1、1八年级上册课本亮题拾贝课本中的例、习题是经过编者反复琢磨，认真筛选后精心设 置的，具有一定的探究性在教学的 过程中要立足课本，充分发挥课本例、习题的教学功能，可以有效地避免题海战术，不但有利于巩固基础知识，而且还能增强同学们的应变能力， 发展创新思维，提高数学素养113 角的平分线的性质题目 如图，ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P求证：点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等 （人教课本 P21 例题）分析 如果过点 P 作三条边的垂线段，用角平分线的性质可得PD = PE，PE = PF ，故 PD = PE = PF，那么点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等，如图
2、所示证明 略点评 遇到有角的平分线，常常向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或三角形全等，转化解决问题演变变式 1 在原题目的基础上，利用角平分线的性质还可得到：（1）点 P 在BAC 的平分线上； （2）BPC = 90 + A；12（3）面积关系： （r = PD，h a 表示 BC = a 边cbaABC hrcbaS1)(1上的高，下同） 变式 2 如图，点 P 是ABC 的外角MBC，NCB 的平分线的交点，则点 P 到AB、BC、CA 的距离相等证明 过点 P 分别作 PD、PE 、PF 垂直于 AB、BC、CA，垂足依次为点 D、E、F PB 平分MBC ，PC 平分NCB， P
3、D = PE， PE = PF， PD = PE = PF说明 在变式 2 中，利用角平分线的性质还可证得：点 P 在BAC 的平分线上；BPC = 90 A 12变式 3 如图，若点 P 是ABC 一个内角 A 和外角MBC的平分线的交点，则点 P 到 AB、BC、CA 的距离相等证明方法与变式 2 相同说明 在变式 3 中，利用角平分线的性质及外角的性质还可以得到：点 P 在外角BCN 的平分线上；P = ACB1变式 4 如图，l 1、l 2、l 3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有 处 （人教 P27 6 题改编） （答案：4）
4、变式 5 如图，以ABC 的边 AB、AC 为边长向外作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，CD 与 BE 相交于点 O，试探索AOD 与AOE 的关系分析 若能说明 OA 平分DOE，则可知AOD =AOE由角的平分线的性质知，需要证明点 A 到 BE，CD 的距离相等PDB FENAMCDN ME CABP Fl3l2l1F GOB CD AEN MCABPPBNAMC2为此可作 AFCD 于点，AGBE 于 G，即证 AF = AG，因为易证ABEADC，从而由全等三角形的对应高相等，问题得证变式 6 P 是ABC 的内角平分线的交点，若 P 到 AB 边的距离为 1，ABC 的周
5、长为10，则ABC 的面积等于 （答案：5 平方单位）变式 7 ABC 中，B、C 的平分线交于点 O，ODBC 于 D，如果 AB = 15 cm，BC = 25 cm，AC = 20 cm，且三角形的面积 SABC = 150 cm2，那么 OD = cm（答案：2.5 cm）*变式 8 ABC 中，AC = 7，BC = 24，AB = 25问ABC 内是否有一点 P 到各点的距离相等？如果有，请作出这一点，并说明理由 （答案：点 P 存在）变式 9 如图，BD 平分ABC，DEAB 于 E，DFBC于 F，AB = 18，BC = 12（1）求 SABD : SBCD 的值；（ 表示面
6、积）S（2）若 SABC = 36，求 DE 的长 （答案：（1）2:3 （2） ）51122 作轴对称图形题目 如图，要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向A、B 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（人教课本 P42 探究问题）分析 把管道 l 近似地看成一条直线，问题就是要在 l 上找一点 C，使 AC 与 CB 的和最小点评 平面图形上求最短距离有两种情况：（1）若 A、B 在 l 的同侧，作对称；（2）若 A、B 在 l 的异侧，则直接连结演变变式 1 如图，已知牧马营地 M 处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上吃草，最后回到营地，试设计出最短的牧马
7、路线解 如图所示（实线） 变式 2 如图，E、F 为ABC 的边 AB、AC 上的两定点，在 BC 上求作一点 M，使MEF 的周长最短解 如图所示，M 为所求变式 3 已知，如图，甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时甲站在AOB 内的 P 点，乙站在 OA 上的定点 Q，丙站在 OB 上且可以移动游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点 P 处若甲、乙、丙三人速度相同，试用尺规作图找出丙必须站在 OB 上的何处，使得他们完成接力所用的时间最短？（不写作法，保留作图痕迹）解 如图所示lAB河草地营地 MAB CFEEFAB CD河草地营地 MAB CFEMQBOPA QBOPA
8、甲乙丙3*变式 4 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，M 为 CD 上的点，且DM = 1，N 为 AC 上一动点，则 DN + MN 的最小值为 （答案：5）*变式 5 已知点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上一个动点，点 M， N 分别是 AB，BC 边上的中点，MP + NP 的最小值是（ ） A2 B1 C D221（答案：B ）*变式 6 已知 A（5，5） ，B（2，4） ，M 是 x 轴上一动点，求使 MA + MB 最小时的点M 的坐标解 点 B 关于 x 轴对称的点的坐标是 B（2，4） 连接 AB，则 AB 与 x 轴的交点即为所求设 AB 所在直线
9、的解析式为 y = kx + b，则 解得 ,425bk.10,3k所以直线 AB 的解析式为 y = 3x10当 y = 0 时，x = 故所求的点为 M（ ，0） 1*变式 7 如图，直线 l 是一条河，P、Q 两地相距 8 千米，它们到 l 的距离分别为 2 千米，5 千米欲在 l 上的某点 M 处修建一个水泵站，向 P、Q 两地供水现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ） A B C D（答案：A ）*变式 8 阅读并解答下列问题：（1）如图所示，直线 l 的两侧有 A、B 两点，在 l 上求作一点 P，使 AP + BP 的值最小（要求尺规作图，保留作
10、图痕迹，不写画法和证明） （2）如图 A、B 两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A 工厂至河堤的距离 AC 为 1 km，B 工厂至河堤的距离 BD 为 2 km，经测量河堤上 C、D 两地间的距离为 6 km现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使 A、B 两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距 C 地多远的地方？（3）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决下面问题：若，当 x 为何值时，y 的值最小，并求出这个最小值4)9(122xxy（答案：（1）略 （2） （3）构造图形，得 x = 2 3，y = 3 ）51010变式 9 如图，在平面直角坐标系 xO
11、y 中，直线 l 是第一、三象限的角平分线AB CDDDMNlPQM lPQlPQM M lPQM lPQlABlABC D 9111119xx4实验与探究：（1）由图观察易知点 A（0，2）关于直线 l 的对称点 A 的坐标为（2，0） 请在图中分别标出点 B（5，3） 、C（ 2，5）关于直线 l 的对称点 B、C 的位置，然后写出它们的坐标：B ，C 运用与拓广：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，可以发现：坐标平面内任意一点P（a， b）关于第一、三象限的角平分线 l 的对称点 P 的坐标为 （不必证明）归纳与发现：（3）已知两点 D（1，3） ，E（2，4） 试在直线 l 上确定一点
12、 Q，使点 Q 到 D、E 两点的距离之和最小，并求出点 Q 的坐标解 （1）如图，B（3，5） 、C（5，2） （2） （b，a） （3）由（2）得，D（1，3）关于直线 l 的对称点 D 的坐标为（3，1） ，连接 DE交直线 l 于点 Q，此时点 Q 到 D、E 两点的距离之和最小设过 D（3，1） ，E（2，4）的直线的解析式为 y = kx + b，则解得 k =5，b =14， y = 5x14,2bk由 y =5x 14 和 y = x，解得 ，故所求 Q 点的坐标为（ ， ） 3737123 等腰三角形题目 如图，在 ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD
13、= BC = AD，求ABC 各角的度数 （人教课本 P50 例 1）解 AB = AC，BD = BC = AD， ABC =C =BDC，A = ABD设 A = x，则 BDC =A +ABD = 2x，从而 ABC =C =BDC = 2x于是在ABC 中，有 A +ABC +C = x + 2x + 2x = 180，解得 x = 36 A = 36， ABC =C = 72点评 根据三角形的内角和、外角性质以及角平分线、平行线的性质列出方程，是求角大小的重要方法，充分运用了方程的思想演变变式 1 如图，在ABC 中，AB = AC，A = 50，BD1AABDEOCylx11QAA
14、BCDEOCylxBD 1AB CDAB CD5为ABC 的平分线， 则BDC = （答案：82.5）变式 2 如图，在ABC 中，AB = AC， BAD = 20，且AE = AD，则 CDE = （答案：10 ）变式 3 如图，D 为 BC 上一点，且 AB = AC = BD，则图中1 与2 的关系是（ ） A1 = 22 B1 + 2 = 180C 1 + 32 = 180 D312 = 180（答案：D）变式 4 如图，A = 36， DBC = 36，C = 72，找出图中的一个等腰三角形，并给予证明解 等腰三角形有：ABC ， BDC 或 DAB证明 在ABC 中， A = 3
15、6，C = 72， ABC = 180（72 + 36）= 72 C =ABC，从而 AB = AC，ABC 是等腰三角形变式 5 如图，ABC 中， AB = AC，A = 36，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 M，证明： BDC 是等腰三角形变式 6 如图甲，在ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AB 于 N，交 BC 的延长线于 M，A = 40（1）求NMB 的大小（2）如图乙，如果将（1）中A 的度数改为 70，其余条件不变，再求NMB 的大小（3）根据（1） （2）的计算，你能发现其中所蕴涵的规律吗？请写出你的猜想并证明（4）如图丙，将（1）中的
16、A 改为钝角，其余条件不变， 则上述规律是否需要加以修改? 请你把 A 代入一个钝角度数验证你的结论甲 乙 丙（答案：（1）20 （2） 35 （3）NMB = A，证明略 （4）若A 改为钝角，21其余条件不变，规律不变，仍为NMB = A ）133 实数题目 如图，直径为 1 个单位长度的圆从原点 O 沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P（滚动时与点 O 重合）由原点到达点 O，则点 O 的坐标是多少？（人教课本 P83 探究问题）AED CB202DAB C1AB CDNCAB MNCAB MNCAB MNMAB CD6解 从图中可以看出，OO 的长就是这个圆的周长 ，所以 O 的坐标是 点
17、评 许多无理数都可以用画图的方法找到数轴上的一个点来表示它一般地，可以用无限不循环小数的近似值来确定这个点的位置演变变式 1 单位圆滚动一周，所覆盖的面积为 （答案： ）45变式 2 单位圆滚动一周，点 P 运动的路径是直线段还是曲线段？（ 答案：曲线段）变式 3 如图，以数轴的单位长为边作正方形，以数轴的原点为圆心、正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点 A，则点 A 表示的数是 （答案： ）2变式 4 “数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P 所表示的数是 ”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫2做（ ） （答案：C）A代入法 B换元法 C数形结合 D分类讨论变式 5 如图，将边
18、长为 1 的正三角形 OAP 沿 x 轴正方向连续翻转 2009 次，点 P 依次落在点 P1，P 2，P 3，P2009 的位置，则点 P2009 的横坐标为 （答案：2009）变式 6 如图，点 A，B 在数轴上对应的实数分别为 m，n，则 A，B 间的距离为 （用含 m，n 的式子表示） （答案：nm）变式 7 数轴上与表示 的点的距离最近的整数点所表示的数是 （答案：32）变式 8 如图，数轴上表示实数 的点可能是（ ） 15A点 P B点 Q C点 M D点 N（答案：C ）141 一次函数题目 一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线过第四象限及点（2，3a）与（a，6） ，求
19、这个函数的解析式 （人教课本 P120 第 8 题）解 根据题目条件，可设这个函数的解析式为 y = kx于是有 解得 或 ,632ka,32k.,2ka由于函数经过了第四象限，所以舍去 .,因此所求函数的解析式为 y =3x点评 仔细审读清楚题目条件：一个函数，其图象是直线且过原点和第四象限，逐渐缩小函数类型，选择确定为正比例函数在解出 a，k 的对应值后，再验证条件是否被满足，1 A 20-10 1 P 2-10 BA21 3P40Q M NP2 xP1A OPy41 2 3OO7作出符合题目完全要求的结论如果没有限制条件“这条直线过第四象限” ，则结论有两解演变变式 1 在同一直角坐标系
20、中，指出动点 A（2，3a） ，B （a，6）随 a 而变化的图象形状？解 对于点 A（2，3a） ，横坐标是 2 为定值，当 a 变化时，纵坐标可取一切实数，因此，动点 A 的图象是直线 x = 2同理，动点 B（a，6）的图象是直线 y =6，如图所示变式 2 已知一次函数的图象经过点 A（2，3a）和 B（a，6） ，求这个一次函数的解析式，并指出图象特征解 设过点 A，B 的一次函数的解析式为 y = kx + b，则 ,63bka两式相减，得（a2）k = 3a6， 即（a2）k = 3（a2） （1）若 a = 2，则 k 可取一切实数，这时 A，B 两点重合，其图象是平面内过定点
21、（2，6）的所有直线（简称直线系） （2）若 a2，则 k = 3，此时 b =3a6，函数的解析式为 y = 3x3a6（a2） ，其图象是平面内平行于直线 y = 3x（但不包括直线 y = 3x12）的一切直线（平行直线系） ，如图说明 由于点 A（2，3a）和 B（a，6）的横纵坐标乘积相等，都等于6a，所以当 a0 时，点 A，B 同在反比例函数 )0(ax的图象上变式 3 已知反比例函数的图象经过点 A（2， 3a）和B（a 2，6） ，求反比例函数的解析式和 A、B 的距离解 设反比例函数的解析式为 ，)0(kxy则 k = xy = 2（3a）=6a 2，解得 a = 1，k
22、= 6 因此反比例函数的解析式为 6过 A、B 分别向坐标轴作垂线，则可得直角三角形 ABC 中，两直角边为 1，3，于是斜边 AB 的长为 10152 乘法公式题目 已知 a + b = 5，ab = 3，求 a2 + b2 的值 （人教课本 P157 第 7 题）解 a + b = 5，ab = 3， （a + b） 2 = 25， 即 a2 + 2ab + b2 = 25，于是 a2 + b2 = 252ab = 2523 = 19点评 本题还可进一步求 ab， ，以及 a 和 b134)(2ab完全平方公式的一些主要变形有：（a + b） 2 +（ab） 2 = 2（a 2 + b2）
23、 ， （a + b）2（ab） 2 = 4ab，a 2 + b2 =（a + b） 22ab =（ ab） 2 + 2ab，在四个量 a + b、ab、ab和 a2 + b2 中，任意知道其中的两个量，就能求出（整体代换）其余的两个量演变变式 1 已知（x + y） 2 = 25， （xy） 2 = 9，求 xy 与 x2 + y2 的值 （人教课本 P175 第 6xyOx=2y=-62-6xyO(2,-6)2-68题） （答案：4，17）变式 2 已知 x + y = 3，xy =5，求：（1）x 2 + y2；（2）x 2xy + y2；（3）x y 的值（答案：19，24， ）9变式
24、3 化简：（a + b） 2（ab） 2 （ab） （答案：4）变式 4 已知长方形的周长为 40，面积为 75，求以长方形的长和宽为边长的两个正方形的面积之和 （答案：250）变式 4 已知 a23a1 = 0，求：（1） ；（2） ；（3） 的值1a1a31a解 a 23a1 = 0， a0，于是等式两边同除以 a，得 ，即 ，所以 ，有 9222因此 （ ） （ ）= ，2 3)1()(1333 a所以 = 36，进而 ，得 31a 04)(223a 1093a153 因式分解题目 分解因式：（a + b） 212（a + b）+ 36 （人教课本 P170 例 6（2） ）分析 把 a
25、 + b 看作一个整体，设 a + b = m，则原式化为完全平方式 m212m + 36解 原式 =（a + b） 2 2 （a + b） 6 + 62=（a + b6） 2点评 因式分解与整式乘法既有区别又有联系，是互逆的恒等变形整式乘法是把几个相乘的整式化为一个多项式，而因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘把一个多项式（次数高或项多）化为几个整式的积的形式，以便于整体观察、比较、约简、转化等，这种因式分解的意识和因式分解的思想应贯穿于日常解题的始终，使之成为一种自觉的解题行动演变变式 1 分解因式：a 2 + 2a（b + c）+（b + c） 2 （人教课本 P171 第 3（6）题
26、）（答案：（a + b + c） 2）变式 2 分解因式：（1） （x + y） 24（x + y 1） （2） （x 2 + 4） 216x 2（答案：（x + y 2） 2；（x + 2） 2（x2） 2 ）变式 3 已知 a24ab + 4b2 + 2a4b + 1 = 0，求（ a2b） 2009 的值 （答案：1）变式 4 已知 x2 + y2 4x10y + 29 = 0，求 x2y2 + 2x3y2 + x4y2 的值 （答案：900）变式 5 已知 a，b，c 是某个三角形的三条边，且 a2 + b2 + c2abbc ac = 0，试判定这个三角形的形状 （答案：等边三角形）变式 6 已知 ， ， ，求代数式 a2 + b2 + 201x19xb120xcc2abbcac 的值 （答案：3）
