 盛 金 公 式 或 传 统 解 法 盛 金 公 式 与 盛 金 判 别 法 及 盛 金 定 理 的 运 用 从 这 里 向 您 介 绍 三 次 方 程 应 用 广 泛 。 用 根 号 解 一 元 三 次 方 程 ， 虽 然 有 著 名 的 卡 尔 丹 公 式 ， 并 有相 应 的 判 别 法
2、， 但 使 用 卡 尔 丹 公 式 解 题 比 较 复 杂 ， 缺 乏 直 观 性 。 范 盛 金 推 导 出 一 套直 接 用 a、 b、 c、 d 表 达 的 较 简 明 形 式 的 一 元 三 次 方 程 的 一 般 式 新 求 根 公 式 ， 并 建 立 了新 判 别 法 。一元三次方程 aX3bX2cXd=0，（a，b，c，dR，且 a0）。 重根判别式： A=b23ac； B=bc9ad； C=c23bd， 总判别式：=B24AC。 当 A=B=0 时，盛金公式： X1=X2=X3=b/(3a)=c/b=3d/c。 当 =B24AC0 时，盛金公式： X1=(b(Y1)(1/3)(
3、Y2)(1/3)/(3a)； X2，3=(2b(Y1)(1/3)(Y2)(1/3)/(6a)i3(1/2)(Y1)(1/3)(Y2)(1/3)/(6a)， 其中 Y1，2=Ab3a(B(B24AC)(1/2)/2，i2=1。 当 =B24AC=0 时，盛金公式： X1=b/aK；X2=X3=K/2， 其中 K=B/A，(A0)。 当 =B24AC0，10 时，方程有一个实根和一对共轭虚根； ：当 =B24AC=0 时，方程有三个实根，其中有一个两重根； ：当 =B24AC=2（因为直线的对称中心从狭义上讲是没有对称中心 而在广义上讲是无数个对称中心)，其 n 次项系数是 a0，n-1 次项系数
4、是 a1，则有 (1)：如果 y=f(x)的图像是中心对称图形，其对称中心是(-a1/n/a0,f(-a1/n/a0); (2)：如果 y=f(x)的图像是轴对称图形，其对称轴是 x=-a1/n/a0.五、其他性质三次函数的三大性质浙江奉化奉港中学 罗永高 315500随着导数内容进入新教材，函数的研究范围也随之扩大，用导数的方法研究三次函数的性质，不仅方便实用，而且三次函数的性质变得十分明朗，本文给出三次函数的三大主要性质.1 单调性三次函数 ,)0()(23adcxbaxf(1) 若 ，则 在 上为增函数；02cb)(f,(2) 若 ，则 在 和 上为增函数， 在 上为减3x)1),(2x
5、)(xf),21函数，其中 .acbacbx3,3221 证明 , = ，xf)(2 )(4142(1) 当 即 时， 在 R 上恒成立， 即 在 为增003cb0)(xf (xf),函数.(2) 当 即 时，解方程 ，得2a)(facbxcbx3,3221 或 在 和 上为增函数.0)(f1)(f),1x),(2在 上为减函数.x2x21由上易知以下结论: 三次函数 ,)0()(3adcxbaxf(1) 若 ，则 在 R 上无极值；032acb)(f(2) 若 ，则 在 R 上有两个极值；且 在 处取得极大值，在x)(xf1处取得极小值.2x2 根的性质三次函数 )0()(23adcxbaf
6、(1) 若 ，则 恰有一个实根；02cb)(f(2) 若 ,且 ，则 恰有一个实根；032acb0)(21xf0)(xf(3) 若 ,且 ，则 有两个不相等的实根；(4) 若 ,且 ，则 有三个不相等的实根 .2c)(21xf)(xf证明 (1)(2) 含有一个实根的充要条件是曲线 与 X 轴只相交一次，即0)(xf )(xfy在 R 上为单调函数或两极值同号，所以 或 ，且)(xf 032acb032acb.21(3) 有两个相异实根的充要条件是曲线 与 X 轴有两个公共点且其中之一0)(xf )(xfy为切点，所以 ，且 .032acb0()21fx(4) 有三个不相等的实根的充要条件是曲
7、线 与 X 轴有三个公共点，即)(xf )(xfy有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以 且032acb. 由上易得以下结论：0)(21xf三次函数 在 上恒正的充要条件是)0(23adcxba),m(mx 2),或 且 (mx2) .)(mf )(mf2f3 对称性三次函数 的图象关于点 对称，并)0()(23adcxbaf )3(,abf且 在 处取得最小值，其图象关于直线 对称.xfx证 1 )3()(3)()( 2323 abfabcxadcbaf 易知 是奇函数，图象关于原点对称，则 关于点xg)()(23 )(xf对称.,abf， 当 时， 取得最小值，显然cxxf23)(
8、0abx3)(xf图象关于 对称.yab3证 2 设 的图象关于点 对称，任取 图象上点 ，则 A 关)(xf ),(nm)(xfy),(yx于 的对称点 也在 图象上),(nm)2,(ynxA)(xf,dmcbay ()23 )248)41(6( 23223 mdcbaxaxx )3()248(1223 afndmbadccb由上又可得以下结论：是可导函数，若 的图象关于点 对称，则 图象关于)(xfy)(xfy),(m)(xfy直线 对称.证明 的图象关于 对称，则)(f),(nm,2)()nxfxffx(li0 xfff xx )()(lim)2)2()2( 0)lim0ffx图象关于直
9、线 对称.(fyx若 图象关于直线 对称，则 图象关于点 对称.)m)(xfy)0,(m证明 图象关于直线 对称，则 ，(xfyx2xf xmffxmf )2()2(li)2( ) 0，)()li0ffx， 图象关于点 对称.()2(xff )(xfy)0,(掌握上面的研究方法和三次函数的三大性质，对于解决有关三次函数的问题是十分有益的.三次函数性态的五个要点邳州市岔河高级中学 解 俊三次函数的一般形式为 y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (不妨 a0,a、b、c、dR) ，近几年的全国各省市高考试卷以导数为工具，有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值、对参数式的取值
10、范围的探究等函数性态，凸显“在知识网络交汇点上命题”的理念，本文结合相关试题阐述三次函数性态的要点。要点 1.三次函数 y=f(x)在(-,+)上的极值点的个数简析：若函数 f(x)在点 x0的附近恒有 f(x0)f(x) (或 f(x0)f(x)，则称函数 f(x)在点 x0处取得极大值（或极小值） ，称点 x0为极大值点（或极小值点） 。据此有结论：三次函数 y=f(x)在(-,+)上的极值点要么有两个，要么不存在极值点。论证如下：令 f（x）=3ax 2+2bx+c，y=f（x）的极值点就是方程 f /（x）=0 的实根。当 =4b 2-12ac0 时，方程 f/（x）=0 有两个不等的
11、实根，记为x1、x 2，则 x1、x 2是 f（x）在(-,+)上的两个极值点；当 =4b 2-12ac =0 时，该方程有两个等根：x 1=x2=x0，由下表可知y=f（x）在(-,+)上单调增，此时 y=f（x）没有极值点；x (-,x 0) x0 （x 0，+)f/（x）+ 0 +f(x) 当 =4b 2-12ac0 时， f/（x）=0 无实根，f(x)没有极值点，结论得证。试题链接：错解剖析例 1.（2004 年湖北高考文考卷）已知 b-1，c0，函数 f（x）=x+b 的图象与函数 g（x）=x 2+bx+c 的图象相切， （）求 b 与 c 的关系式（用 c 表示b） ；（）设函
12、数 F（x）=f（x）.g（x）在(-,+)内有极值点，求 c 的取值范围。解：（）依题意，函数 f（x）=x+b 的斜率为 1，g（x）=1，得 2x+b=1，故 x=（1-b）/2 为切点的横坐标，将 x=（1-b）/2 分别代入 f（x） 、g（x）的函数解析式，得 f（1-b）/2=g（1-b）/2，化简为（b+1） 2=4cb-1，c0，b=-1+2c 1/2 （）F（x）=f（x）.g（x）=x 3+2bx2+（b 2+c）x+bc，F（x）=3x 2+4bx+b2+c=0，令 3x2+4bx+b2+c=0，=16b 2-12（b 2+c）=4（b 2-3c） ，当 =0 时，则
13、F（x）=0 有两个等根 x0；当 0 时，F（x）=0 有两个不等的实根 x1、x 2（ 设 x1x 2） ，综上所述，当且仅当 0 时，函数 F（x）在(-,+)上有极值点。由 =4（b 2-3c）0 得 b- 3c 或 b3c。b=-1+2c，-1+2c3c 或-1+2c3c，解之得 0c7-43 1/2或c7+43 1/2，故所求 c 的范围是（0，7-43 1/2 7+43 1/2，+）点评：第一小问解的好，但第二小问的解答却出了一点错误，错因剖析如下：把函数有极值的问题转化为一元二次方程 F/（x）= 3x 2+4bx+b2+c=0 有实根，即 0。忽略了极值存在必须检验 F（x）
14、的符号这一重要细节，若 =0，则 F（x）=0 有一对等根 x0，F /（x）的取值符号如下表：x (-,x 0) x0 （x 0，+)F/（x） + 0 +F(x) 可知 x=x0不是函数 F(x)的极值点。（）正确解法如下：F（x）=f（x）.g（x）=x 3+2bx2+（b 2+c）x+bc， 令 F（x）=3x 2+4bx+b2+c=0当 =16b 2-12(b2+c)0 时， F（x）=0 有两个不等的实根 x1、x 2（ 令x1x 2） ，F（x）的取值变化如下表：x (-,x 1) x1 （x 1，x 2） x1 （x 1，+)F/（x） + 0 - 0 +F（x） x=x 1是
15、函数 F(x)的极大值点，x=x 2是它的极小值点。 由 =4（b 2-3c）0 得 b- 3c 或 b3c，b=-1+2c 代入得 0c 或 c 。 347347.当 =0 时， F /（x）=0 有一对等根 x0，F /（x）的取值规律如下表：x (-,x 0) x0 （x 0，+)F/（x） + 0 +F(x) 函数 F(x)此时不存在极值点。综上所述可知，当且仅当 0 时，F（x）在(-,+)上有极值点，c 的取值范围是（0， ）（ ，+）347347点评与反思：洞察极值存在的细节，是成功解好本题的关键。 要点 2.三次函数 y=f（x）的图象与 x 轴交点个数交点个数的本质是多项式
16、ax3+bx2+cx+d 在实数集上怎样进行因式分解，记ax3+bx2+cx+d=a（x-x 1） （x-x 2） （x-x 3） ，（）若 x1x 2x 3，则交点为 3 个；（）若 x1、x 2、x 3中有两个相等，不妨 x1=x2x 3，则交点为 2 个。（）若 x1=x2=x3，则交点为 1 个；（）若 f（x）=a（x-x 0） （x 2+dx+e） ，且 有 d2-4e0，y=f（x）的图象与x 轴只有一个交点。试题链接例 2.（2000 年春季高考题）已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示，则（ ）A .b（-，0） B.b（0，1）C .b（1，2） D.
17、 b（2，+）略解：设 f（x）=a（x-1） （x-2）=a（x 3-3x2+2x）b=-3a，c=2a，d=0 ，又 a0，b0,选（A ）再看一题：如图，函数 yf（x）的图象如下，则函数 f（x）的解析式可以为（ ）f（x）（xa） 2（bx）f（x）（xa） 2（xb）f（x）（xa） 2（xb）f（x）（xb） 2（xa）不难知，选（A）又如运用“序轴法”解一元三次不等式 x（x-1） （x-2）0，易知 x 的范围是：（0，1）（2，+） ，我们都要先得出三次函数的图象与 x 轴的交点。要点 3.单调性问题试题链接例 3.函数 f（x）=x 3/3+ax2/2+ax-2 （a）在
18、(-,+)上为单调增函数，求实数 a 的取值范围。错解：令 f（x）=x 2+ax+a0 在(-,+)上恒成立 =a2-4a0 得 0a4x错因剖析：当 f（x）0 时，f（x）为增函数，但反之未必为真。举一反例：函数 f（x）=x 3是实数集 R 上的增函数，但 f（0）=3x2 x=0=0。回过来看例 3，=a 2-4a0，得 a0，4为它的解。说明 1：设 f（x）在区间 D 上可导，则 f（x）在区间 D 上递增（或递减）的充要条件是：f（x）0 （或 f（x）0） 注释说明 2：在本例题中，当 a=0 时，f（x）=x 3显然在 R 上单调增；当 a=4 时，f（x）x /3x x-
19、（x x x-）/3+2/3（x） /3+2/3不难知函数 yx /3 的图象按向量 a=（， ）平移就可得到 y=f（x）的图32象。可见 a=0、a=4 也是解。例 4.已知函数 f（x）x /3（m）x （m m）x在实数集上是增函数，求实数 m 的取值范围。解：yf（x）在上是单调增函数f（x）x （m）xm m在上恒成立，= =m m得 m小结：三次函数 y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (不妨 a0,a、b、c、dR)为 R 上的增函数，图象可分为两种形式：其一是由 yax 的图象平移而得；其二是由函数 yax（x 2sxt） （a，s,t且 t，s 23t）的图象平移而得。
20、附注：yax（x 2sxt）ax 3asx atx yax asxat0 在 R 上恒成立，0，得 s 2t。而 x2sxt0 在 R 上恒成立，得 s2t。s2t 比 s2t更进一步。这也就是为什么附属条件不是 s2t而是 s2t 的原因。要点.三次函数 f（x）图象的切线条数试题链接例 5.已知曲线 y x 3/34/3，求曲线在点（，）处的切线方程解：f（x）x 2，f（），曲线在点（，）处的切线斜率为 kf（）代入直线方程的斜截式，得切线方程为：y（x） ， 即 yx变式：已知曲线 yx 3/34/3，则曲线过点（，）的切线方程 。错解：依上题，直接填上答案xy错因剖析：如下图所示，在
21、曲线上的点 A 处的切线与该曲线还有一个交点。这与圆的切线是有不同的。 点（，）在曲线 yx 3/34/3 上，它可以是切点也可以不是。正确解法：设过点（，）的切线对应的切点为（x 0，x 03/34/3） ，斜率为 k=x02，切线方程为 y -（x 03/34/3 ）=x 02（x-x 0）即 y=x02x- 2x03/3+4/3 点（2，4）的坐标代入，得 4=2x02- 2x03/3+ 4/3， 2 x03-6 x02+8=0 ， x 03-3x02+4=0， 又x 03+1-（3x 02-3）=0（x 0+1） （x 02-x0+1）-3（x 0-1） （x 0+1）=0（x 0+1
22、） （x 02-4x0+4）=0 x 0=-1 或 x0=2切线的方程为 4x-4-y=0 或 x-y+2=0点评：一个是“在点（2，4） ”、一个是“过点（2，4） ”，一字之差所得结果截然不同。要点 5.融合三次函数和不等式，创设情境求参数的范围. 试题链接：例 6.已知函数 f（x）= x3/3+ ax2/2+ax-2（a） ，设 A（x 1，f（x 1） ） ，B（x 2，f（x 2） ）是函数 f（x）的两个极值点，若直线 AB 的斜率不小于- 5/6 ，求实数 a 的取值范围。解：k AB=f（x 1）-f（x 2）/（x 1-x2）=（x 13-x23）/3+a（x 12-x22
23、）/2+a（x 1-x2）/（x 1-x2）=（x 12+x1x2+x22）/3+a（x 1+x2）/2+a-5/6 在实数集上恒成立。x12/3+（x 2/3+a/2）x 1+x22/3+ax2/2+a+5/60 在实数集上恒成立，2x12+（2x 2+3a）x 1+2x22+3ax2+6a+50=4x 22+12ax2+9a2-8（2x 22+3ax2+6a+5）=-12x22-12ax2+9a2-48a-400 在实数集上恒成立，即 12x22+12ax2-9a2+48a+400 在实数集上恒成立，=144a 2-48（-9a 2+48a+40）0，得实数 a 的取值范围是 2-661/2/3a2+66 1/2/3。类似的试题再来一道：例 7.已知函数 f（x）=-x 3+ax2+b， （a，bR）图象上任意两点的连线斜率小于1，求证：a 23。证明：对任意 x1，x 2R，k=f（x 1）-f（x 2）/（x 1-x2）=-x12+x1x2+x22-a（x 1+x2） 1，即 x12+（x 2-a）x 1+x22-ax2+10，对 x1R 恒成立，=（x 2-a） 2-4（x 22-ax2+1）0 对 x2R 恒成立，即 3x22-2ax2+（4-a 2）0 对 x2R 恒成立，=4a 2-12（4-a 2）0， a23。得证。
