1、1关于“丢番图（Diophantus ）猜想”的论证丢番图（Diophantus）猜想：如果 是两个正整数，且 是完全平方数，那么：mn、 2mn2abc则： 是一级“勾股数组” 。a、 、命题一：在直角三角形中，对于任意给定的一直角边为一个正奇数 （ ）， 则一a3定存在正奇数 c和正偶数 b，使之满足： 22abc;且组成“勾股数组”的数量为：在 的因数中小于或等于 的所有正ab， ， 2a1奇因数的个数之和；其“ 勾股数 组” 的计算公式为：.2c 22aa 其 中 的 取 值 分 别 为 ： 中 所 有 小 于 或 等 于（ +)-21 的 每 一 个 正 因 数 ； 的 偶 数 .证
2、明：充分性假设在直角 中， ，两条直角 边分别为 ，斜 边为 ；令 为ABC09ab、 ca正奇数，并且， 、 均为正整数。b根据“勾股定理 ”可得：22ac2()ba（1） 令： .1显 然 的 整 数由此推出 ：（2）2cb把（2）代入（1）可得：2a所以 2经整理可得： 22ab并可以推出：（3）再令： . （4）1（ 其 中 的 整 数 ）由（4）可知：（5）2a2把（5）代入（3）可得：22b所以， （6）2()b由此我们把（2）、 （4）、（6）综合可得如下结论：（7） 2abc因为 都是正整数，由（6）式可知：b、2则 也是正整数；2所以令： （其中 的整数）.212则 ：由（4
3、）可得： 12的 整 数 舍 去故： .由（4）式可知：因为 ，故 就一定是一个完全平方数；所以（7）是 正 整 数 2式可转化为：（8）2abc 1; 其 中 的 整 数且 2是 完 全 平 方 数因为 ，又因为 是一个完全平方数且又是偶数，所1;的 整 数 3以， 的偶数；2故 ;即： . （9） 123aa由（8）式可得： 2所以， 2()aa2 2（10）()由（10）式可知： 又因为 为奇数，所以 为 中的正2a是 的 正 因 数 ,a2a奇因数。而 是偶数，且又是完全平方数，又因为 为正奇数，因此 就一定是偶2 数， ，故 的偶数，又 ， 都是偶数，所以 为12b2又 与 b偶数；
4、又 ，而 为奇数，则 为奇数。2cc又由于： .a2()a的正偶数.2()4a故： 22即： （11）()0a解这个不等式可得：.(2)1(2)1a a或由（8）式可得： 200故 不合题意去。()a所以，不等式（11）的解集为：. （12）1(2)14综上所述，当 的正奇数时， 则 的取值为： 的因数中小于或等于3a2a的每一个正奇因数，因此在 的正奇因数中，有多少个小(2)1a于或等于 的正奇因数，那么就会 产生多少个相应的正奇()2数 ，再由 来计算并产生相应的正偶数 ，在2()a得到正奇数 的值之后，就可利用如下公式：和 正 偶 数2abc. （13）2aa 其 中 的 取 值 分 别
5、 为 ： 中 所 有 小 于 或 等于 （ +2)- 1的 正 因 数 ； 的 正 偶 数来计算相应的正偶数 ，从而可得到了以给定的正奇数 作为bc和 正 奇 数 a(3)一直角边的所有“ 勾股数组 ” 。,必要性：若一个三角形的三边满足：2abc. 2aa 其 中 的 取 值 分 别 为 ： 中 所 有 小 于 或 等于 （ +2)- 1的 正 因 数 ； 的 正 偶 数则： 22b24 而 22c222.2abc命题一证毕.下面举例说明“ 命题一” 的使用方法：例：当直角三角形的一条直角边 315a时，能 组成多少个“勾股数组” ？并指出每一个“勾股数 组“ 的具体 组合.解：23157a
6、24()1(352)137216a5317283而在 中小于 283 的正奇因数共有 22 个（分别为：a1，3，5，7，9，15，21，25，27，35，45，49，63，75，81，105。135，147，175，189，225，249），所以，以 315 作为一直角边所构成的“勾股数组”共有 22 个；详见下表：以 315 为直角三角形的一直角边所组成的“勾股数组”表 序号 中小于2283 的因数的取值的取值（）2(315)把 代入公（13）和计算 bc315， ，1 1 =1 1 49298 （315,49612，49613）2 3 =3 3 16224 （315，16536，1653
7、9）3 5 =5 5 9610 （315，9920，9925）4 7 =7 7 6776 （315，7084，7091）5 =929 5202 （315，5508，5517）6 =1515 3000 （315，3300，3315）7 =21321 2058 （315，2352，2373）8 =25225 1682 （315，1972，1997）9 =27 27 1536 （315，1824，1851）10 =35535 1120 （315，1400，1435）11 =452345 810 （315，1080，1125）12 =49749 722 （315，988，1037）13 =63 63
8、504 （315，756，819）14 =752575 384 （315，624，699）15 =814381 338 （315，572，653）16 =1057105 210 （315，420，525）17 =135 135 120 （315，300，435）18 =1472147 96 （315，264，411）19 =1755175 56 （315，196，371）29 =18937189 42 （315，168，357）21 =2252225 18 （315，108，333）22 =245 245 10 （315，80，325）命题二：在直角三角形中，任意给定的一直角边为一个偶数 （
9、）时，则一定存在a4正整数 bc、 ，使之满足： 22abc；且组成“勾股数 组” 的数量为：在bc， ，的因数中小于或等于 的所有正偶因数的个数之和，其“勾股数2a(1)组”的计算公式为：6.2abc 21aa 其 中 的 取 值 分 别 为 : 中 所 有 小 于 或 等于 （ +1)-的 正 偶 因 数 ； 且 的 整 数证明：充分性假设：在直角 中， ，两条直角 边长分别为 ，斜 边为 ，其ABC09ab、 c中 为正偶数， 、 均为正整数。abc根据勾股定理可得： 22ca2()b（1） 则令： （其中 的整数）1由此推出：（2）2cb把（2）代入（1）可得：2a所以 ，经整理可得：
10、 2ab并可以推出：（3）2再令： （其中 的整数） （4）1由（4）可得：（5）a把（5）代入（3）可得：22b所以， （6）2()b由此我们把（2）、 （4）、（6）综合可得如下结论：（7） 2abc因为 是正整数，由（6）式可知： 也是正整数。b、 27所以，令： （其中 的整数）.21221的 整 数 舍 去故： 2由（4）式可知：，故 就一定是一个完全平方数；所以（7）式可转化为：是 正 整 数 （8） 2abc1;2 、 均 为 整数 ； 是 完 全 平 方 数 .因为 ，又因为 是一个完全平方数且又是偶数，所以1;的 整 数的偶数；在式子： 中，因为 是偶数，2aa也是偶数，所以
11、 为偶数，所以 的偶数，故 2，即： 。24a4又因为： a所以， 222()a2（9）(2)a由（9）式可知： 。a是 的 正 偶 因 数又由于： 22()a的整数12()故： 2a（10）2(1)0a8解这个不等式可得： (1)2(1)2aa 或由（8）式可得： ，且 的正偶数，所0以不等式（10）的解集为：（ 取正偶数） （11）2(1)21aa综上所述，当 是大于或等于 4 的正偶数时， 则 的值可取在 的因数中2a中的每一个正偶因数；因此在 的因数中，有多少个小 于 或 等 于 2的正偶因数，那么就会产生多少个相应的正偶数 ，()小 于 或 等 于 并由 ，产生并计算相应的 ，在得到
12、2()2aa的值之后，就可利用如下公式：和 2bc（12）21aa 其 中 的 取 值 分 别 为 : 中 所 有 小 于 或 等于 （ +1)-2的 正 偶 因 数 ； 且 的 整 数来计算相应的 ，从而可得到以偶数 为一直角边的所有“勾股bc和 a(4)数组” 。,必要性：若一个三角形的三边满足：2abc.21aa 其 中 的 取 值 分 别 为 : 中 所 有 小 于 或 等于 （ +1)- 2的 偶 因 数 ； 且 的 整 数则： 222b24而： 2c222。abc命题二证毕。例:当直角三角形的一直角边 时，能组成多少个 “勾股数组”？并指出24a9每一个“勾股数 组” 的具体 组合
13、。解： 324a62(1)(41)241578a即： .8而在 中小于或等于 18 的正偶因数共有 7 个(2,4,6,8,12,16,18)，因此以 242a作为一直角边所构成的“ 勾股数 组” 共有 7 个；详见 下表：以 24 为直角三角形的一直角边所组成的“勾股数组”表 序号中小于24或等于 18的偶因数的取值的取值2(4)把 代入和公式（8）计算 bc24， ，1 2 =2 2 121 （24，143，145）2 =4 4 50 （24，70，74）3 =838 16 （24，32，40）4 =16416 2 （24，10，26）5 =66 27 （24，45，51）6 =18218 1 （24，7，25）7 =12312 6 （24，18，30）作 者：吴 斌截稿日期：2007 年 10 月 16 日于河北省唐海二中.
