1、高考数学高分突破导航,智能数学创始人齐 智 华 全国著名数学特级教师 中国数学教育家,享受国务院政府特殊津贴 “高考命题”与“高考问题解决”专家 中国数学奥林匹克高级教练 全国数学竞赛命题专家 北京大学MPA，MBA研究生入学考试辅导教授,智 能 数 学 挑 战 高 考,警 言,按照老方法学习考不好！,按照新方法学习一定能考上本科大学！,但要考上名牌大学还必须学会三大高级数学方法！,问1 什么是“智能数学”(新方法)?什么是“机械数学”(旧方法)?,“智能数学” 学习中心: “问题解决数学思想方法” 学习步骤: “解题探究总结” 学习方法: 问中学例中学做中学用中学,“机械数学” 学习中心:
2、“基础知识解答常规习题” 学习步骤: “机械记忆机械模仿机械练习”,解 智能数学与学习的革命:,问2 高考究竟考什么？,高考命题方向：“一个中心和四个基 本点”,一个中心是：数学思想方法,四个基本点是：1. 在基础中考能力;2. 在综合中考能力;3. 在应用中考能力;4. 在新型题中考能力.,紧紧握住“数学思想方法”这个中心, 盯住下述目标:,问3 怎样用智能数学突破高分?,1.优化基础：建构“基础知识系统”(基础秘诀) 2.综合训练：建构“数学思想方法系统”(深层方法和高端技术) 3.独立做题与自我总结打败题海战术！,三大高级数学方法: 猜证结合 数学方法高等化注重程序、淡化技巧,充满运动、
3、思维辨证 3. 几何问题代数化,问4 高考“考能力”的新走向是什么？,问5 你知道几多深层数学方法和解题高端技术？,请看智能数学高速解题表演.,解题的基础秘诀基础知识傻瓜化. 解题的深层规律数学思想方法. 高速解题的高端技术绝招.,在下面的讲解中,请注意领悟:,(2002.北京)在平面直角坐标系中, 已知两点 A(cos80o, sin80o), B (cos20o, sin20o), 则|AB|的值是 ( ),(A) (B) (C) (D) 1,解法2 圆的参数方程,D,解法1 三角函数的定义,2.,函数 的反函数是( )(A) (B) (C) (D),C,解,单调法: 函数与反函数的单调
4、性相同.,3. (2005.全国高考)如果a1 , a2 , , a8为各项都大于零的等差数列, 公差 d0, 则 ( ) (A) a1a8 a4a5 (B) a1a8 a4 +a5 (D) a1a8 = a4a5,解 特殊化猜想,检验数列: 1, 2, 3, , 8, 答,B,4.(2005.辽宁高考)若钝角三角形三内角的度数成等差数列, 且最大边长与最小边长的比值为m, 则m的范围是 ( )(A) (1, 2) (B) (2, +) (C) 3, +) (D) (3, +),解 考察极端:,左极端: 直角三角形 m=2, 故答B,(右极端: m),B,5.给定四条曲线： 其中与直线 仅有一
5、个交点的曲线是（ ） (A) (B) (C) (D),D,解 举反例排除,6. 已知f (x) 是定义域为R的偶函数, 且在上是减函数, 则函数f (1-x2) 的单调减区间是 ( ) (A) (B) (C) -1, 0 , (D) , 0, 1 ,C,解 因果猜想: 用极值(最值) 猜 单调区间.,因为x=1是最大点,所以答(C).,7. 一个四面体的所有棱长都为 , 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为 （ ）(A) 3 (B) 4 (C) 3 (D) 6 (2003高考.全国),A,解 辅助体法:S球=,8.,如图,在体积为1的三棱锥ABCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G，
6、使 AE：EB=AF：FC =AG：GD=2：1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥OBCD 的体积等于 ( ),(A) (B) (C) (D),解,C,特殊化:检验正三棱锥.,移出平几图:,9.关于直角 AOB 在定平面内的射影有如下判断：可能是0o的角； 可能是锐角； 可能是直角； 可能是钝角； 可能是180o的角 其中正确判断的序号是_,猜想: 特殊 一般,10.设 x , y 都是正实数, 且 2x+y=1, 则T = 2 4x2y2的最大值为_.,解法1 换元法:令,10. 设 x , y 都是正实数, 且 2x+y=1, 则T= 2 4x2y2的最大值为_.,解法2
7、 特殊化猜想考察极端：,(2x)+y=1, T= (2x)2y2 ,那么, 怎样求 x , y 呢 ?,都是关于 2x 和 y 的对称式, 故猜想 2x = y 时, T 取得最大值.,11. (2005.天津高考)设f (x)是定义在R上的奇函数, 且y = f (x)的图象关于直线 对称, 则 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5) = _.,0,解法2 图演:,解法1 类比:,f (x) sinx1 ,解法1 归纳猜想:,解,解法3 逐商法：由得,解法2 辅助数列：由得,13. 同一平面内有作用于同一点的三个力它们两两夹角均为120o, 它们的大小分别为 f1
8、 = 1, f2 = 2 , f3 = 3 .求 的合力 的大小, 及合力 与 的夹角.,解法1 取坐标系如图,则,90o.,解法2 几何法：甩掉“平衡力”，如图得,的合力的大小为 ;,合力 与 的夹 角为90o.,9粒种子分种在3个坑内, 每坑3粒,每粒种子发芽概率为0.5 , 若一个坑内至少有一粒种子发芽, 则这个坑不需要补种.若一个坑内的种子都没发芽, 则这个坑需要补种. 假定每个坑至多补种一次, 每补种1个坑需10元, 用表示补种费用,写出 的分布列并求的数学期望.(精确到0.01),每坑需要补种的概率为:,而=10的取值为10k, k=0 ,1 ,2 ,3.,补种费用的分布列是,的数
9、学期望为E=10E=103p=3.75.,设表示补种的坑数,评注 二项分布,14.,解,如图, 在正三棱柱ABCA1B1C1中, AB= AA1, E是 棱BB1上的点,且平面A1EC 平面AA1C1C . (1) 试确定点E的位置； (2) 求平面A1EC与平面A1B1C1所成锐二面角的大小.,解,取空间直角坐标系Oxyz 如图,15.,所以E为BB1的中点.,不妨设 OA=1, BE=a. 连AC1 交A1C于Q .,如图, 在正三棱柱ABCA1B1C1中, AB= AA1, E是棱BB1上的点,且平面A1EC 平面AA1C1C . (2) 求平面A1EC与平面A1B1C1所构成的锐二面角
10、的大小.,(2) 平面A1EC的法向量为,解,取平面A1B1C1的法向量为,所以平面A1EC与平面A1B1C1所构成的 锐二面角的大小为45o .,再提高:第(2)问能否直接得出结果?!,15.,解法1 构造不等式:,例20 试比较 与10的大小.,解法2 一般化, 试比较,先猜后证:,例20 试比较 与10的大小.,证法1 数学归纳法,证法2 辅助数列(单调法),证法3 一一对应(同构法),类比题: 1.设nN* , 求证:(1985.上海高考),类比题: 2.设nN*, 比较与 的大小.(1998.全国高考),2. (2005.北京)对任意的锐角,下列不等关系中正确的是 ( )(A) si
11、n(+) sin+ sin(B) sin(+) cos+ cos(C) cos(+) sin+ sin(D) cos(+) cos+ cos,解法1,特殊化猜想:,解法2,精明演绎单调法 :,cosx在(0,)上递减, 选D.,D,16. ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H, 则实数m=_.,解法1 特殊化猜想检验Rt ,1,解法2 坐标法:,取坐标系如图, A(a, h), B(-a, h), C(c, d).,由OA=OC得 a2+h2= c2+d2,ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H, AB的中点为D, 求证: HC=2OD.,证法: 辅助元,圆的直径AE，
12、平行四边形CHBE.,解法3 几何法, 先证明下面定理:,原题得解:m=1.,7 或 8,用图解法直观地看到结论:总程最小点居中. 再归纳:当n为奇数时,总程最小点在第 个点处;当n为偶数时,总程最小点在第 个点处.本题是n=14,故答 k=7或8 .,7. (2003.全国高考)已知长方形的四个顶点A(0,0), B(2,0), C(2,1)和D(0,1). 一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为 的方向射到BC上的点P1后, 依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角). 设P4的坐标为(x4,0), 若1x42, 则tan的取值范围是( )(A) (B) (C) (
13、D),C,解法1 考察极端: 顺次射到 各边中点, P4重合于P0 , 此 极端值tan = , 故答(C).,解法2 图解法(对称变换),函数 在区间 上是增函数, 且f(a)=M，f(b)=M, 则函数 在区间 上( )(A) 是增函数 (B) 是减函数 (C) 可以取得最大值M (D) 可以取得最小值M,C,f(x)=sinx , x 则,g(x)=cosx在区间 上可以取得最大值 , 故答:,6.,解法1 退法:,函数 在区间 上是增函数, 且f(a)=M，f(b)=M, 则函数 在区间 上 ( )(A) 是增函数 (B) 是减函数 (C) 可以取得最大值M (D) 可以取得最小值M,解法2 导数法:,6.,C,10. (2005.全国高考)过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,其中异面直线有 ( )A. 18对 B. 24对 C. 30对 D. 36对,解 一多对应,D,
