1、 PANGJUN 1 / 21第一节 合情推理与演绎推理【归纳知识整合】1合情推理(1)归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点：类比推理是由特殊到特殊的推理2演绎推理(1)模式：三段论大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理探究 1归纳推理的结论一定正确吗？提示：不一定，结
2、论是否真实，还需要经过严格的逻辑证明和实践检验探究 2演绎推理所获得的结论一定可靠吗？提示：不一定，只有前提是正确的，推理形式是正确的，结论才一定是真实的，错误的前提则可能导致错误的结论【自测牛刀小试】1下面几种推理是合情推理的是( )由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180，归纳出所有三角形的内角和都是 180；某次考试张军成绩是 100 分，由此推出全班同学成绩都是 100 分；三角形的内角和是 180，四边形的内角和是 360，五边形的内角和是 540，由此得出凸多边形的内角和是(n2)180.A BC DPANGJUN 2 / 212观察下列
3、各式：5 53 125,5 615 625,5 778 125，则 52 013 的末四位数字为( )A3 125 B5 625C0 625 D8 1253给出下列三个类比结论(ab) na nbn 与( ab) n 类比，则有(ab) na nb n；log a(xy)log axlog ay 与 sin()类比，则有 sin() sin sin ；(ab) 2a 22abb 2 与( ab) 2 类比，则有(ab) 2a 22abb 2.其中结论正确的个数是( )A0 B1C2 D34(教材习题改编)有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线 b平面 ，
4、直线 a平面 ，直线 b平面 ，则直线 b直线 a”，结论显然是错误的，这是因为( )A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D非以上错误5(教材习题改编)在ABC 中，不等式 成立；在四边形 ABCD 中，不等1A 1B 1C 9式 成立；在五边形 ABCDE 中，不等式 成立，猜想，1A 1B 1C 1D 162 1A 1B 1C 1D 1E 253在 n 边形 A1A2An 中，成立的不等式为_考点一 归纳推理【例 1】(1)(2012江西高考)观察下列各式：ab1，a 2b 23，a 3b 34，a 4b 47，a 5b 511，则 a10b 10( )A28 B76C123 D19
5、9(2)设 f(x) ，先分别求 f(0)f (1)，f (1)f (2)，f (2)f(3) ，然后归纳猜想一13x 3般性结论，并给出证明PANGJUN 3 / 21利用本例(2)的结论计算 f(2 014)f(2 013)f( 1)f(0)f(1)f(2 015)的值 归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳1观察下列等式：1 11 2 31 2 3 61 2 3 4 101 2
6、 3 4 5 1513 113 23 913 23 33 3613 23 33 43 10013 23 33 43 53 225可以推测：1 32 33 3n 3_( nN *，用含 n 的代数式表示)考点二 类比推理【例 2】 (2013广州模拟)已知数列 an为等差数列，若ama，a nb(nm1，m，nN *)，则 amn .类比等差数列a n的上述结论，对nb man m于等比数列b n(bn0，nN *)，若 bmc，b nd(nm 2，m，nN *)，则可以得到bmn _.PANGJUN 4 / 21 类比推理的分类类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在
7、求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移2在ABC 中，AB AC，ADBC 于点 D.求证： .1AD2 1AB2 1AC2那么在四面体 ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由考点三 演 绎 推 理【例 3】已知函数 f(x) (a0 且 a1) aax a(1)证明：函数 yf(x )
8、的图象关于点 对称；(12， 12)(2)求 f( 2)f(1)f(0) f(1)f(2)f(3) 的值PANGJUN 5 / 21 演绎推理的结构特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提3已知函数 f(
9、x) bx，其中 a0，b0，x(0，)，试确定 f(x)的单调区间，并ax证明在每个单调区间上的增减性 2 个步骤归纳推理与类比推理的步骤(1)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想) ；检验猜想 实 验 、观 察 概 括 、推 广 猜 测 一 般 性 结 论(2)类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想) ；检验猜想 观 察 、比 较 联 想 、类 推 猜 想 新 结 论PANGJUN 6 / 21 1 个区别合情推理与演绎推理的区别(1)归纳是
10、由特殊到一般的推理；(2)类比是由特殊到特殊的推理；(3)演绎推理是由一般到特殊的推理；(4)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确. 创新交汇合情推理与证明的交汇创新1归纳推理主要有数与式的归纳推理、图形中的归纳推理、数列中的归纳推理；类比推理主要有运算的类比、性质的类比、平面与空间的类比题型多为客观题，而 2012 年福建高考三角恒等式的推理与证明相结合出现在解答题中，是高考命题的一个创新2解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律) ；然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想) ；最后对所
11、得的一般性命题进行检验【典例】 (2012福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213cos 217sin 13cos 17 ；(2)sin215cos 215sin 15cos 15 ；(3)sin218cos 212sin 18cos 12 ；(4)sin2(18)cos 248sin(18)cos 48 ；(5)sin2(25)cos 255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论PANGJUN 7 / 21【变式训练】阅读下面材料
12、：根据两角和与差的正弦公式，有sin( )sin cos cos sin ，sin( )sin cos cos sin ，由得 sin( )sin()2sin cos .令 A ，B，有 ， ，A B2 A B2代入得 sin Asin B2sin cos .A B2 A B2(1)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos Acos B2sin sin ；A B2 A B2(2)若ABC 的三个内角 A，B，C 满足 cos 2Acos 2B1cos 2C，试判断ABC 的形状(提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1) 中的结论)PANGJUN 8 / 21第二节 直接证
13、明与间接证明【归纳知识整合】1直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法框图表示： (其中 P 表示已知条件、P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 Qn Q已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论) (2)分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等) 为止，这种证明方法叫做分析法框图表示： .QP1 P1P2 P2P3 得 到 一 个 明 显 成 立 的 条 件2间接证明反证法：假设原命题不成
14、立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法探究 1综合法与分析法有什么联系与差异？提示：综合法与分析法是直接证明的两种基本方法，综合法的特点是从已知看可知，逐步推出未知在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱分析法是从未知看需知，逐步靠拢已知当命题的条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件，把证明转化为判定这些条件是否具备的问题探究 2在什么情况下可考虑利用反证法证明问题？提示：反证法是间接证明的一种方法，它适用于
15、以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)若从正面证明，需要分成多种情形进行讨论，而从反面证明，只需研究一种或很少的几种情形PANGJUN 9 / 21【自测牛刀小试】1下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是逆推法；反证法是间接证法其中正确的有( )A2 个 B3 个C4 个 D5 个2(教材习题改编)要证明 b，那么 ”假设内容应是( )3a3bA. B. 0，ab0 ，b0，af .12 (x1 x22 ) 分析法的适用条件当所证命题不知从何入手时，有时可以运用分析法获得解决，特别是对于条件简单而结论复
16、杂的题目，往往行之有效，对含有根式的证明问题要注意分析法的使用2已知 a0，求证： a 2.a2 1a2 2 1aPANGJUN 12 / 21考点三 反证法的应用【例 3】设a n是公比为 q 的等比数列，S n 是它的前 n 项和(1)求证：数列S n不是等比数列；(2)数列S n是等差数列吗？为什么？ 1反证法的解题原则反证法的原理是“正难则反” ，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法2反证法中常见词语的否定形式原词 否定形式至多有 n 个(即 xn，nN *) 至少有 n1 个(即 xnxn1，nN *)至少有 n 个(即 xn，nN
17、 *) 至多有 n1 个(即 x0，且 abbcca0 和 abc0.3 个规律利用综合法、分析法、反证法证题的一般规律(1)综合法证题的一般规律用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论(2)分析法证题的一般规律分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件(3)反证法证题的一般规律反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是
18、：或者是 A，或者是非 A.即在同一讨论过程中，A 和非 A 有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现 3 个注意点利用反证法证明问题应注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；PANGJUN 14 / 21(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的. 易误警示不等式证明中的易误点【
19、典例】 (2011安徽高考)(1)设 x1，y 1，证明 xy xy；1xy 1x 1y(2)设 11)，第一步12 13 12n 1要证的不等式是_5记凸 k 边形的内角和为 f(k)，则凸 k1 边形的内角和 f(k1)f(k) _.考点一 用数学归纳法证明等式【例 1】nN *，求证：1 .12 13 14 12n 1 12n 1n 1 1n 2 12nPANGJUN 17 / 21 用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值 n0 的值(2)由 nk 到 nk1 时，除考虑等式两边变化的项
20、外还要充分利用 nk 时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明1求证：1 22 2n 2 .nn 12n 16考点二 用数学归纳法证明不等式【例 2】已知数列a n，a n0，a 10，a a n1 1 a .2n 1 2n求证：当 nN *时，a n0 且 b1，b，r 均为常数)的图象上(1)求 r 的值；(2)当 b2 时，记 bn2(log 2an1)(nN *)，证明：对任意的 nN *，不等式 b1 1b1 成立b2 1b2 bn 1bn n 1PANGJUN 19 / 21考点三 “归纳猜想证明”问题【例 3】已知 f(n)1 ，g( n) ，nN *
21、.123 133 143 1n3 32 12n2(1)当 n1,2,3 时，试比较 f(n)与 g(n)的大小关系；(2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系，并给出证明 归纳猜想证明类问题的解题步骤(1)利用数学归纳法可以探索与正整数 n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明” ，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想 证明” 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题3设数列a n满足 an1 a na n1，n1,2,3，.2n(1)当 a12 时，求 a2，a 3，a 4，并由此猜想出 an 的一个
22、通项公式；(2)当 a13 时，证明对所有的 n1，有 ann2.PANGJUN 20 / 211 种方法寻找递推关系的方法(1)在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的(2)探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察 n 处在哪个位置(3)在书写 f(k1)时，一定要把包含 f(k)的式子写出来，尤其是 f(k)中的最后一项，除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚 4 个注意点应用数学归纳法应注意的问题(1)数学归纳法是证明与正整数有关的命题的常用方法，特别是数列中等式、不等式的证明，在高考试题中经常出现(2)数学归纳法证题的关键是第二步
23、，证题时应注意： 必须利用归纳假设作基础；证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；解题时要搞清从 nk 到 nk 1 增加了哪些项或减少了哪些项(3)数学归纳法证题时，第一个值 n0 不一定为 1，如证明多边形内角和定理 (n2) 时，初始值 n03.(4)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式. 易误警示应用数学归纳法解决证明问题的易误点【典例】 (2013九江模拟)设数列 an的前 n 项和为 Sn，并且满足2Sna n，a n0(nN *)2n(1)猜想a n的通项公式，并用数学归纳法加以证明(2)设 x0，y0，且 xy 1，证明： .anx 1 any 1 2n 2PANGJUN 21 / 21【变式训练】若不等式 对一切正整数 n 都成立，求正整数 a 的最大值，1n 1 1n 2 13n 1 a24并证明结论
