数学竞赛讲义之行程问题().doc

1、奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编-1-数学竞赛讲义之行程问题()5、多车相遇例 72、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔 5 分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走 15 分钟，有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车，到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？例题求解：我们知道，一辆车走完全程需要 15 分钟，所以一辆车刚发出时，途中有 15512 辆车所以当某人骑车出发，而甲站恰发车时，在途中有两辆车子，可以相遇，所以共相遇 10 辆车，于是又发车 8 辆相

2、遇，恰到达时，又发车，于是发车 9 辆时，甲到达，即有 8 个时间间隔，时间为 5840 分钟。所以某人骑完全程时间为 40 分钟。例 73、某人沿电车路线行走，每 12 分钟有一辆电车从后面追上，每 4 分钟有一辆电车迎面开来。假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔。例题求解：奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编-2-我们知道两辆电车的间隔相等，两次相遇期间，共行走了(行人+电车)4 ，所以两辆电车的间隔为(行人+电车)4，于是两辆车间隔时间为 ；4)(电 车行 人 电 车两次追击期间，共行走电车12 ，行人走了 行人12，所以电车行走了(电车行人)12，两辆电车的间隔为(电车行

3、人)12 ，于是两辆车的间隔时间为 。12)(电 车电 车 行 人于是，有 ，所以(行人电车)3( 电车行人)4)电 车行 人 电 车 12(电 车电 车 行 人有电车2 行人，带入，有间隔 6 分钟。4电 车行 人 电 车 12(电 车电 车 行 人例题评析：此题关键是注意还原求出两车情况。例 74、从电车总站每隔一定时间开出一辆电车，甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行 82 米，每隔 10 分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行 60 米，每隔10 分 15 秒遇上迎面开来的一辆电车，那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？例题求解：我们画出示意图；我们假设甲、乙、电车共同

4、相遇在 A 点，甲、电车下一次相遇在 C 点，乙、电车相遇在 B 点。则 B 距 A 点距离为 BA60 615 米；410C 距 A 点距离为 CA8210 820 米。所以 BC 两点相距的路程需电车 10 分钟 15 秒10 分钟15 秒 分，41路程为 820615205。于是，电车的速度和为 205 820 米/分。41于是，当 10 分钟前与甲、乙相遇的电车离甲(82082)109020 米远两电车间隔为 9020。所以发车间隔为 9020820=11 分。柳卡问题：这是一个著名的数学问题，由法国数学家柳卡在 19 世纪一次数学大会上提出：每天中午由一艘轮船从法国巴黎的勒阿佛尔开往

5、美国纽约，且每天同一时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿佛尔。轮船在途中都需要七天七夜。假定所有轮船都以同一速度、同一航线行驶。问某艘从勒阿佛尔开出的轮船，在到达纽约时，能遇到几艘从纽约开来的轮船？后来，一位数学家画出了“路程图”(运程图) ，才得以解决。奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编-3-中途 13 艘，首尾 2 艘，共 15 艘。Excel 的解法：这个题目用不着计算，只需在 Excel 上作图，将相关信息表示出来，结果自然就明白了。作图过程可以充分利用 Excel 的“ 粘贴”、 “复制”功能，数列“0 、1、2、3、4、5、6 、7”和数列“7、 6、5 、4 、 3、2、1 、0”

6、的设置只是举手之劳。从图上可以看出，在某轮船开出的前 7 天，纽约港已有 7 艘轮船驶入航程，加上当天的一艘，共计 8 艘。之后，纽约港每天还有 1 艘轮船驶入航程，共计 7 艘。这样，从勒阿佛尔港驶出的轮船，在整个运行过程中，将要和本公司的15 艘轮船相遇。从图上看，当中一列（蓝色）共有 16 行相交，除去哈佛港当天自己开出的一列（红色） ，相交数也是 15。例 75、一条双向铁路上有 11 个车站。相邻两站都相距 7 千米，从早晨 7 时开始，有 18 列货车由第 11 站顺次发出，每隔 5 分钟发出一列，都驶向第 1 站，速度都是每小时 60 千米。早晨 8 时，由第 1 站发出一列客车

7、，向第 11 站驶去时速是 100 千米，在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一站。问：在哪两个相邻站之间，客车能与 3 列货车先后相遇？例题求解：奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编-4-图象法：我们画出示意图，利用示意图来求解，但是要求图象一定的精确度，所以，我们一般使用图象法与分析法结合使用，对有可能的情况分析。通过上图(我们最好画出清晰图) ，我们知客车在第 5、6 两站遇见三辆货车。分析法：客车从一个车站走到下个车站所需时间为：710060 分钟。514所以客车到第一站的时间为;第一站：8 时 0 分；第二站：8 时 分；第三站;8 时 分；第四站：8 时 分；514525312

8、第五站：8 时 分；第六站：8 时 21 分；第七站:8 时 分；第八站：8 时 分；5416 19第九站：8 时 分；第十站：8 时 分；第十一站：8 时 42 分。35437而客车出发时，第一辆货车距它：10760110 千米。所以，客车与第一辆相遇为 8 时10(10060)60 分。423相邻两货车间距为：605605 千米。所以，客车经过两辆货车的时间间隔为：5(1006)60 分。871则客车与 18 辆货车相遇时间顺次为：8 时 分；8 时 分；8 时 分；8 时 分；8 时 分；8 时 分；43543921138 时 15 分；8 时 分；8 时 分；8 时 分；8 时 分；8

9、 时 分；716615204824奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编-5-8 时 分；8 时 分；8 时 30 分；8 时 分；8 时 分；8 时 分。261736353所以，客车在 8 时 分到达第五站，8 时 21 分到达第六站。在此期间，它于 8 时 分；76 7168 时 分；8 时 分三次与货车相遇。61520所以，是在第 5、6 两站间，客车三次与货车相遇。例 76、长途汽车有甲、乙两个终点站，汽车要用 4 时才能驶完全程。从上午 6 点开始，每隔 1 时从甲、乙两站同时发出一辆公共汽车，最后一班车在下午 4 点发出。问：从甲站发车的汽车司机最多能看到几辆迎面驶来的公共汽车？最

10、少能看到几辆？例题求解：如下图所示，实线段表示从甲站开往乙站的车，虚线段表示从乙站开往甲站的车，交点表示相遇。最多 9 辆，最少 5 辆。例 77、由 A、B、C、D、E 五名小学生进行马拉松比赛。不管前半程怎样，当他们从折返点返回跑后前半程时，每人的速度都是固定不变的。他们三位朋友 X、Y、Z 分别在不同时间给五个人拍了一张纪念照。最先拍的是 X，然后是 Y，最后按快门的是 Z。照片洗出后他们分别这样说：X：“我是在他们返回跑了 10 分钟后照的，当时五人的顺序是 A、B 、C、D、E，而且他们的间隔相等，都是 20m。 ”Z：“我是在他们返回跑了 30 分钟后照的，当时五人的顺序是 B、E

11、、C、A 、D，而且他们的间隔相等，都是 30m。 “Y：“我是什么时候照的，自己也每记住，不过我照的时候他们的间隔也相等。 “问：“Y 是在他们返回跑了几分钟时照的？例题求解：我们先用下图表示一下 5 个人顺序的变化。从左图中可以看出，A、C 、E 经常处于间隔相同的状态，当 A 正好在 B 和 C 正中间时，E 也正好在 C 和 D 的正中间，因此 5 人中的间隔是相同的。为了分析这个时间，我们在两侧 B 和 C 的正中间画上一条线来表示，如右图当此线和 A 线相交时， A 就在 B 和 C 的正中间，奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编-6-所以我们可以求出这个时刻。这时，图中的两个阴

12、影部分的三角形是相似形。因此。两个三角形的对应边的比(相似比)是 30m： 60m 1：3。所以，m ：n=1：2。5 人的间隔相同 。31602也就是说，Y 在他们返回来回跑了 16 分 40 秒后照的。巩固练习习题 13、某人沿着电车道旁地便道以 4.5 千米/小时的速度步行，每 7.2 分有一辆电车迎面开过，每 12 分有一辆电车从后面追过。如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行，那么电车的速度是多少？电车之间地时间间隔是多少？6、优化设计例 78、甲、乙两班学生到离校 24 千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生。为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐

13、车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生，如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的 7 倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场？例题求解：我们假设甲坐车时间为“1” 。甲班行驶了 17 速度时乙班行驶了 16 速度时，然后，甲下车，汽车往回行驶，于是汽车与乙相遇，他们的路程差为 716 速度时，速度和为 8 速度，所需时间为 68 时，43于是乙步行 1 1.75 时，换车；甲坐车 1 时，步行。因为甲、乙速度一样，同时到达，所以甲、乙坐车、步行时间一样，于是甲、乙坐车 1，甲

14、、乙步行时间 1.75。所以，坐车与步行路程比为 17：1.7514：1；于是，步行路程为 24 4.8 千米。45所以，汽车停在距机场 4.8 千米处。奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编-7-例 79、准习题、甲班与乙班学生同时从学校出发去某公园，甲班步行的速度是每小时 4 千米，乙班步行的速度是每小时 3 千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时 48 千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生，为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少？习题分析：为了使两班最短到达，由上题知，汽车从一班换车地点至另一班换车地点时间尽量减小，所以我们先让速度大的甲班先走，

15、这样乙班换车地点与甲班行至地点距离小，就节省了时间。习题求解：假设甲班先行走时间“1” ，则甲班行走 4，乙班因为坐车行程 48，现在行程差为 48444，乙班下车，甲班坐车，但车、甲行程差为 44，车、甲速度和为 44852，于是需 时，车、甲相遇，52此时，甲行走 4 ，乙行走 3 ，5114所以，甲、乙行程差为 444 3 = ,55140乙、车速度差为 48345，车追上乙时间为 ，于是乙行走了 3410)450( 34514甲行走了 44 ，所以他们的步行距离比为1(44 ):( 3 )=15:11.53051甲、乙两班步行距离比为 15：11。方法二、例题求解：甲班步行走了 AC，

16、汽车载着乙班从 A 班出发；当汽车到达 D 时，放下乙班步行，返回到 C 与甲班相遇。最后，汽车载着甲班与步行的乙班同时到达 B。在汽车与甲班在 C 相遇之间，甲班走了 AC，汽车走了 ADDC。由于在这一过程中，车和甲班始终在走，所以路程比等于速度比，即(AC2CD)：AC 48：412：1因此，2CD：DB15：1，CD：DB15：2。由此，AC：DB 15：11。5奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编-8-例题评析：我们先要根据上题来确定策略，方法一使用的是相遇、追击基本问题的运用；方法二使用的是比与比例的知识。例 80、甲、两地相距 35 千米，小张、小李都要从甲地去乙地，他们只有一

17、辆自行车，小张先步行，小李先骑车，同时出发。小张步行的速度是每小时 5 千米，小李步行的速度是每小时 4 千米。两人骑车的速度都是每小时 20 千米。那么两人从甲地到乙地最短需要时间多少小时？例题求解：小李骑车到达甲、乙之间的丙地，改为步行，小张到丙地后骑上车，两人同时到达乙地；此时两人到达乙地所需时间最少。方法一、方程法设甲丙距离为 x，则小李需要时间 ；43520x小张需要时间 。因为同时出发，同时到达，所以小李、小张所需时间相等；于是， ，所以 x20 千米，43520x2035于是所需时间为 小时4 小时 45 分钟。3方法二、比例法我们求出甲丙：丙乙的路程比。知道，骑车“1”距离时间

18、为 ；小李步行“1”距离时间为 ；小张步行距离时间为20141。51小李因走路路程“1”耽搁的时间与小张因走路“1”耽搁的时间之比为 4：3；因为所需时间相等，所以路程比为 3：420154因为小李于小张的步行、骑车距离正好相反，所以小李步行路程为 15 千米；所以甲丙路程为 351520 千米。435小李步行时间为 小时4 小时 45 分钟203例 81、一条环形道路，周长为 2 千米，甲、乙、丙 3 人从同一点同时出发，每人环行 2 周，奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编-9-现有自行车 2 辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑。已知甲步行的速度

19、为每小时 5 千米，乙和丙步行的速度是每小时 4 千米，3人骑车的速度都是每小时 20 千米。请你设计一种走法，使 3 个人 2 辆车同时到达终点。那么环行 2 周最少要用多少分钟？例题求解：通过上题的分析运算，启发了我们对于这道题的思路。我们求出甲、乙步行的路程比；我们知道，假设甲、乙均始终骑车，则甲、乙同时到达；现在因为步行耽搁的时间比为：；于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，即为 4：3；4320145又因为乙、丙步行速度相同，所以步行距离相等；于是，甲乙丙步行距离比为甲：乙：丙4：3：3。因为有 3 人，两辆自行车，所以，始终有人在步行， 一圈的距离等于甲乙丙步行距离和。(我们注意到

20、车子放在一周的不同地方,所以总有一人从一停车处走到另一停车处)于是,甲步行的距离为 千米;于是骑车距离为 220.83.2 千米；8.0342所以甲需要时间为 0.32 小时；即 0.326019.2 分钟。.580环形两周的最短时间为 19.2 千米。例 82、下图为某邮递员负责的邮区街道图，图中交叉点为邮户，每个小长方形的长为 180米、宽为 150 米。如果邮递员每分行 200 米，在每个邮户停留半分，那么从邮局出发走遍所有邮户，再回到邮局，最少要用多少分？此题关键是，求出最佳路径；显然不满足一笔画，我们也只要走到个个交点。我们观察下图：知道，前两种路线有重复部分，而第三个路线比第四个路

21、线长。所以第四种路线最短。最少要走 3900 米。有 64123 个邮户。所以需 3900200(641)0.5=19.511.531 分。奥 林 匹 克 数 学 讲 义 类 编-10-例 83、有一个沙漠地带，汽车每天行驶 200 千米，每辆汽车载运科行驶 24 天的汽油。现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发，并在完成任务后，沿远路返回。为了让甲车尽可能开出更远的距离，乙车在行驶一段路程后，仅留下自己返回出发地的汽油，将其他的油给驾车。求甲车所能开行的最远距离。例题求解：我们知道，甲车尽可能远，则乙车离开甲车时，保证甲车行驶 24 天的汽油；则还有 24 天的汽油，是甲、乙到达乙车离开的地点，然

22、后，乙车原路返回，所以 24 天的汽油，3 车次到达乙车离开的地点，于是 2438 天。又甲车单独行驶的 24 天汽油，分成 3 部分，向前前进，返回至乙车离开地点，返回出发点。由于向前前进部分返回至乙车离开地点，返回出发点8 天所以向前前进部分(248)2=8所以，甲最远跑到 8816 天的距离，162003200 千米。巩固练习习题 14、一条“”形道路，周长为 7 千米，甲、乙、丙 3 人从同一点同时出发，每人环行 3 周，现有自行车 2 辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑。已知甲步行的速度为每小时 5 千米，乙和丙步行的速度是每小时 6千米，3 人骑车的速度都是每小时 30 千米。请你设计一种走法，使 3 个人 2 辆车同时到达终点。那么环行 3 周最少要用多少分钟？习题 15、猴子爬窗：吴尽的手风琴已经走了调，可他依旧弹奏不休，图中的那些人被他吵得要死。如果不打发一点钱，他是不会走的。现在，他的听众们准备投降了。请你说出，他的那只叫乔科的猴子，将采取怎样一条最短的路线，带着一只锡碗从一个窗子爬到另一个窗子去向人家收钱?注意，猴子必须从现在的位置出发，最后回到它主人的肩膀上。如果，每通过一个窗子需 2 分钟，等待别人的付钱 1 分钟。则需要时间为多少？习题 16、在百慕大三角洲内，轮船每