1、1概率与随机变量分布1在广州亚运会中，中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决赛根据以往战况，中国女排在每一局中赢的概率都是 53已知比赛中，日本女排先赢了第一局，求：()中国女排在这种情况下取胜的概率；()设比赛局数为 ，求 的分布列及 E（均用分数作答）.解：（）中国女排取胜的情况有两种：一是中国女排连胜三局；二是中国女排在 2 到 4 局中赢两局，再赢第五局. -2 分所以中国女排取胜的概率为 625973)5()3(2C. -6 分（）依题意可知的 取值分别为 3，4，5，2)5(3(P， 1)()( 312P， 657031 C ， -10 分的分布列为：3 4 5P 2541256
2、270-12 分所以 E= 67012543. -14 分2 （优化设计 P184 例 2）3甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中的 6 题，乙能答对其中的 8 题。规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才算合格。（）求甲答对试题数 的概率分布及数学期望；（）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。解：（）依题意， = 0，1，2，3，且 P( = 0) = ，P( = 1) = ，P( = 2) = ，P( = 3) = ， 2 分130 310 12 16甲答对试题数 的概率分布如下： 0 1 2 3P 36甲答对试题数 的数
3、学期望 E =0 30+11+2 2+3 61= 59. 5 分（）设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B，则 P(A)= 3106426C= 2= ，P(B)= 310828C= = 14. 8 分因为事件 A、B 相互独立，2方法一：甲、乙两人考试均不合格的概率为 P( BA) = P( ) P( ) = (1 32)(1 154) = .10 分甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P=1P( )=1 = . 11 分答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 45. 12 分方法二：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为P=P(AB)+P( B)+P(AB)=P(A)P( )+P( A)
4、P(B)+P(A)P(B)= 3215+ 4+ 3215= 4. 11 分答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 5. 12 分4已知袋中装有大小相同的 2 个白球和 4 个红球.()从袋中随机地将球逐个取出，每次取后不放回，直到取出两个红球为止，求取球次数 的数学期望；()从袋中随机地取出一个球，放回后再随机地取出一个球，这样连续取 4 次球，求共取得红球次数 的方差.解：() 依题意， 的可能取值为 2，3，4 1 分； 3 分52)(64AP； 5 分)()3(361241C； 7 分5)()(46132AP . 45E故取球次数 的数学期望为 8 分1() 依题意，连续摸 4 次球可
5、视作 4 次独立重复试验，且每次摸得红球的概率均为，32则 ，2(4,)3B:3 . 98)321(4D故共取得红球次数 的方差为5在一个不透明的盒子中，放有标号分别为 1，2，3 的三个大小相同的小球，现从这个盒子中，有放回地先后取得两个小球，其标号分别为 ，记 xy、 2xy(1)求随机变量 的最大值，并求事件“ 取得最大值”的概率；(2)求随机变量 的分布列和数学期望解：(1) 可能的取值为 1、2、3，xy、 ，2x ，且当 ， 或 ， 时， 3y3y因此，随机变量 的最大值为 3 (3 分)有放回地抽两张卡片的所有情况有 33=9 种， 92)3(P随机变量 的最大值为 3，事件“
6、取得最大值”的概率为 ( 6 分)(2) 的所有取值为 0，1，2，3 时，只有 ， 这一种情况，x2y时，有 ， 或 ， 两种情况， 时，有 ， 或 ， 两种情况，13 ， ， ，91)0(P()92()9P(10 分)24则随机变量 的分布列为：0 1 2 3P949因此，数学 期望 (12 分)14E6某地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有 40 人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为 3 人视觉记忆能力 视觉 偏低 中等 偏高 超常偏低 0 7 5 1中等 1 8 3 b
7、偏高 2 a0 1听觉记忆能力 超常 0 2 1 1听觉4由于部分数据丢失，只知道从这 40 位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为 25（1）试确定 、 的值；ab（2）从 40 人中任意抽取 3 人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；（3）从 40 人中任意抽取 3 人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为 ，求随机变量 的数学期望 E解：（1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有 人记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以10a上”为事件 ，
8、A则 ，解得 2 分2()45P6a所以 03)0382b答： 的值为 6， 的值为 23 分a（2）由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有 8 人方法 1：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 ，B则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 ，所以 3240C123()()74PB答：从这 40 人中任意抽取 3 人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为 6 分127方法 2：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 ，B所以 11383282840C47PB答：从这 40 人中
9、任意抽取 3 人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为 6 分27（3）由于从 40 位学生中任意抽取 3 位的结果数为 ，其中具有听觉记忆能力或视觉记340C忆能力偏高或超常的学生共 24 人，从 40 位学生中任意抽取 3 位，其中恰有 位具有k听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为 ，72416k分所以从 40 位学生中任意抽取 3 位，其中恰有 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为 ， 8 分24160C()kP,235的可能取值为 0，1，2，3，9 分因为 ， ，4630C()7P124630C7()P， ， 2146305()241
10、6305()所以 的分布列为所以 0E1427251325391答：随机变量 的数学期望为 12 分97一台仪器每启动一次都随机地出现一个 位的二进制数 ，其中512345Aa的各位数字中， 出现 的概率为 ，出现 的概率为 A1,(2,34)ka0例如： ，其中 05341a记 ,当启动仪器一次时：() 求 的概率； () 求 的概率分1234 3布列及 .E解（） ；3 分22418()()37PC由 题 意 得 ： （）其中 ，041， ，31422PC24133PC， ，8 分334 45的 概 率 分 布 列 为 ：0 1 2 3P7410 分6 41()3C0132()2241()
11、3C3341()42()C10 分令 12 分1)1.E， 由 题 知 ： ，8 （优化设计 P185 例 4）9雅山中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽出 20 名学生作为样本，其选报文科理科的情况如下表所示。男 女文科 2 57（）若在该样本中从报考文科的学生中随机地选出 3 人召开座谈会，试求 3 人中既有男生也有女生的概率；（）用假设检验的方法分析有多大的把握认为雅山中学的高三学生选报文理科与性别有关？参考公式和数据：22()(nadbcK2()pKk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.07 2.71 3.84 5.02 6.64
12、 7.88 10.83解：（）设样本中两名男生分别为 a,b,5 名女生分别为 c,d,e,f,g，则基本事件空间为；（abc）(abd) (abe) (abf) (abg) (acd) (ace) (acf) (acg) (ade) (adf) (adg) (aef) (aeg) (afg) (bcd) (bce) (bcf) (bcg) (bde) (bdf) (bdg) (bef) (beg) (bfg) (cde) (cdf) (cdg) (cef) (ceg) (cfg) (def) (deg) (dfg) (efg)共 35 种， 3 分其中，既有男又有女的事件为前 25 种，4
13、分故 P（“抽出的 3 人中既有男生也有女生” ） .6 分2537（） 4.43 9 分2056718k3.841， 10 分对照参考表格，结合考虑样本是采取分层抽样抽出的，可知有 95%以上的把握认为学生选报文理科与性别有关. 12 分10设事件 A 发生的概率为 p，若在 A 发生的条件下 B 发生的概率为 p， 则由 A 产生 B的概率为 pp，根据这一事实解答下题: 一种掷硬币走跳棋的游戏: 棋盘上有第 0,1,2,，100 共 101 站，设棋子跳到第 n 站时的概率为 Pn，一枚棋子开始在第 0 站(即 P0=l)，由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若硬币出现正面则棋子向前跳
14、动一站，出现反面则向前跳动两站，直到棋子跳到第 99 站理科 10 38(获胜)或第 100 站( 失败)时，游戏结束.己知硬币出现正反面的概率都为 . 12(1)求 p ,p ,p , 并根据棋子跳到第 n+1 站的情况，试用 p p 表示 p ；123 1n1n(2)设 a = p p (ln100)， 求证: 数列 a 是等比数列，并求出 a 的通项公式；n1 n(3)求玩该游戏获胜的概率.（1） ， ， p = p = ，23422185.nnnp11（2）由 可得1，2()nn = ，1na2数列a 是公比为 的等比数列 ，1又 a =p p = ， a =( ) .102n2n(3) 由(2)可得 ).9,210(,)(13)()( 1 nnn.)21(309p
