1、WWW.QHTLW.COM WWW.TPA.NET.CN WWW.WAIGUA999.COM WWW.TDRLC.NET WWW.TAOBAOKAIDIANWANG.COMDYPT SYY DBFQ DFDF民族预科数学教学中引入数学实验的思考与实践朝 鲁（1 内蒙古工业大学理学院，呼和浩特，010062）（2 内蒙古民族大学数学与计算机系，通辽市，028000）摘要：本文是前文基于计算机代数系统平台的理工科民族预科高等数学教学改革研究与实践的姊妹篇。前文把“数学实验”作为教学环节之一提出，本文将进一步指出数学不仅是科学的逻辑体系，也是一门“实验科学” 。前文一般性地介绍了计算机代数系统，指出
2、它是一个数学软件群，本文选用的 Mathematica 系统则是其中的一个。 关键词：民族预科 数学实验 教学改革一、 数学实验课的背景1.数学的一大特征是运用了抽象的符号, 它易于计算和证明。当符号与一定的概念相对应时, 思想的演绎可转化为对符号的操作, 而符号的操作可用机器进行推演。由此一来 , 借助计算机可使复杂、繁重的脑力劳动机械化, 加速思维的过程 , 更易于获得创造性思维, 实现思维活动的飞跃。大量的实践证明, 数学思维的机械化 , 不仅扩大了数学的应用范围, 而且也改变了学数学、教数学及应用数学的传统思维和方法, 从而推进了教学方法和手段的改革, 大幅度地提高学习和教学效果。数学
3、实验属于数学机械化范畴。2.由于计算工具和计算技术的飞速发展, 在自然科学、工程技术、经济管理以至人文社会科学各个领域中, 数学日益成为解决实际问题的有力工具, 数学技术（数值计算与仿真、图象处理、统计分析等等） 、理论研究、实验研究三足鼎立, 在现代社会进步中正起着巨大作用。在这种形势下, 大学数学教育除了培养学生传统的逻辑推理能力、几何直观能力和运算能力外, 还应培养学生数学建模能力和科学计算能力。数学实验课为培养这些综合能力提供了用武之地。该课程的目的是，使学生掌握数学实验的基本思想和方法，即不把数学看成先验的逻辑体系，而是把它视为一门“实验科学” ，从问题出发，借助计算机，通过学生亲自
4、设计和动手，体验解决问题的过程，从实验中去学习探索和发现数学规律。3.数学的传统教育模式, 着重于培养学习和应用已知知识的能力, 而且在应用环节上偏重理论上的演绎, 忽视了在实践中的应用。随着数学科学在当今科学技术发展中所起作用越来越重要, 现代数学教育要求在掌握一定的理论知识的基础上, 善于将数学应用于实践；传统的数学教材也配备了一定数量的应用题, 对培养学生理论联系实际的能力有一定作用。WWW.QHTLW.COM WWW.TPA.NET.CN WWW.WAIGUA999.COM WWW.TDRLC.NET WWW.TAOBAOKAIDIANWANG.COMDYPT SYY DBFQ DFD
5、F但这些应用题毕竟比较浅显、单一, 学生很难得到综合训练。近年来, 许多高等院校开设了“数学建模”课程, 由于该课程的应用性和实践性 , 它倍受广大师生的关注。不过 , 数学建模课程侧重于介绍各种建模方法, 往往涉及较多的数学分支, 并且要花相当多时间学习各种领域的背景知识, 适合高年级学生学习。这样大学数学和数学建模之间就有很大的跨度。适当设计数学实验课程，在内容的深广度上可以弥合这个跨度。在数学实验课程中通过实验, 使学生初步学习数学应用的全过程：用所学的数学知识, 将实际问题转化为合理的数学问题, 进而应用数学方法和计算技巧, 以计算机为工具, 使问题得以解决。而其它教学手段很难做到这一
6、步。数学实验课程, 特别强调学生自己动手 , 真正进行“实验”, 从而培养学生的创新意识和实践能力。4.数学实验是理工科数学教育改革的产物, 它既提供了一些新的教学内容, 又构成了一个新的教学环节。从 1997 年起, 我们就开始了“数学实验课”的教学试点。2000 年我们承担了国家教育部世行贷款“21 世纪初高等教育教学改革”项目课题“理工科少数民族大学系列课程体系改革的研究与实践” 。本文是我们预科数学教学改革所取得的初步成果总结的一个重要方面。二、数学实验课的现状1.数学实验课作为一门新的数学课程，是理工科数学 CAI 教学的一种重要延伸性形式，对于理工科数学教育是重要的补充。目前全国各
7、高校的做法大体可分为以下三类：第一类是基础实验，通过对数学软件的详尽介绍，用数学实验学习大学数学并解决一些实际问题；第二类是数学模型实验，以数学内容为主线，结合案例教学，通过用数学来学数学；第三类为研究性实验，以案例为主，解决和探索这些问题，用什么学什么，并介绍一些现代数学的基本方法和原理。从教学安排来看，可分为两类：一类是把数学实验安排在各门课程结束后进行。如高等数学课结束后，安排相关内容的数学实验，线性代数课程结束后，安排线性代数实验等等；另一类是在学完所有数学基础课程后，将数学实验作为一门选修课开设。2.教材情况。目前我国出版了一些尝试性的数学实验课的教材, 但这些教材的共同点是起点高,
8、 其中涉及到的数学知识广而深, 数学软件的介绍偏少，不利于低年级学生使用。数学软件是计算机和数学相结合的理工科学生必须掌握的进行科学计算和符号推理的工具。数学软件有别于其它计算机语言, 它是集成化的软件, 利用它编写程序非常简单 , 学习它不需要太多的时间, 容易掌握。用数学软件同时可做符号推演 , 图文演示及数值计算等丰富的WWW.QHTLW.COM WWW.TPA.NET.CN WWW.WAIGUA999.COM WWW.TDRLC.NET WWW.TAOBAOKAIDIANWANG.COMDYPT SYY DBFQ DFDF工作, 所以数学软件是数学实验课的最好的平台（不会使学生把精力花
9、在学习计算机高级语言上而淡漠了我们的主题） 。 在数学实验课中适当的介绍数学软件及其处理数学符号的原理和方法是必须的。数学软件和数学实验课的有机结合, 也是教材应探索的课题。三、 预科班的高等数学课中引入数学实验的必要性从目前数学实验课的发展看，实力较强的重点大学开展得比较好，教材也是适应基础较好的学生。但对地方院校，尤其少数民族地区大学开设数学实验课还不普及。对这种情况，主要原因我们认为是师资队伍建设落后，教学改革力度和广度不够造成的。在民族预科数学教学中引入数学实验课显然更是一种新的课题，缺乏各方面的经验和资料，尤其缺乏合适的教材。所以深入预科教学改革，建设教材及探索教学模式等问题是有待深
10、入研究的问题。通过我们近几年坚持数学改革而取得的经验，说明在大学不同阶段、不同专业甚至不同类别的学生可以开设不同层次的数学实验课。完全可以在学生的不同学习阶段发挥数学实验课的作用。由于理科基础差等客观条件，使得预科生学习数学非常困难，数学教学质量不如人意，如何改变这种状况是我们的深入探讨的任务。在预科数学教学中引入以高等数学和数学软件为平台的数学实验课，在革新数学教学内容、培养学生的科学素质以及提高学习兴趣等方面，有重要的促进作用：1）较早了解和学会数学软件, 较早培养学生运用计算机和数学知识解决实际问题的能力，对学生的进一步学习，强化了其应用数学和计算机的意识；2）学生在学习数学实验课过程中
11、再次回忆和实践高等数学的主要内容, 对巩固已学知识,掌握抽象的数学概念有很好的帮助。实践课也是学习和教授高等数学课程的良好辅助手段，对提高学生的应用数学能力的作用很大。进而对学生学习后继课程也十分有益；3）通过实验课学生初步体验到科学研究的实践, 对学生的建模思维和运用数学解决实际问题的基本思路的形成以及培养学生的综合思维有很好的促进作用。通过数学实验课学生能够意识到数学是培养科学素质的载体；4）提高学生的学习数学的兴趣, 使学生对数学课有充分的认识和重视, 在很大程度上解决了低年级学生经常提的“学数学有什么用的”？问题, 对数学的工具作用更有实际的体验。数学实验主要是让学生自己通过动手去体验
12、，并要求学生通过观察，自己总结规律，进一步培养学生的直觉，激发学生“学数学、研究数学、用数学”的兴趣。5）通过数学实验课的引入更新教学内容，加强数值计算，淡化复杂而非普遍性的内容，优化课程设置。WWW.QHTLW.COM WWW.TPA.NET.CN WWW.WAIGUA999.COM WWW.TDRLC.NET WWW.TAOBAOKAIDIANWANG.COMDYPT SYY DBFQ DFDF四、 对低年级理工科（含民族预科）班开设数学实验课的思考与方案教学目的决定了教学的取向。对低年级（预科生） ，数学知识限于高等数学范围（以基本实验为主） ，数学实验课是作为一门辅助高等数学课程教学来
13、开设的，其目的是在数学基础理论、简单数学建模以及数值计算等方面使高等数学内容得到补充和现代化，以全面提高高等数学教学质量，培养学生较高的数学素质。基于我校实际情况，我们并未追求深度和广度，实践证明这样做的教学效果是良好的。我们开设数学实验课是基于以下考虑：(1)在数学教育中重视形象思维的开发。在现代数学教育中，似乎过于偏重演绎论证的训练，把学生的注意力都吸引到逻辑论证的严格性上去，这对于培养学生的创造力来说，实际上是不利的。从心理学的观点来看，创造发明的决定性思维形式在于形象思维。当然，这绝不是否定逻辑思维的重要意义和作用，而是强调不能忽视形象思维在培养创造性能力方面的作用。丰富的形象思维，特
14、别是直觉思维，对创造发明富有成效。形象思维主要包括几何思维与直觉思维，进行数学实验是培养学生形象思维非常好的方法，因此实验内容应包含一些尽量直观的问题，以充分调动学生的几何与直观想象。(2)重视数值计算与高等数学理论知识的有机结合。数值计算方法是现代应用数学方法极为重要的方面。 数学实验作为高等数学课程的辅助课程，应责无旁贷地承担起将经典微积分与现代数学内容之间的桥梁作用，数值分析是高等数学中增加的主要内容，但受到教学时数和黑板的限制，在课堂上老师们很难发挥其教学效果，必须结合数学实验才能有效地体现数值计算内容。现代计算机的发展已使得手算的技能和技巧不像以前那么重要了。结合经典微积分的理论和内
15、容，在教学中尽早、尽可能多地渗入“离散化” 、 “线性化” 、 “逼近”和“迭代”等思想是非常重要的，也是素质教育的要求。密切联系微积分理论和内容，介绍构造计算机算法的最常用和基本的方法和手段，如“近似替代法” 、 “摄动” 、 “迭代”等，并对数值分析的优点和弱点进行讲解，让学生感受到应用数学时数学理论和数值方法的有效结合的重要性。(3)重视在数学实验中培养学生的自主学习意识。通过基础实验让学生充分利用计算机及软件的数值功能和图形功能展示基本概念与结论，去体验如何发现、总结和应用数学规律；发挥学生在教学过程中的主动参与性，并使学生能够从几何直观、数值分析和符号推演三方面的结合上加深对高等数学
16、抽象概念的理解；通过直观形象地展示抽象的基本概念与结论，使学生对数学学习产生兴趣，进二更加主动，积极地学习，形成良好的学习习惯，WWW.QHTLW.COM WWW.TPA.NET.CN WWW.WAIGUA999.COM WWW.TDRLC.NET WWW.TAOBAOKAIDIANWANG.COMDYPT SYY DBFQ DFDF思维习惯。在传统的教学过程中，理论与实验、抽象与具体、教师经验与学生参与，似乎常常不相容。其实，如果处理得当，是可以相容的。数学实验课“先天地”提供了使上述诸多矛盾相容的载体和机制，教师要善于利用它来培养学生的自主学习意识。我们为数学实验设计的方案：讲授方式：数学
17、实验的教学方式宜采用讲授与训练相结合、课内与课外相结合、理论推导及运算与上机操作相结合的方式。具体操作上可以采用以下两种形式之一：1）教授高等数学过程中穿插数学实验课的讲授；2）高等数学课结束之后专门开设数学实验课。对不同的专业、不同层次的学生应采用不同的选择。对预科生来讲第一种形式比较好。具体讲，高等数学函数部分讲完之后就可以开始介绍软件。每次实验一定要结合讲授的内容，针对性要强。实验的过程，学生不仅掌握计算机知识，更重要的是学习数学。每一章结束，布置适当的实验上机完成，逐步加大综合程度。这种作法，贯穿整个高等数学教学；第二种方式，在整个高等数学内容结束后，以复习巩固高等数学内容为主线进行教
18、学。一定学时中讲授软件，再从初级实验做起，逐步提高实验题目的综合程度。两种方法结合使用也是可以的，即高等数学教授过程中穿插讲授基本实验，高等数学内容讲授之后再讲授具有提高性质的实验。布置实验题时应考虑努力达到以下目标： 第一，针对高等数学教学和进度提出与基本概念、结论和方法紧密相关的问题；第二，完成相应的实验，努力发现与所研究问题相关的一些概念、结论，并注意基本理论和方法是如何应用的；第三，对实验的结果做出清楚的描述（预科生非常需要） ，作出自己的结论；第四，根据实验的对象，通过数学上的分析及可能的数学证明，给出支持你的结论的论证。教材特点：为开设此课我们编写了配套的教材。教材简洁而系统地介绍
19、数学软件, 以高等数学的复习为主线做数学实验, 在学习现代数学工具的同时提高高等数学的知识水平, 培养学生建模思维和用数学解决实际问题的能力。针对这种情况，本讲义使按照理论与实践相结合的形式编写的，如，学习每一个概念或命令时都设有对应的具体例子加以具体说明。本教材由三个部分组成，以适应学生知识和能力的逐步提高。第一部分重点介绍了数学软件 Mathematica 系统的最基本的知识。由浅入深, 循序渐进地讲解 Mathematica 基础知WWW.QHTLW.COM WWW.TPA.NET.CN WWW.WAIGUA999.COM WWW.TDRLC.NET WWW.TAOBAOKAIDIANW
20、ANG.COMDYPT SYY DBFQ DFDF识, 并配以适当的例子, 使读者可以较轻松地学习、领会 Mathematica 的一些基本内容, 为进一步学习、利用 Mathematica 打下一定的基础。 在第二部分中我们把高等数学的基本而最主要的内容, 也是课堂教学很难做到的一些内容用 Mathematica 进行演示 , 以达到补充高等数学一些内容、延伸课堂所学内容及再巩固已学的内容的目的, 同时为学生提供应用计算机和数学解决实际问题的能力的适当的实践环节；在第三部分中我们选了几个较具综合性的数学模型例子（但数学知识只限于大学微积分的内容）, 其中介绍了工程中常用的摄动方法和仿真方法，
21、是为学生进一步学习和提高做准备的。我们学习 Mathematica 系统（或其它的数学软件）的目的在于辅助数学讲授、学习数学, 进而用数学、做数学。所谓做数学, 就是用户提供思想或猜想及方法 , 由Mathematica 系统来一步步实现。将大量的实际工程问题在计算机上用数学软件, 轻松地模拟、运算、分析、解决。尤其值得一提的是对于理工科大学生, 他们的很多后继专业课与数学的应用是分不开的（也可用数学软件加以模拟、推导和实践）, 从而他们的数学实验（实践）经验, 将成为他们未来的宝贵而有效经历，有利于专业课的学习和研究工作。而用好任何一个科学研究工具主要还在于熟练掌握其中所用的理论、方法，并深
22、刻体会其思想。 从而, 同学们学习本讲义中 Mathematica 数学工具的同时 , 对其中涉及到的数学概念, 思想及方法能进行进一步的思考和实践；至于内容的选取一定要注意教学的进度和学生的层次。我们的经验是：先与高等数学的第一册的内容相结合，完成第一部分和第二部分的部分实验的教学任务，与第二册相结合完成第二部分的内容，加强综合性和实践练习。高等数学结束之后学习第三部分。每一实验先由教师授课 1 学时左右，介绍实验问题的背景和要求、相关的建模过程、解决问题的数学方法(高等数学的内容及数值计算方法等) ，再向学生布置实验任务。然后，学生分小组(每组 34 人为宜 )在课外讨论、建模，再上机操作
23、2 学时左右，最后写出实验报告，达到进一步提高数学能力、回顾和温习已学过的内容的目的。学时安排：实验课课内外大约 30-40 学时。对预科来讲，以第一学期 10 学时，第二学期 10 学时，第三学期 20 学时为宜。课堂教学和实践时间安排 1：2 或根据教学内容和进度进行适当地安排，总之实践时数要多些。WWW.QHTLW.COM WWW.TPA.NET.CN WWW.WAIGUA999.COM WWW.TDRLC.NET WWW.TAOBAOKAIDIANWANG.COMDYPT SYY DBFQ DFDF五、 结论实践表明，预科（低年级）开设数学实验课能够达到提高“高等数学”教学质量的目的。与过去的教学比较，学生的积极性得到了很大的激发，教学效果良好。另一方面， “数学实践”课是最近几年才开始开设的新的数学与计算机交叉课程, 也是数学和计算机发展的必然趋势, 但如何开设和讲述这门课 , 现正处在探索阶段 , 还未形成统一的模式。我们相信，进一步的研究与实践，将使改革更加成熟。参考文献1乐经良主编,数学实验 ，高等教育出版社，1999.2李尚志，培养学生创新素质的探索，大学数学，2003 年第一期.3侯乃戍，朝鲁，试论“数学实验室”的建设，内蒙古工业大学高等教育研究 ，1998 年第二期.4基于计算机代数平台的工科大学大学的一种改革模式，内蒙古高等教育，1998 年第三期.
