1、四年级 秋季 第六讲 周艳丽第 1 页 共 10 页周期问题周期问题：总数循环节长度 没余数 最后一个数是循环节中的最后一个数有余数 最后一个数余几就是循环节中的第几个数寻找循环节：枚举、推算重复数字，奇偶性 题目类型 1 数字串：重复数字，奇偶性2 日期问题：一周七天，闰年3 末位数字：a n 0、1、5、6 个位是本身4、9 2 个一循环2、3、7、8 4 个一循环客观世界中存在一些数、图形和事物，它们的变化是具有周而复始循环出现的，我们把具有这种规律性的问题称为周期问题。我们把连续两次出现所经过的时间叫做周期，研究周期问题，就要发现问题的周期性和确定周期，从而解决有关问题。确定周期有时可
2、采用枚举法，将某一变化过程按要求一直进行下去，从而找到变化的周期；有时还可采用图表法，通过画图来确定周期。周期问题，主要是通过探索规律，寻找周期，以此培养学生的探索能力、观察能力、总结归纳能力。课前回顾在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如第一组为“共社”第二组为“产会” ，那么第 340 组是什么？共产党好共产党好共产党好社会主义好社会主义好社会分析：方法一 每一列 20 组一循环，34020=17，没余数，循环中的最后一个“好好”共产党好共产党好共产党好共产党好共产党好共产党好共产党好共产党好社会主义好社会主义好社会主义好社会主义好社会主义好社会主义好社会方法二 第一列，4 个一
3、循环，3404=85，是循环中的最后一个数“好”第一列，5 个一循环，3405=68，是循环中的最后一个数“好”1 数字串问题重复数字奇偶性：奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数四年级 秋季 第六讲 周艳丽第 2 页 共 10 页奇数+偶数=奇数铺垫：在下面的一串数：8、7、4、9、0、3、2、5、0、7、2、9中，从第四个数起，每个数都是它前面三个数之和的个位数字，那么在这串数中，能否出现相邻的四个数依次是 2、5、9、8？分析：观察数字串奇偶性：偶奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶奇，2、5、9、8 的奇偶性为偶奇奇偶，不可能出现。思考：为什么会出现这串数字的奇偶性特征呢？从第四个数起，每个数都是它前面三个
4、数之和的个位数字则第四个数为 偶+奇+偶 偶数第五个数为 奇+偶+偶 奇数第六个数为 偶+奇+偶 偶数我们发现出现这样的奇偶性特征是必然的，原因就是因为题目所给的要求和起始数字共同决定的。例 1 在下面的一串数1、9、9、9、8、5、1、3、7、6、7、3、3、9、2、7、1、9、9、6中，从第五个数都是它前面四个数字之和的个位数字。那么在这串数中，能否出现相邻的四个数依次是 2、5、9、8？分析：观察数字串奇偶性：奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶，奇偶性四奇一偶五个一循环，2、5、9、8 的奇偶性为偶奇奇偶，不可能出现。思考：为什么会出现这串数字的奇偶性特征呢？从第五个数起，每个数都是它前面四
5、个数之和的个位数字则第五个数为 4 奇 偶数第六个数为 3 奇+偶 奇数第七个数为 3 奇+偶 奇数第八个数为 3 奇+偶 奇数第八个数为 3 奇+偶 奇数第九个数为 4 奇 偶数我们发现出现这样的奇偶性特征是必然的，原因就是因为题目所给的要求和起始数字共同决定的例 2 如图，用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 7 种彩笔，在一张方格纸中自左上到右下的斜行里按顺序循环涂色，求第 20 行 30 列交叉处所涂得颜色？红 橙 黄 绿 橙 黄 绿黄 绿绿四年级 秋季 第六讲 周艳丽第 3 页 共 10 页分析：方法一：第一行的循环节：红橙黄绿青蓝紫第二行的循环节：橙黄绿青蓝紫红第三行的循环节：黄绿青蓝紫红
6、橙列也又这样的循环节：第一行的循环节：红橙黄绿青蓝紫第二行的循环节：橙黄绿青蓝紫红第三行的循环节：黄绿青蓝紫红橙第一行的第三十个格子：307=42 循环节中的第 2 个 橙色第三十列的第一个是橙色的，则第三十列的循环节：橙黄绿青蓝紫红第三十列的第 20 个：207=26 循环节中的第 6 个数，为紫色方法二：观察发现：第 1 行，第 5 列 青色第 2 行，第 4 列 青色第 3 行，第 3 列 青色第 4 行，第 2 列 青色第 5 行，第 1 列 青色如果两个方格行号与列号的和相同，涂的颜色也相同。比较好找的是第一行的颜色，20+30=1+49第 20 行第 30 列的颜色，应该和第 1
7、行第 49 列颜色相同497=7 循环节中的最后一个 紫色学案 1（尖） 请在下图中每个方格中填一个数，使横行任意三个相邻方格内的数字之和都是 15，数列在意三个相邻方格内的数字之和都是 18分析：已给出数字的格子就是我们的线索要对已给数字的格子周围利用每 3 个相邻数字之和是 15 和 18，进行分析。横行最左端给出了 5，那么和它挨着的两个格子的和是10，接着的格子就应该是 5，我们发现隔两个应该填的是 5。同理，竖着的格子中隔两个就有一个 3，再看最底下的 8 和 3 可以导出倒数第三个位7，以此类推往上推倒，再横着推倒即可导出所有格子。（提）请在下图中每个方格中填一个数，使横行任意三个
8、相邻方格内的数字之和都四年级 秋季 第六讲 周艳丽第 4 页 共 10 页是 10，数列在意三个相邻方格内的数字之和都是 10分析：已给出数字的格子就是我们的线索要对已给数字的格子周围利用每 3 个相邻数字之和都是 10，进行分析。横行最左端给出了 3，那么和它挨着的两个格子的和是7，接着的格子就应该是 3，我们发现隔两个应该填的是 3。同理，竖着的格子中隔两个就有一个 2，再看最底下的 6 和 2 可以导出倒数第三个位 2，以此类推往上推倒，再横着推倒即可导出所有格子。（基）如图，有一个 11 位数，它的每 3 个相邻数字之和都是 20。问标有*的那个数位上的数字应该是几？分析：已给出数字的
9、格子就是我们的线索要对已 给数字的格子周围利用每 3 个相邻数字之和都是20，进行分析。我们发现隔两个应该填的是 9最后看 9 和 7 可以依次往前导出 4例 3 甲、乙、丙、丁四个停车场放着 10、7、5、4 辆车。从停放汽车最多的车厂中往另外三个车场个开去一辆汽车，称为一次调整，那么经过 1998 这样的调整后，甲场中停放着多少辆汽车？分析：题目并没有给出明显的数字串或者图形，但给了我们每一次调整的规则：从停放汽车最多的车厂中往另外三个车场个开去一辆汽车。那么我们需要通过推算的方式，观察是否有规律：我们发现，从第 5 次调整开始又回到了第一次调整后的状态，即，四次一循环。19984=499
10、2，第 1998 次调整和第二次的状态一样，则，甲场中停放车辆为 8 台调整次数 1 2 3 4 5甲：10 7 8 5 6 7乙：7 8 5 6 7 8丙：5 6 7 8 5 6丁：4 5 6 7 8 52 日期问题头尾四年级 秋季 第六讲 周艳丽第 5 页 共 10 页一周 7 天闰年：四年一闰，百年不闰，四百年再闰；即被 4 整出，整百被 400 整除的是闰年关于公历闰年是这样规定的：地球绕太阳公转一周叫做一回归年，一回归年长365 日 5 时 48 分 46 秒。因此，公历规定有平年和闰年，平年一年有 365 日，比回归年短 0.2422 日，四年共短 0.9688 日，故每四年增加一
11、日，这一年有 366 日，就是闰年。但四年增加一日比四个回归年又多 0.0312 日,400 年后将多 3.12 日,故在 400年中少设 3 个闰年,也就是在 400 年中只设 97 个闰年，这样公历年的平均长度与回归年就相近似了。由此规定：年份是整百数的必须是 400 的倍数才是闰年。四年一闰，百年不闰，四百年再闰。所以 2000 年是闰年,2100 年不是闰年。例 4 已知 1989 年 4 月 8 日是星期五，之后的哪一年，4 月 8 日才首次又是星期五？（讲义中有误，若是 1998 年则应为 2005 年 4 月 8 日又是星期五）分析：一个循环节为六、日、一、二、三、四、五（注意，
12、不算开头的 4 月 8 日，从 4 月 9 日开始算）平年 1 年 365 天，3657=521，每年星期往后错一个，即1990 年 4 月 8 日为星期六，1990 年为星期日。闰年 1 年 366 天 3667=522，往后错 2 天。1990、1991 年均是平年，1992 年闰年，1+1+2+1+1=7，所以需要再过5 年，1989+5=1994，即 1994 年 4 月 8 日首次又是星期五。学案 2（基）甲、乙、丙三名同学每天早晨轮流为李奶奶取牛奶，甲第一次取奶是星期一，那么甲第 100 次取奶是星期_。分析：甲取奶的星期为（一、四、日、三、六、二、五、 ）一、四，7 次一循环。1
13、007=142，即循环节中的第二个为星期四。（提）奶奶告诉小明：“2006 年共有 53 个星期日。 ”聪明的小明立即回答：“2007年元旦一定是星期（ ） ”分析：2006 年是平年一年有 365 天，3657=521，只有 52 个星期，题目说有53 个周日，即余的一天为周日，即 2006 年 12 月 31 日为星期日，2007 年元旦一定是星期一。（尖）我国 1997 年 7 月 1 日收回对香港的主权，这天正好是星期二，那么到 2007年 7 月 1 日十周年庆祝时时星期几？分析：1998、1999、2001、2002、2003、2005、2006、2007 为平年 365 天，36
14、57=521 星期后错一天。2000、2004 为闰年, 3667=522 星期后错 2 天。即共后错 18+22=12 天，一个循环为（三、四、五、六、日、一、二） ，四年级 秋季 第六讲 周艳丽第 6 页 共 10 页127=15，即为周日。3 末位数字积的个位数字为乘数的个位的积的个位。从表看出，a n的个位数字的变化规律可分为三类：（1）当 a 的个位数是 0，1，5，6 时，a n的个位数仍然是 0，1，5，6。（2）当 a 的个位数是 4，9 时， a n的个位数按每两个数为一周期循环出现。其中 a 的个位数是 4 时，按 4，6 的顺序循环出现；a 的个位数是 9 时，按 9，1
15、 的顺序循环出现。（3）当 a 的个位数是 2，3，7，8 时，随着 n 的增大，a n的个位数按每四个数为一周期循环出现。其中 a 的个位数是 2 时，按 2，4，8，6 的顺序循环出现；a 的个位数是 3 时，按 3，9，7，1 的顺序循环出现；当 a 的个位数是 7 时，按7，9，3，1 的顺序循环出现；当 a 的个位数是 8 时，按 8，4，2，6 的顺序循环出现。an的个位数字的变化规律，如下表：例 5 2007 个 2 连乘 222，乘积的末位数是几？分析：1 个 2 的个位是 2，2 个 2 的积的个位是 4，3 个 2 的积的个位是 8，4 个 2 的积的个位是 65 个 2
16、的积的个位是 2，即 2n的个位是（2、4、8、6）4 个一循环20074=5013，即 2007 个 2 连乘 222，乘积的末位数是 8。学案 3 （基） （2007 年湖北省“创新杯”改编试题）21222324220082 乘积的末两位数是几？分析：积的末 2 位数字为乘数的末 2 位的积的末 2 位。21222324220082 共（20082-2）10+1=2009 个数四年级 秋季 第六讲 周艳丽第 7 页 共 10 页积的末 2 位分别是：02、 （04、08、16、32、64、28、56、12、24、48、96、92、84、68、36、72、44、88、76、52、 ）04、0
17、8除“02”外 20 个一循环。（2009-1）20=1008，即 21222324220082 乘积的末两位数是12。（提）2006 个 123 连乘的积的末位数字是几？分析：积的个位数字为乘数的个位的积的个位。2006 个 123 连乘的积的末位数字是2006 个 3 连乘的末尾数字1 个 3 的个位是 3，2 个 3 的积的个位是 9，3 个 3 的积的个位是 7，4 个 3 的积的个位是 1，5 个 3 的积的个位是 3，即 3n的个位是（3、9、7、1）4 个一循环20064=5012，即 2006 个 123 连乘的积的末位数字是 9。（尖） （2007 年湖北省“创新杯”改编试题
18、）2011 个 2 连乘，222 乘积的末两位数是几？分析：积的末 2 位数字为乘数的末 2 位的积的末 2 位。积的末 2 位分别是：02、 （04、08、16、32、64、28、56、12、24、48、96、92、84、68、36、72、44、88、76、52、 ）04、08除“02”外 20 个一循环。（2011-1）20=10010，即 2011 个 2 连乘乘积的末 2 位数是 48。例 6 2008 年第 29 届奥运会将在北京举办，则 20082009的个位数字是多少？分析：即求 2009 个 2008 连乘的个位数字，即求 2009 个 8 连乘的个位数字。1 个 8 的个位是
19、 8，2 个 8 的积的个位是 4，3 个 8 的积的个位是 2，4 个 8 的积的个位是 65 个 8 的积的个位是 8，即 8n的个位是（8、4、2、6）4 个一循环20094=5021，即 2009 个 8 连乘乘积的末位数是 8。学案 4（基）求 67999的个位数字。分析：67 999的个位数与 7999的个位数相同。7 999的个位是（7、9、3、1）4 个一循环。99942491 知，67 999的个位 7。四年级 秋季 第六讲 周艳丽第 8 页 共 10 页（提）求 291+3291的个位数字分析：2 91的个位数是（2、4、8、6）4 个一循环。914223 知，2 91的个
20、位 8。3 291的个位数是（3、9、7、1）4 个一循环。2914723，3 291的个位为 7。8+715。2 91+3291个位数字为 5。（尖）求 28128-2929的个位数字。分析：28 128的个位数与 8128的个位数相同。8 128的个位是（8、4、2、6）4 个一循环。128432 知，28 128的个位 6。29 29的个位数与 929的个位数相同。9 29的个位是（9、1）2 个一循环。292141，29 29的个位为 9。因为 69，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为 1697。28 128-2929的个位数字为7。家庭作业1 已知一列数：5、4、7、1、2、5
21、、4、3、7、1、2、5、4、3、7、1、2、5、4、3、，由此可推出第 2008 个数是_.分析：观察数列发现，除前两个数字之外，7、1、2、5、4、3、六个数一循环，（2008-2）6=3342，所以第 2008 个数是 1.2 在下面的一串数 5、2、7、9、6、5、1、6、7、3、0、3、中，从第三个数气，每个数都是前面二个数之和的个位数字。那么在这串数中，能否出现相邻的五个数一次为 2、3、5、9、8？分析：观察发现这串数的奇偶性为奇、偶、奇、奇、偶、奇、奇、偶、奇、奇、偶、，除前 2 项外，即以 3 为周期，按两奇一偶循环出现，2、3、5、9、8 的奇偶性为偶、奇、奇、奇、偶，所以
22、不能出现。3 请在下图中每个方格中填一个数，使横行任意三个相邻方格内的数字之和都为 8，竖列任意三个相邻方格内的数字之和都是 10.分析：同学案 1，以已给数字为突破口，利用相邻三个数和为 8 或 10 推导。四年级 秋季 第六讲 周艳丽第 9 页 共 10 页4 求 799的个位数字。分析： 799的个位数是（7、9、3、1）4 个一循环。994243 知，7 99的个位是3。5 求 29+1329的个位数字分析：2 9的个位数是（2、4、8、6）4 个一循环。9421 知，2 9的个位2。13 29的个位数是 329的个位数，（3、9、7、1）4 个一循环。29471，13 29的个位为
23、3。2+3=5，2 9+1329数字为 5。拓展题目1 王师傅在某个特殊岗位上工作，他每上 8 天班后，就连续休息 2 天。如果这个星期六和星期天他休息，那么，至少再过几周后他才能又在星期天休息？分析：王师傅再休息就是（+6+二三+6+五六+6+一二+6+四五+6+日一+6+三四+6+六日）这样的循环，10 天一循环，第 5 个循环的倒数第二天为周日休息，即 49 天，7 个星期后，王师傅又再周日休息。2小学生数学报每星期五出版一期，已知 1994 年 10 月份第一期是 10 月 7 日出版的，那么 1995 年 1 月份第一期应该在哪一天出版？分析：从 1994 年 10 月 7 日到 1
24、994 年 12 月 31 日共(31-7)+30+31=85 天，一个循环节（六日一二三四五）857=121，即 1994 年 12 月 31 日周六1 月份的第一个星期五是 1 月 6 日。3 有一个一千位数，他的各个数位数字都是 1，问这个数被 7 除的余数是几？分析：推算，找出循环节17=01117=141117=15611117=1585111117=158721111117=15873011111117=1587301余数（1、4、6、5、2、0）6 个一循环10006=1664，即余数为 54 若 20082009表示 2009 个 2008 连续相乘，2009 2008表示 2
25、008 个 2009 连乘，则2008200920092008的个位数是_。四年级 秋季 第六讲 周艳丽第 10 页 共 10 页分析：2008 2009的个位数字为 2009 个 8 连乘的个位数字。8 n的个位是（8、4、2、6）4 个一循环 20094=5021，即 2009 个 8 连乘乘积的末位数是8。2009 2008的个位数字为 2008 个 9 连乘的个位数字。9 n的个位是（9、1）2 个一循环 20082=1004，即 2008 个 9 连乘乘积的末位数是 1。2008 200920092008的个位数字为 81=85 有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔 2 人发一
26、个苹果，从右面第一人开始每隔 4 人发一个桔子，结果有 10 个小朋友苹果和桔子都拿到。那么这些小朋友最多有多少人？分析：由于 3 和 5 的最小公倍数位 15，所以每 15 个小朋友中有一个苹果和句子都拿到，因此苹果和橘子都拿到的 10 个小朋友之间共有 15（10-1）+1=136 人，他们的左边最多又 4 个小朋友拿到苹果，左边最多有 12 人，而右边最多有 2 个小朋友拿到橘子，右边最多 10 人，因此最多有 158 人。6 500 名士兵排成一列横队.第一次从左到右 1、2、3、4、5（1 至 5）名报数；第二次反过来从右到左 1、2、3、4、5、6（1 至 6）报数，既报 1 又报
27、 6 的士兵有多少名？分析：第一次报数：1234512345123451234512345第二次报数：4321654321654324321654321即每 56=30 个人组成一个循环，而从左起每 45+1=21 个人位第一个既报1 又报 6 的人， （500-20）30=16，所以 500 个人中有 16 个既报 1 又报 6 的人。7 有一列数，第一个是 105，第二个是 85，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数。那么，第 19 个数的整数部分是多少？ 分析：第 3 个数=（105+85）/2=95；第 4 个数=（85+95）/2=90；第 5 个数=（95+90）/2=92.5；第 6 个数=（90+92.5）/2=91.25；第 7 个数=（92.5+91.2 5）/2=91.875；后面的数都在 91.25-91.875 之间，整数部分均为 91。
