1、（第 3 题）江苏省 2019 年高考数学密卷（9）理第卷（必做题，共 160 分）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1 设集合 A = 1， x ， B = 2，3，4，若 A B =4，则 x 的值为 2 若复数 z12+i，z 15，则 z2 3 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为 200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间25，30）的为一等品，在区间20，25）和30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 4 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第 3 个数为 5 为活跃气氛
2、，某同学微信群进行了抢红包活动某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为 9.9 元，随机分配成 5 份，金额分别为 2.53 元，1.19 元，3.21 元，0.73 元，2.33 元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于 5 元的概率为 6 函数的值域为 7 已知 PABC 是正三棱锥，其外接球 O 的表面积为 16，且 APO BPO CPO30，则三棱锥的体积为 8 已知双曲线的左、右顶点为 A、 B，焦点在轴上的椭圆以 A、 B 为顶点，且离心率为，过A 作斜率为的直线交双曲线于另一点 M，交椭圆于另一点 N，若，则的值为 9 已知函数 f(x)cos x(sin xcos
3、 x)，若，则的值为 10已知是首项为 1，公比为 2 的等比数列，数列满足，且（），若，则的值为 11定义在上的函数的值恒非负，则的最大值为 12在中，若，则的值为 13在平面直角坐标系中，圆：，直线，过直线上一点作圆 O 的切线，切点为，且，则正实数的取值范围是 14已知偶函数满足，且在时，若存在满足，且，则最小值为 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分15 （本小题满分14分）已知函数的最小值是2，其图象经过点（1）求的解析式；（2）已知，且， ，求的值16 （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥中， ， ， ， （1）求证：平面平面；（2）若为的中点，求证：平面17 （本小题
4、满分 14 分）有一块以点 O 为圆心，半径为 2 百米的圆形草坪，草坪内距离 O 点百米的 D 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点 D 修一条笔直小路交草坪圆周于 A， B 两点，为了方便居民xyOFABMN（第 18 题）散步，同时修建小路 OA， OB，其中小路的宽度忽略不计（1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；（2）若要在区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积(结果保留根号和)18 （本小题满分 16 分）如图，点， ，分别为椭圆的左、右顶点和右焦点，过点的直线（异于轴）交椭圆于点， （1）若，点与椭圆左准线的距离为，求椭圆的
5、方程；（2）已知直线的斜率是直线斜率的倍 求椭圆的离心率； 若椭圆的焦距为，求 AMN 面积的最大值19 （本小题满分 16 分）已知函数（1）若曲线在处的切线过点 求实数的值； 设函数，当时，试比较与的大小；（2）若函数有两个极值点， （） ，求证： 20 （本小题满分 16 分）设数列的各项均为不等的正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，均有”的数列为“好”数列（1）试分别判断数列，是否为“好”数列，其中， ， ，并给出证明；（2）已知数列为“好”数列 若，求数列的通项公式； 若，且对任意给定正整数（） ，有成等比数列，求证：2018 年高考模拟试卷（9）数学(附加题)21 【选做
6、题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答A选修 41：几何证明选讲（本小题满分 10 分）如图，AB 为O 的直径，BD 是O 的切线，连接 AD 交O 于 E，若 BDCE，AB 交 CE 于 M，求证：B选修 42：矩阵与变换 （本小题满分 10 分）已知点在变换:作用后，再绕原点逆时针旋转，得到点若点的坐标为，求点的坐标M EDC BA（第 21-A）C选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在极坐标系中，圆 C 的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为为参数） ，若直线与圆 C 恒有公共点，求实数的取
7、值范围D选修 45：不等式选讲 （本小题满分 10 分）已知正数满足，求的最小值【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答22已知直三棱柱中，为等边三角形，延长至，使，连接，若（1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求平面与平面所成的锐二面角23 （本小题满分 10 分）（1）求证：；（2）求证：2018 年高考模拟试卷（9）参考答案数学一、填空题：1 【答案】4【解析】因为 A B =4，所以 4 A，故 x42 【答案】2+i【解析由 z1 5，得 2i，所以 z12+i z2 z2 52+i3 【答案】50【解析】三等品总数4 【答案】
8、30【解析】 ， ，输出 3；， ，输出 6；， ，输出 30；则这列数中的第 3 个数是 305 【答案】 【解析】两名同学抢红包的事件如下：（2.53，1.19） （2.53，3.21） （2.53，0.73）（2.53，2.33）（1.19，3.21） （1.19，0.73） （1.19，2.33） （3.21，0.73） （3.21，2.33） （0.73，2.33） ，共 10 种可能，其中金额不低于 5 元的事件有（2.53，3.21） （3.21，2.33） ，共 2 种可能，所以不低于 5 元的概率6 【答案】【解析】因为，所以，即值域为7【答案】【解析】设球的半径为 R， A
9、BC 的外接圆圆心为 O，则由球的表面积为 16，可知 4 R216，所以 R2.设 ABC 的边长为 2a，因为 APO BPO CPO30， OB OP2，所以 BO R ， OO 1，32 3 OB2 BO 2PO OO OP3.在 ABC 中， O B 2a ，23 32 3所以 a ，所以三棱锥 PABC 的体积为 V 32sin603.32 13 128 【答案】 【解析】对于椭圆，显然，所以椭圆方程为，设，则由得因为点 M 在双曲线上，点 N 在椭圆上，所以， ，解得， ，故直线的斜率9 【答案】解析一： f(x)cos x(sin xcos x) sin xcosxcos 2x
10、 sin 12 12 122x sin 2x cos 2x sin ，因为，所以，所以。1 cos 2x2 12 12 12 22 (2x 4)解析二： f(x)cos x(sin xcos x) sin xcosxcos 2x sin 12 12 122x sin 2x cos 2x，1 cos 2x2 12 12 12因为，所以 sin 2 cos 2 ，23所以。10 【答案】10 【解析】因为是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以，所以，因为，所以，所以，即11 【答案】 【解析】由题可知恒成立，即恒成立，令，所以，所以在上是减函数，所以，即的最大值为12 【答案】 【解析】设，所
11、以 所以即 所以 所以13 【答案】 【解析】设，则，所以，解得，即点 Q 在圆上又点 Q 在直线上，所以圆心 O 到直线 l 的距离，所以正实数14 【答案】1009 解析：因为偶函数满足，所以，所以函数是最小正周期为 4 的偶函数，且在时，所以函数的值域为3，1，对任意 xi， xj（ i， j=1，2，3， m） ，都有| f（ xi） f（ xj）| f(x)max f(x)min4，要使 xn取得最小值，尽可能多让xi（ i=1，2，3，m）取得最高点，且 f(0)1， f(1)0， f(2)3，因为，且，根据，相应的 xn最小值为 1009二、解答题：15 【解】 （1）因为的最小
12、值是2，所以 A2 2 分又由的图象经过点，可得， ， 4 分所以或，又，所以，故，即 6 分（2）由（1）知，又， ，故，即， 8 分又因为，所以， 10 分所以 12 分 14 分16 【证】 （1）在四棱锥中，因为，所以又，且， ，所以平面 PAD 4 分又平面，所以平面平面 7 分（2）取 AP 的中点 F，连 EF， BF在 PAD 中， EF AD，且，又， ，所以 EF BC，且，所以四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CE BF 11 分因为平面 PAB，平面 PAB，所以平面 14 分17.【解】建立如图所示的平面直角坐标系，则（1）小路的长度为，因为长为定值，故只需要最小
13、即可作于，记，则，又，故，此时点为中点故小路的最短长度为(百米)4 分（2）显然，当广场所在的圆与内切时，面积最大，设的内切圆的半径为，则的面积为，6 分由弦长公式可得，所以，8 分设，则，所以， 10 分又因为，即，所以，12 分所以，所以 ，即的内切圆的面积最大值为14 分18 【解】 （1） ，点与椭圆左准线的距离为 5， 2 分解得椭圆的方程为 4 分（2）法一：显然， ， ，设， ，则点在椭圆上， ， 6 分设直线，与椭圆联立方程组消去得：，其两根为， ， 8 分，将代入上式化简得： 10 分又由得：， ，即，解得或，又， ，即椭圆的离心率为 12 分法二：显然， ， ，设直线的方程
14、为，直线的方程为，由得，注意到其一根为，另一根为，即 6 分同理由得 8 分由， ，三点共线得：， 10 分化简得：， ，即椭圆的离心率为 12 分由，又椭圆 C 的焦距为 2， ， ， ，由方法一得面积 14 分令，则，在为减函数，即时， ，即面积的最大值为 16 分19 【解】 （1）因为，所以，由曲线在处的切点为，所以在处的切线方程为因为切线过点，所以 4 分，由 6 分设（） ，所以，所以在为减函数因为，所以当时，有，则；当时，有，则；当时，有，则 10 分（2）由题意，有两个不等实根， （） 设，则（） ，当时， ，所以在上是增函数，不符合题意；当时，由，得，列表如下：由 题意， ，
15、 解得，所以，因为，所以 13 分因为，所以，所以（） 令（） ，因为，所以在上为减函数，0 极大值 所以，即，所以，命题得证 16 分20 【解】 （1）若，则，所以，而，所以对任意的均成立，即数列是“好”数列； 2 分若，取，则， ，此时，即数列不是“好”数列 4 分（2）因为数列为“好”数列，取，则，即恒成立当，有，两式相减，得（） ，即（） ，所以（） ，所以，即，即（） ，当时，有，即，所以对任意，恒成立，所以数列是等差数列 8 分设数列的公差为， 若，则，即， 因为数列的各项均为不等的正整数，所以，所以， ，所以 12 分 若，则，由成等比数列，得，所以，即化简得， ，即 14 分
16、因为是任意给定正整数，要使，必须，不妨设，由于是任意给定正整数，所以 16 分数学（附加题）参考答案21A. 【解】连接 CB因为 AB 为O 的直径，BD 是O 的切线，所以因为 BDCE，所以因为 AB 交 CE 于 M，所以 M 为 CE 的中点，所以 AC=AE，5 分因为 BD 是O 的切线，所以ABD=90因为 AB 为O 的直径，所以ACB=90所以ACB=ABD因为，所以ACBABD所以，所以即10 分21B. 【解】 4 分设，则由，得 8 分所以即 10 分21C 【解】由为参数） ，可得直线的普通方程为：4x3y+5=0，由得所以，圆 C 的标准方程为，若直线与圆 C 恒
17、有公共点，所以，所以，实数的取值范围或 10 分21D 【解】由于，所以当且仅当，即时，等号成立. M EDC BA所以的最小值为 27. 10 分22.解：以的中点为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，（1）设，所以， ， ， ，若，则，所以， ，所以， ，设面的法向量为，所以，又因为， ， ，即 所以， ，又因为，设直线与平面所成角为，所以， ，所以，直线与平面所成角的正弦值为。 5 分（2）连结 CM 交 B1C1于点 F，则 OF面 ABC,又因为， ， ，设面的法向量为，所以，即 所以， ，所以， ，所以，面与面所成的锐角二面角为。 10 分23. 解析：（1）由 所以 3 分法二：证明也可直接用组合数定义证明，如下： 3 分（2） 由（1）得， ， n=2017,k 依次取 1,2， 则有所以，原式 6 分构造数列，令 则所以所以，即，即，所以，即数列是周期为 6 的数列又因为 所以 10 分
