1、高三数学试题 第 1 页（ 共 17 页）常州市 20102011 学年度第一学期期末质量调研高三数学试题 2011 年 1 月命题单位：常州市教育教研室 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1若 (其中 ， 为虚数单位)，则 的值是 (i)125iaaRia2从集合 中任取两个不同的元素 、 ，则事件“乘积 ”的概率为 ,0b0b 3函数 的单调递增区间是 ()sin2)()42fxx 4某学校为了了解学生每周在校用餐的开销情况，抽出了一个容量为 500 的学生样本，已知他们的开销都不低于20 元且不超过 60 元，样本的频率分布直方
2、图如图所示，则其中支出在 元的同学有 人 50,65已知函数 则 = 1(),0,2xff2(1log3)f 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题） 本卷满分160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚4. 如需作图
3、，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔元20 30 40 50600.010.0360.024频率组距（第 4 题图）高三数学试题 第 2 页（ 共 17 页）6如图所示的算法流程框图中，若输入 ， ，则最后输出4a8b的 的值是 a7已知数列 的前 项和为 ，若 ，则nnS31()nN的值为 2091a8已知定义在 上的奇函数 满足 ，且R()fx(4)(ffx时， ，则 的值为 (0,2)x2()1fx7f9设 、 是夹角为 的两个单位向量已知 ， ，1e2061OMe2N（ ， 为实数）
4、若 是以 为直角顶点的直角三角形，则OPxMyNxyP取值的集合为 10在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的焦点到一条渐近线xOy21(0,)xyab的距离为 4，若它的一条渐近线恰好是曲线 在原点处的切线，则双曲线的32x标准方程为 11给出下列四个命题:（1） “直线 直线 ”的必要不充分条件是“ 平行于 所在的平面” ；abab（2） “直线 平面 ”的充要条件是“ 垂直于平面 内的无数条直线” ；ll（3） “平面 平面 ”是“ 内有无数条直线平行平面 ” 的充分不必要条件；a（4） “平面 平面 ”的充分条件是“有一条与 平行的直线 垂直于 ”.abalb上面命题中，所有真命题的序号
5、为 12已知实数 满足 则 的最大值为 ,xy1,29,0x 214zxy13在平面直角坐标系 中，若与点 的距离为 1 且与点 的距离为 3 的直线O(,)A(,0)Bm恰有两条，则实数 的取值范围为 m14若对任意的 ，均有 成立，则称 为 到 在区间xD12()()fxffx ()fx1f2()fx上的“折中函数” 已知 ， ， ，且 是1fk0glnhf（第 6 题图）高三数学试题 第 3 页（ 共 17 页）到 在区间 上的“折中函数” ，则实数 的取值范围为 ()gxh1,2ek二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或
6、演算步骤15 （本小题满分 14 分）在ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c，且 28os1bCa（1）求 的值；1tant（2）若 ，求 及 的值85tant16 （本小题满分 14 分）如图，直四棱柱 的底面 ABCD1ABCD是菱形，ADC= ， ，点 分别0121O、是上下底菱形对角线的交点 （1）求证： 平面 ；1AO1CBD（2）求点 O 到平面 的距离17 （本小题满分 14 分）18 （本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 中，椭圆 C： （ ）的右焦点为xOy21xyab0a，离心率等于 ，过焦点 F、倾斜角为 的直线 交椭圆于 M、N 两(4,0)Fm0
7、.8l点（1）若 为常数，求椭圆 C 的标准方程；（2）若 时， ，求实数 ；091529MFNmABCD1A1B1C1DOO（第 16 题图）高三数学试题 第 4 页（ 共 17 页）（3）试问 的值是否与 的大小无关，并证明你的结论1MFN19 （本小题满分 16 分）已知数列 满足 ， ，当 ， 时，na121a3n N132()n（1）求数列 的通项公式；na（2）是否存在 ，使得 时，不等式 对任意实数kNkn (21)84nnSa恒成立？若存在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由0,（3）在 轴上是否存在定点 ，使得三点 、xA5(,)naP、 （其中 是互不相等的正整数且 ）到
8、定点5(,2)maP5(,2)kaknmk、 2mk的距离相等? 若存在，求出定点 及正整数 ；若不存在，说明理由A k、20 （本小题满分 16 分）已知 为实数，函数 ，函数 ，令函数 a()1)exfxa1()gax()()Fxfgx（1）若 ，求函数 的极小值；f（2）当 时，解不等式 ；12a()1Fx（3）当 时，求函数 的单调区间0高三数学试题 第 5 页（ 共 17 页）常 州 市 201201学 年 度 第 一 学 期 期 末 质 量 调 研 高 三 数 学 试 题 参 考 答 案 一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 70分 1
9、2 2 3 3 0,8 4 150 5 83 6 96 7 103 8 2 9 1 10 146xy 1 （ 3） （ 4） 12 13 (2,)(,) 14 2 二 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6小 题 ， 共 计 90分 解 答 时 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 15 （ 本 小 题 满 分 14分 ） 解 ： （ 1） 28cosbCa， 224sinbCa A为 三 角 形 内 角 ， 0 si 2分 siniabB， sinBaA 2siC 4分 A， sii()sincosinCAC sincon= 6分 0， 11tat2A 8分 （
10、 2） 11tant2AC， ntC 10分 B， tanttt()1A2tan 28a15tntC， 整 理 ， 得 2t8t160C 12分 解 得 ， 4 n4 14分 16 （ 本 小 题 满 分 14分 ） （ 1） 证 明 ： A 且 1=C， C 1且 = 2分 1O、分 别 是 1、 的 中 点 ， O 1A且 C=1O 四 边 形 1A为 平 行 四 边 形 1 4分 高三数学试题 第 6 页（ 共 17 页）又 平面 ， 平面 ，1AO1CBD1O1CBD 平面 6 分（2）法一：等积变换设点 O 到平面 的距离为 h1CB 平面 ABCD， 1D1DCOAC、BD 为菱形
11、 ABCD 的对角线，COBD ，1B 平面 8 分CO1D在菱形 ABCD 中，BC=1，BCD= ， 0632CO ， ， 的面1B2115+4B 1OBD积 12ODSA三棱锥 的体积 11 分1C1332OBDVSCA在 中， ， 的面积 1B12,1174CBDSA由 = ，得 1734CDVShA 7h因此，点 O 到平面 的距离为 14 分1法二、作垂线 平面 ， 1A1BC1ABD 、 为菱形 的对角线， D1 11AC ， 平面 11C平面 平面 8 分CB1A在平面 内，作 ， 为垂足，则 平面 ，线段 的长为1OH1OH1CBDOH点 O 到平面 的距离 10 分D高三数
12、学试题 第 7 页（ 共 17 页）在矩形 中， = ， ，1ACOH1C112sin7CO， 12 分2sin3OH ， 2717OH因此，点 O 到平面 的距离为 14 分1CBD21717 （本小题满分 14 分）18 （本小题满分 16 分）解：（1） ，椭圆离心率 ，4cm45cea 5a3b椭圆 的标准方程为 2 分C2219xym（2）在椭圆方程 中，令 ，解得 21xyab495my当 时，直线 MNx 轴，此时 4 分09FMN 1MFNm ， 解得 6 分529105292m（3） 的值与 的大小无关 7 分1证明如下：法一：设点 M、N 到右准线的距离分别为 12d、 ，
13、 ， 9 分145Fd2 125()4MFNd又由图可知， ， 219cosamdc 即 11 分149(s)54m14(os)5同理， 2cos()c19d高三数学试题 第 8 页（ 共 17 页） = 1244(cos1)(cos1)9595dm89m 80MFN显然该值与与 的大小无关 14 分法二：当直线 的斜率不存在时，由（2）知， 的值与 的大小无关1MFN当直线 的斜率存在时，N设直线 的方程为 ，代入椭圆方程 ，得M(4)ykxm22159xym 22322(59)05169)0kmxk设点 、 ，1,y2(,)Ny 恒成立，0 ， 9 分21259kx2125(69)mkx
14、， ， ， 11 分14MFm24NF145MFx245NFmx = 1212120()465455FNxmxx29010819km显然该值与与 的大小无关 14 分19 （本小题满分 16 分）解：（1）法一：当 时， ， ；当 时， ；当 时， 3n321a31a4n43a5n5a归纳得， 时， 是首项 、公差为 2 的等差数列，通项公式为 n2 2 分25na下面代入检验或用数学归纳法证明：时， ， ，3 127n 12573(1)2nann 时， 满足条件 5na高三数学试题 第 9 页（ 共 17 页） 4 分2.1,5na法二：当 ， 时， ，3 nN131()2()2nann 1
15、2na当 时， 是常数列 2 分 na 时， ， 2n 23125na 4 分2.,5na法三：当 ， 时， ，3 N131()2()2nann ， ， 21()a34 1132an把上面 个等式左右两边分别相加，得 ，2 分n 12()n整理，得 当 时，满足 25na2n 4 分.1,n（2） 22.,4nSn当 时，不等式 可化为 ，不满足条件1(1)84nnSa 25当 时，2n可化为 7 分()84nSa 202()6n令 ，由已知得， 对于 恒成立，22165f n()f ,1当且仅当 化简得， 0,().f20,.3解得， 或 1n 5满足条件的 存在， 的最小值为 5 9 分k
16、（3）不存在 10 分假设存在定点 ，使得三点 、 、 （其中A5(,2)naP5(,2)ma5(,2)kakP高三数学试题 第 10 页（ 共 17 页）是互不相等的正整数且 ）到定点 的距离相等nmk、 2nmk A不妨设定点 0(,)Ax 时， ，2n 5na 、 、 (,)nP2(,)mmP2(5,)kkP ， 且 kAnAkA化简，得016(5),4().mkxnmk两式相减，得 12 分16164() 0nmk ()()()0()knkmknk n 14 分16164km令函数 ()()xf ， 在 上是增函数2ln160xf ()fx1,)正整数 ，mk 1nk ，即 ()()ffk61nkmk式左边大于 0，从而式不成立不存在定点 ，使得三点 、 、 （其中A5(,2)naP5(,2)ma5(,2)kakP是互不相等的正整数且 ）到定点 的距离相等 16nmk、 mk A分20 （本小题满分 16 分）解：（1）当 时， 1a()1exfx则 令 ，得 1 分()2)exfx0f2列表如下：
