1、第 1页 有理数 ) 3 , 2 , 1 : ( ) 3 , 2 , 1 : ( 如 负整数 如 正整数 整数 ) 0 ( 零 ) 8 . 4 , 3 . 2 , 3 1 , 2 1 : ( 如 负分数 分数 ) 8 . 3 , 3 . 5 , 3 1 , 2 1 : ( 如 正分数 一、代数 第一章 有理数及其运算（注：0 既不是正数，也不是负数，是唯一的中性数，是偶数，也是自然数） 有理数：整数和分数（含有限小数，无限循环小数）统称为有理数。 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可） 。 任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。 （反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数
2、） 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。0 的相反数是 0） 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。 数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。 绝对值的定义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离。数 a 的绝对值记作|a|。 正数的绝对值是它本身；0的绝对值是 0；负数的绝对值是它的数。或 ) 0 ( ) 0 ( 0 ) 0 ( | | a a a a a a ) 0 ( ) 0 ( | | a a a a a 绝对值的性质：除 0外，绝对值为一正数的数有
3、两个，它们互为相反数； 互为相反数的两数（除 0外）的绝对值相等； 任何数的绝对值总是非负数，即|a|0 （求一个数的绝对值就是根据性质去掉绝对值符号。 ） 对任何有理数 a，都有|a|0 若|a|=0，则|a|=0，反之亦然 若|a|=b，则 a=b 对任何有理数 a,都有|a|=|- a| 比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下：先求出两个数负数的绝对值； 比较两个绝对值的大小； 根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判 断。 有理数加法法则： 同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。 异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符
4、号，并用较大数 的绝对值减去较小数的绝对值。 一个数同 0相加，仍得这个数。 加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。 灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律： 互为相反的两个数，可以先相加； 符号相同的数，可以先相加； 分母相同的数，可以先相加； 几个数相加能得到整数，可以先相加。 有理数减法法则（“作差法”比较两个有理数的大小）： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 有理数减法运算时注意两“变”： 改变运算符号； 改变减数的性质符号（变为相反数）有理数减法运算时注意一个“不变”： 被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。 有理数的加减法混合运算的步骤： 写成省略加
5、号的代数和。在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和 0 -1 -2 -3 1 2 3 越来越大第 2页 括号； 利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。 （注意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相反数。 ） 有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 任何数与 0相乘，积仍为 0。 如果两个数互为倒数，则它们的乘积为 1。 （如：-2 与 、 等） 2 1 3 5 5 3 与 乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。 有理数乘法运算步骤： 先确定积的符号；求出各因数的绝对值的积。 乘积为
6、1的两个有理数互为倒数。注意： 零没有倒数 求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。小数化为分数，带分数先化成假分数。 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 有理数除法法则： 两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0 除以任何非 0的数都得 0。特别注意：0不可作为除数，否则无意义。 有理数的乘方 注意：一个数可以看作是本身的一次方，如 5=5 1 ； 当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。 乘方的运算性质： 正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 任何数的偶数次幂都是非负数； 1 的任何次幂都得 1，0的任何次幂都得 0
7、； -1 的偶次幂得 1；-1 的奇次幂得-1； 在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对 值。 有理数混合运算法则： 先算乘方,再算乘除,最后算加减。 如果有括号,先算括号里面的。 第二章 字母表示数 代数式的概念：用运算符号（加、减、乘除、乘方、开方等）把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或 一个字母也是代数式。注意：代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； 代数式中不含有“=、”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般 都是代数式； 代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 代数
8、式的书写格式： 代数式中出现乘号，通常省略不写，如 vt； 数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如 4a； 带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后与字母相乘，如 应写作 ； a 3 1 2 a 3 7 数字与数字相乘，一般仍用“”号，即“”号不省略； 在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如 4（a-4）应写作 ；注意：分数线具有“”号和括 4 4 a 号的双重作用。 在表示和（或）差的代差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如 平方米 ) ( 2 2 b a 代数式的系数：代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数。如 3x,4y的系
9、数分别为 3，4。 a n a a a a 个 n a 指数 底数 幂第 3页注意：单个字母的系数是 1，如 a 的系数是 1； 只含字母因数的代数式的系数是 1或-1，如-ab 的系数是-1。a 3 b的系数是 1 代数式的项：代数式 表示 6x 2 、-2x、-7 的和，6x 2 、-2x、-7 是它的项，其中把不含字母的项叫做常数项 7 2 6 2 x x 注意：在交待某一项时，应与前面的符号一起交待。 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 注意：判断几个代数式是否是同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。这两个条 件缺一不可； 同类项与系
10、数无关，与字母的排列顺序无关； 几个常数项也是同类项。 合差同类项： 把代数式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 合并同类项的理论根据是逆用乘法分配律； 合并同类项的法则是把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。注意： 如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后结果为 0； 不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上； 只要不再有同类项，就是最后结果，结果还是代数式。 根据去括号法则去括号：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；括号前面是“”号去掉，括号里各 项都改变符号。 根据分配律去括号：括号前面是“+”号看成+1
11、，括号前面是“”号看成-1，根据乘法的分配律用+1 或-1 去乘括号里的每一项以达到去 括号的目的。 注意： 去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉； 去括号时，首先要弄清楚括号前是“+”号还是“”号； 改变符号时，各项都变号；不改变符号时，各项都不变号。 第三章 整式的运算 一. 整式 1. 单项式 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。 单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的性质符号,如 果一个单项式只是字母的积,并非没有系数. 一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 2.多项式 几个单项式的和叫做多项式.在多项式
12、中,每个单项式叫做多项式的项.其中,不含字母的项叫做常数项. 一个多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数. 单项式和多项式都有次数,含有字母的单项式有系数,多项式没有系数.多项式的每一项都是单项式,一 个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数.多项式中每一项都有它们各自的次数,但是 它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数,一个多项式的次数只有一个,它是所含各项的次数中最 高的那一项次数. 3.整式：单项式和多项式统称为整式.第 4页 其他代数式 多项式 单项式 整式 代数式 二. 整式的加减 1. 整式的加减实质上就是去括号后,合并同类项,运算结果是一个多项式或是单项式.
13、 2. 括号前面是“”号,去括号时,括号内各项要变号,一个数与多项式相乘时,这个数与括号内各项都 要相乘. 三. 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法法则: (m,n 都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要 n m n m a a a 注意以下几点: 法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数 a 可以是一个具体的数字式字母，也可 以是一个单项或多项式； 指数是 1时，不要误以为没有指数； 不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法， 不仅底数相同，还要求指数相同才能相加； 当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为 （其中
14、m、n、p均为正数）； p n m p n m a a a a 公式还可以逆用： （m、n 均为正整数） n m n m a a a 四幂的乘方与积的乘方 1. 幂的乘方法则： (m,n 都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆. mn n m a a ) ( 2. . ) , ( ) ( ) ( 都为正数 n m a a a mn m n n m 3. 底数有负号时,运算时要注意,底数是 a 与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底， 如将（-a） 3 化成-a 3 ). ( ), ( ) ( , 为奇数时 当 为偶数时 当 一般地 n a n a a n n n 4
15、底数有时形式不同，但可以化成相同。 5要注意区别（ab） n 与（a+b） n 意义是不同的，不要误以为（a+b） n =a n +b n （a、b 均不为零）。 6积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即 （n为正整数）。 n n n b a ab ) ( 7幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。 五. 同底数幂的除法 1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即 (a0,m、n 都是正数,且 n m n m a a a mn).第 5页 2. 在应用时需要注意以下几点: 法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且 0不能做除数,所以法则中 a0.
16、 任何不等于 0的数的 0次幂等于 1,即 ,如 ,(-2.5 0 =1),则 0 0 无意义. ) 0 ( 1 0 a a 1 10 0 任何不等于 0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的 p的次幂的倒数,即 ( a0,p是正整数), p p a a 1 而 0 -1 ,0 -3 都是无意义的;当 a0 时,a -p 的值一定是正的; 当 a0 时,a -p 的值可能是正也可能是负的,如 , 4 1 (-2) 2 - 8 1 ) 2 ( 3 运算要注意运算顺序. 六. 整式的乘法 1. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字 母，连同它
17、的指数作为积的一个因式。 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘 与指数相加混淆； 相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 2单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式 相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 单项式与多项式相乘，积是一个多
18、项式，其项数与多项式的项数相同； 运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 在混合运算时，要注意运算顺序。 3多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原 两个多项式项数的积； 多项式相乘的结果应注意合并同类项； 对含有同一个字母的一次项系数是 1的两个一次二项式相乘 ，其 ab x b a x b x a x ) ( ) )( ( 2 二次项系数为 1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数
19、项是两个因式中常数项的积。对于 一次项系数不为 1的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得到 ab x ma mb mnx b nx a mx ) ( ) )( ( 2 七平方差公式 1平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即 。 2 2 ) )( ( b a b a b a 其结构特征是： 公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；第 6页 ) (无限不循环小数 负有理数 正有理数 无理数 ) ( ) 3 2 , 2 1 ( ) 3 2 , 2 1 ( ) ( ) 3 , 2 , 1 ( ) 3 , 2 , 1 , 0 ( 无限循环小数 有
20、限小数 整数 负分数 正分数 小数 分数 负整数 自然数 整数 有理数 、 、 实数 公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。 八完全平方公式 1 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2倍，即 ； 口决：首平方，尾平方， 2倍乘积在中央； 2 2 2 2 ) ( b ab a b a 2结构特征： 公式左边是二项式的完全平方； 公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的 2倍。 3在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现 这样的错 2 2 2 ) ( b a b a 误。 九整式的除法
21、1单项式除法单项式 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连 同它的指数作为商的一个因式； 2多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项 式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注 意符号。 第四章 实数（二次根式） 算术平方根：一般地，如果一个正数 x的平方等于 a，即 x 2 =a，那么正数 x叫做 a的算术平方根，记 作 。0的算术平方根为 0；从定义可知，只有当a0时,a才有算术平方根。 a 平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a，即 x
22、 2 =a，那么数 x就叫做 a的平方根。 正数有两个平方根（一正一负） ；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。 正数的立方根是正数；0的立方根是 0；负数的立方根是负数。 注意三点：1）二次根式的被开方数必须非负（a0） 2)二次根式 为a的算术平方根,即 0 a a 3）据平方根的定义知（ ） 2 =a (a0） a ) 0 , 0 ( 0 , 0 b a b a b a b a ab b a第 7页 （注：1、被开方数是小数时必须化为分数 2、比较大小时一定化为同类数。3、无理数有： 类，开 方开不尽的，无限不循环的） 第五章 一元一次方程 在一个方程中，只含有一个未知数 x（
23、元） ，并且未知数的指数是 1（次）,这样的方程叫做一元一次方程。 必须满足三个条件：只有一个未知数 未知数的指数是1 未知数的系数不为0 等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式。 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为 0的数） ，所得结果仍是等式。 解方程的步骤：解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1等几个 步骤，把一个一元一次方程“转化”成 x=m 的形式。 第六章 一元一次不等式和一元一次不等式组 一. 不等关系 1. 一般地,用符号“”(或“”)连接的式子叫做不等式. 2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不
24、等式表示的是不相等的关系. 3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数” 、 “不小于”等数学术语. 非负数 大于等于 0(0) 0 和正数 不小于 0 非正数 小于等于 0(0) 0 和负数 不大于 0 二. 不等式的基本性质 1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用: (1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果ab,那么a+cb+c, a-cb-c. (2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果ab,并且c0,那么acbc, . c b c a (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果ab,并
25、且cb,那么 a-b 是正数;反过来,如果 a-b 是正数,那么 ab; 如果 a=b,那么 a-b 等于 0;反过来,如果 a-b 等于 0,那么 a=b; 如果 ab a-b0 a=b a-b=0 a a-b0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.) 三. 不等式的解集: 1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不 等式的解集的过程,叫做解不等式. 2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.第 8页 3. 不等式的解集在数轴上的表示: 用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:
26、边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈; 方向:大向右,小向左 四. 一元一次不等式: 1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是 1. 像这样的不等式叫做一元一次不 等式. 2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不 等号要改变方向. 3. 解一元一次不等式的步骤: 去分母; 去括号; 移项; 合并同类项; 系数化为1(不等号的改变问题) 4. 一元一次不等式基本情形为 axb(或 ax0时,解为 ; 当a=0,且bbba 两大取较大 b x a x xaba 两小取小第 9页 b x a x axbba 大小交叉
27、中间找 b x a x 无解ba 在大小分离没有解 (是空集) 第七章 二元一次方程组 含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1的方程叫做二元一次方程。 两个一次方程所组成 的一组方程叫做二元一次方程组。 二元一次方程必须满足三个条件：必有二个未知数 未知数的指数是1 未知数的系数不为 0 解二元一次方程组：代入消元法； 加减消元法（无论是代入消元法还是加减消元法，其目的 都是将“二元一次方程”变为“一元一次方程” ，所谓之“消元” ）换元法 解方程组： 4/(3x-2y)+3/(2x-5y)=10 说明：有(3x-2y)和(2x-5y)相同项，可设3x-2y=a 2x-5y=b 解5
28、/(3x-2y)+2/(2x-5y)=1 常量法 已知：2x+5y+4z=6 求x+y-z的值 3x+y-7z=-4 说明：方程特点：方程少，未知数多时，假定其中一个未知数为已 知。 在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问 题为 x或 y；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑） ；寻找等量关系（一般地， 题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程） 。 处理问题的过程可以进一步概括为： 解答 检验 求解 组 方程 抽象 分析 问题 ) ( 第八章 分解因式 一. 分解因式 1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式
29、,这种变形叫做把这个多项式分解因式. 2. 因式分解与整式乘法是互逆关系. 因式分解与整式乘法的区别和联系: (1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 二. 提公共因式法 1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘 积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如: ) ( c b a ac ab 2. 概念内涵: (1)因式分解的最后结果应当是“积”; (2)公因式可能是单项式,也可能是多项式; (3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的 分配律,即: ) ( c b a m mc mb
30、 ma 第 10页 3. 易错点点评: (1)注意项的符号与幂指数是否搞错; (2)公因式是否提“干净”; (3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉. 三. 运用公式法 1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法. 2. 主要公式: (1)平方差公式: ) )( ( 2 2 b a b a b a (2)完全平方公式: 2 2 2 ) ( 2 b a b ab a 2 2 2 ) ( 2 b a b ab a 3. 易错点点评: 因式分解要分解到底.如 就没有分解到底. ) )( ( 2 2 2 2 4 4 y x y
31、 x y x 4. 运用公式法: (1)平方差公式: 应是二项式或视作二项式的多项式; 二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方; 二项是异号. (2)完全平方公式: 应是三项式; 其中两项同号,且各为一整式的平方; 还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍. 5. 因式分解的思路与解题步骤: (1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法; (3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再
32、分解为止. 四. 分组分解法: 1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.如: ) )( ( ) ( ) ( n m b a n m b n m a bn bm an am 2. 概念内涵: 分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否 可利用公式法继续分解因式. 3. 注意: 分组时要注意符号的变化. 五. 十字相乘法:第 11页 1.对于二次三项式 ,将 a 和 c 分别分解成两个因数的乘积, , , 且满足 c bx ax 2 2 1 a a a 2 1 c c c ,往往写成c2a2c1a1的形式,将二次三项式进行分解. 如:
33、 1 2 2 1 c a c a b ) )( ( 2 2 1 1 2 c x a c x a c bx ax 2. 二次三项式 的分解: q px x 2ab q b a p ) )( ( 2 b x a x q px x 3. 规律内涵: (1)理解:把 分解因式时,如果常数项 q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号 q px x 2 与一次项系数 p的符号相同. (2)如果常数项 q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数 p的 符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数 p. 4. 易错点点评: (1)十字相乘法在对系数分解时
34、易出错; (2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确. 第九章 一元二次方程 只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为 （a、b、c 为常数，a0）的形式，这样的方程叫一 0 2 c bx ax 元二次方程。 注意四点：一个未知数 未知数最高次数是2 为整式方程 a0 须特别注意。 把 （a、b、c 为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b 为一次项系数； 0 2 c bx ax c 为常数项。 解一元二次方程的方法：配方法 公式法 （注意在找a、b、c时须先把方程化为一般形式） a ac b b x 2 4 2 分解因式法 把方程的一边变成
35、0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。 （主要包 括“提公因式”和“十字相乘” ） 配方法解一元二次方程的基本步骤：把方程化成一元二次方程的一般形式； 将二次项系数化成1； 把常数项移到方程的右边； 两边加上一次项系数的一半的平方； 把方程转化成 的形式； 0 ) ( 2 m x 两边开方求其根。 根与系数的关系：当b 2 -4ac0时，方程有两个不等的实数根； 当b 2 -4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b 2 -4ac0时，方程无实数根。ba11第 12页 如果一元二次方程 的两根分别为 x 1 、x 2 ，则有： 。 0 2 c bx ax a c x x a b x x 2
36、 1 2 1 一元二次方程的根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根； （2）不解方程，求二次方程的根 x 1 、x 2 的对称式的值，特别注意以下公式： 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 ) ( x x x x x x 2 1 2 1 2 1 1 1 x x x x x x 2 1 2 2 1 2 2 1 4 ) ( ) ( x x x x x x 2 1 2 2 1 2 1 4 ) ( | | x x x x x x | | 2 2 ) ( |) | | (| 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 x x x x x x x x 其他能用 或 表达的代数式。 ) (
37、3 ) ( 2 1 2 1 3 2 1 3 2 3 1 x x x x x x x x 2 1 x x 2 1 x x （3）已知方程的两根 x 1 、x 2 ，可以构造一元二次方程： 0 ) ( 2 1 2 2 1 x x x x x x （4）已知两数 x 1 、x 2 的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程 的根 0 ) ( 2 1 2 2 1 x x x x x x 在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为 x；但也有 时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑） ；寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句 子，只
38、须找到此句话即可根据其列出方程） 。 处理问题的过程可以进一步概括为： 解答 检验 求解 方程 抽象 分析 问题 第十章 分式（方程必须验根） 一. 分式 1. 两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.整式 A 除以整式 B,可以表示成 的形式.如果除式 B 中含有字母,那么称 为分式,对于任意一个分 B A B A 式,分母都不能为零.（） 2. 整式和分式统称为有理式,即有： 分式 整式 有理式 3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.) 0 ( ,
39、 M M B M A B A M B M A B A 4. 一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它 的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分. 二. 分式的乘除法 1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以分式,把除式的分子、分母颠 倒位置后,与被除式相乘. 即: , BD AC D C B A C B D A C D B A D C B A 2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方.第 13页 即: 逆向运用 ,当 n为整数时,仍然有 成立. ) ( 为正整数 n B A B A n n n n n n
40、 B A B A n n n B A B A 3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式. 三. 分式的加减法 1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相 等的同分母的分式,叫做分式的通分. 2. 分式的加减法:分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减. (1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减; 上述法则用式子表示是: C B A C B C A (2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减; 上述法则用式子表示是: BD BC AD BD BC BD AD D C B A
41、3. 概念内涵: 通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分 母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解. 四、分式的值为零时必须满足的条件：分子的值为零，分母的不为零。 五、典型题型：由 x 2 -3x+1=0 求 x 2 +1/x 2 =? （已知两边同除 X） 由 x+x -1 =3 求 x 2 -x -2 =? （两边平方） 分式分子、分母同次时裂项法求解，否则有二次出现(5-2x)/(2x-3)=(4-3x)/(3x-2) 六. 分式方程 1. 解分式方程的一般步骤: 在方程的两边都乘最简公分
42、母,约去分母,化成整式方程; 解这个整式方程; 验根：把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根, 必须舍去.（） 2. 列分式方程解应用题的一般步骤: 审清题意; 设未知数; 根据题意找相等关系,列出(分式)方程; 解方程,并验根;（） 写出答案.二、平面几何 第一章 平面图形及位置关系 一. 线段、射线、直线 1. 正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别： 名称 图形 表示方法 端点 长度第 14页 直线lBA 直线 AB(或 BA) 直线 l 无端点 无法度量 射线MO 射线 OM 1个 无法度量 线段lBA 线段 AB(或 BA) 线段 l 2
43、个 可度量长度 2. 直线公理:经过两点有且只有一条直线. 二.比较线段的长短 1. 线段公理:两点间线段最短;两之间线段的长度叫做这两点之间的距离. 2. 比较线段长短的两种方法: 圆规法; 刻度尺度量法 .叠合法 3. 用刻度尺可以画出线段的中点,线段的和、差、倍、分; 用圆规可以画出线段的和、差、倍. 三求线段的长： 逐步计算求线段的长， 用字母代换求线段的长， 构造方程求长。 经过两点有且只有一条直线。 两点之间的所有连线中，线段最短。 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
44、 互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 如图 8所示，过点 C 作直线 AB 的垂线，垂足为 O 点，线段 CO 的长度叫做点 C 到直线 AB 的距离。 四.角的度量与表示 1=60 1=60” 1. 角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角; 这个公共端点叫做角的顶点; 这两条射线叫做角的边. 2. 角的表示法：角的符号为“” 用三个字母表示，如图 1所示AOB 用一个字母表示，如图 2所示b 用一个数字表示，如图 3所示1 用希腊字母表示，如图 4所示 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。如图 5所示： 一条射线绕它的端点旋转，当
45、终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。如图 6所示： 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角。如图 7所示： 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 第二章 相交线与平行线 一台球桌面上的角 1互为余角和互为补角的有关概念与性质 如果两个角的和为 90（或直角），那么这两个角互为余角； 如果两个角的和为 180（或平角），那么这两个角互为补角； 注意：这两个概念都是对于两个角而言的，而且两个概念强调的是两个角的数量关系，与 两个角的相互位置没有关系。 它们的主要性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。 二探索直线平行的条件
46、 两条直线互相平行的条件即两条直线互相平行的判定定理，共有三条： A O B 图 1 b 图 2 终边 始边 图 5 平角 图 6 周角 图 7 图 8 C A B O 1 图 3 图 4第 15页 同位角相等； 内错角相等； 同旁内角互补。 平行公理：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。 三平行线的特征 平行线的特征即平行线的性质定理，共有三条： 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补。 四用尺规作线段和角 1关于尺规作图：尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。 2关于尺规的功能 直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。 圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任
