1、第 4 讲 数学归纳法1数学归纳法的原理及其步骤2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题【复习指导】复习时要抓住数学归纳法证明命题的原理，明晰其内在的联系，把握数学归纳法证明命题的一般步骤，熟知每一步之间的区别联系，熟悉数学归纳法在证明命题中的应用技巧基础梳理1归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法2数学归纳法(1)数学归纳法：设P n是一个与正整数相关的命题集合，如果：证明起始命题 P1(或 P0)成立；在假设 Pk成立的前提下，推出 Pk1 也成立，那么可以断定P n对一切正整数成立(2)
2、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：归纳奠基：证明当取第一个自然数 n0 时命题成立；归纳递推：假设 nk ， (kN *，kn 0)时，命题成立，证明当 nk 1 时，命题成立；由得出结论两个防范数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础” ，第二步是递推的“依据” ，两个步 骤缺一不可，在证明过程中要防范以下两点：(1)第一步验证 nn 0时，n 0 不一定为 1，要根据题目要求选择合适的起始值(2)第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明 nk 1 时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是数学归纳法第二步关键是“一凑假设，二凑
3、结论” 三个注意运用数学归纳法应注意以下三点：(1)nn 0时成立，要弄清楚命题的含义(2)由假设 n k 成立证 nk1 时，要推 导详实，并且一定要运用 nk 成立的结论(3)要注意 n k 到 nk1 时增加的项数双基自测1在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n3)条时，第一步检验第一12个值 n0 等于( ) A1 B2 C3 D0解析 边数最少的凸 n 边形是三角形答案 C2利用数学归纳法证明不等式 1 f( n)(n2，nN *)的过程，12 13 12n 1由 nk 到 n k1 时，左边增加了 ( )A1 项 Bk 项 C2 k1 项 D2 k项解析 1 12 13
4、 12k 1 1 (1 12 13 12k 1) 12k 12k 1，共增加了 2k项 ，故 选 D.12k 1 1答案 D3用数学归纳法证明：“1aa 2a n1 (a1，nN *)”在验1 an 21 a证 n1 时，左端计算所得的项为( )A1 B1a C1 aa 2 D1aa 2a 3答案 C4某个命题与自然数 n 有关，若 nk(k N *)时命题成立，那么可推得当nk1 时该命题也成立，现已知 n5 时，该命题不成立，那么可以推得( )An6 时该命题不成立 Bn6 时该命题成立Cn 4 时该命题不成立 Dn4 时该命题成立解析 法一 由 nk (kN*)成立，可推得当 nk1 时
5、该命题也成立因而若n4 成立，必有 n5 成立现知 n5 不成立，所以 n4 一定不成立法二 其逆否命题“若当 nk1 时该命题不成立，则当 nk 时也不成立”为真，故“n5 时不成立”“n4 时不成立” 答案 C5用数学归纳法证明不等式 的过程中，由 nk 推1n 1 1n 2 1n n 1324导 nk1 时，不等式的左边增加的式子是_解析 不等式的左边增加的式子是 ，故填12k 1 12k 2 1k 1 12k 12k 2.12k 12k 2答案 12k 12k 2考向一 用数学归纳法证明等式【例 1】用数学归纳法证明：tan tan 2tan 2tan 3tan( n1) tan n
6、n(nN *，n2)tan ntan 审题视点 注意第一步 验证的值，在第二步推理证明时要注意把假设作为已知证明 (1)当 n2 时，右边 2 2 tan tan 2tan 2tan 21 tan2 2tan21 tan2左边，等式成立(2)假设当 n k(kN *且 k2)时，等式成立，即tan tan 2tan 2tan 3tan( k1)tan k k ，tan ktan 那么当 nk 1 时，tan tan 2tan 2tan 3tan( k1)tan ktan ktan(k1) ktan ktan(k1)tan ktan 1tan ktan(k1)(k 1)tan ktan (k1)
7、tan ktan tank 1 tan ktank 1 k (k1)tank 1tan 这就是说，当 nk 1 时等式也成立由(1)(2)知，对任何 nN *且 n2，原等式成立用数学 归纳法证明等式时，要注意第 (1)步中验证 n0 的值，如本题要取n02，在第(2)步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的差角公式【训练 1】 用数学归纳法证明：对任意的 nN *， .113 135 12n 12n 1 n2n 1证明 (1)当 n1 时，左边 ，右边 ，左边右边，所113 13 121 1 13以等式成立(2)假设当 n k(kN *且 k1)时等式成立，即有 ，113 135 12
8、k 12k 1 k2k 1则当 nk1 时， 113 135 12k 12k 1 12k 12k 3 k2k 1 12k 12k 3 k2k 3 12k 12k 3 ，2k2 3k 12k 12k 3 k 12k 3 k 12k 1 1所以当 nk 1 时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切 n N*等式都成立考向二 用数学归纳法证明整除问题【例 2】是否存在正整数 m 使得 f(n)(2n7)3 n9 对任意自然数 n 都能被 m整除，若存在，求出最大的 m 的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由审题视点 观 察所给函数式，凑出推理要证明所需的项解 由 f(n) (2n7)3 n9 得，
9、f(1)36，f(2)336，f (3)1036，f(4)3436，由此猜想：m36.下面用数学归纳法证明：(1)当 n1 时，显然成立；(2)假设 nk(kN *且 k1)时，f( k)能被 36 整除，即 f(k)(2k7)3 k9 能被 36整除；当 nk 1 时，2(k1)73 k1 9(2k 7)3 k1 272723 k1 9 3(2k7)3 k918(3 k1 1)，由于 3k1 1 是 2 的倍数，故 18(3k1 1) 能被 36 整除，这就是说，当 nk 1时，f(n)也能被 36 整除由(1)(2)可知对一切正整数 n 都有 f(n)(2n7)3 n9 能被 36 整除，
10、m 的最大值为 36.证 明整除问题的关键“凑项” ，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出 nk 时的情形，从而利用归纳假设使问题获证【训练 2】 用数学归纳法证明 an1 (a1) 2n1 (nN *)能被 a2a1 整除证明 (1)当 n1 时，a 2(a1) a 2a1 可被 a2a1 整除(2)假设 nk(kN *且 k1)时，ak 1 (a1) 2k1 能被 a2a1 整除，则当 nk1 时，ak 2 (a1) 2k1 a ak1 ( a1) 2(a1) 2k1 aa k1 a(a1) 2k1 (a 2a1)(a1) 2k1 aa k1 (a1) 2k1 (a 2a1)(a1
11、) 2k1 ，由假设可知aak1 (a1) 2k1 能被 a2a1 整除，(a 2a1)(a1) 2k1 也能被 a2a1整除，a k2 ( a1) 2k1 也能被 a2a1 整除，即 nk1 时命题也成立，对任意 nN *原命题成立考向三 用数学归纳法证明不等式【例 3】用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数，不等式 (1 13)(1 15) 均成立(1 12n 1) 2n 12审题视点 本题用数学归纳法证明不等式，在推理过程中用放缩法，要注意放缩的“度” 证明 (1)当 n2 时，左边1 ；右边 .13 43 52左边右边， 不等式成立(2)假设 nk(k2，且 kN *)时不等式成立
12、，即 .(1 13)(1 15) (1 12k 1) 2k 12则当 nk1 时，(1 13)(1 15) (1 12k 1)1 12k 1 1 2k 12 2k 22k 1 2k 222k 1 4k2 8k 422k 1 .4k2 8k 32 2k 1 2k 32k 12 2k 1 2k 1 12当 nk1 时，不等式也成立由(1)(2)知，对于一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立在由 nk 到 nk1 的推证过程中，应用放缩技巧，使问题得以简化，用数学归纳法证明不等式问题时，从 nk 到 nk1 的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放 缩法等【训练 3】 已知函
13、数 f(x) x3x，数列a n满足条件：13a11，a n1 f(a n1) 试比较 与 1 的大小，11 a1 11 a2 11 a3 11 an并说明理由解 f( x)x 21，a n1 f(a n1)，a n1 (an1) 21.函数 g(x)(x1) 21x 22x 在区间1，)上单调递增，于是由 a11，得 a2(a 11) 212 21，进而得 a3(a 21) 212 412 31，由此猜想：a n2 n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当 n1 时，a 12 111，结论成立；假设 nk(k 1 且 kN *)时结论成立，即 ak2 k1，则当 nk1 时，由g(x)(x1)
14、 21 在区间1，)上单调递增知，a k1 (a k1)212 2k1 2 k1 1，即 nk 1 时，结论也成立由、知，对任意 nN *，都有 an2 n1.即 1a n2 n， ，11 an 12n 1 n1.11 a1 11 a2 11 a3 11 an 12 122 123 12n (12)考向四 归纳、猜想、证明【例 4】数列a n满足 Sn2na n(nN *)(1)计算 a1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式 an；(2)用数学归纳法证明(1) 中的猜想审题视点 利用 Sn与 an的关系式求出 an的前几项，然后归纳出 an，并用数学归纳法证明解 (1)当 n 1 时，
15、a 1S 12a 1，a 11.当 n2 时，a 1a 2S 222a 2，a 2 .32当 n3 时，a 1a 2a 3S 323a 3，a 3 .74当 n4 时，a 1a 2a 3a 4S 424a 4，a 4 .158由此猜想 an (nN *)2n 12n 1(2)证明 当 n1 时，左边a 11，右边 1，左边右边，结论成21 120立假设 nk(k 1 且 kN *)时，结论成立，即 ak ，那么 nk1 时，2k 12k 1ak 1 Sk1 Sk2(k 1) ak1 2ka k2a ka k1 ，2a k 12 ak，a k1 ，2 ak2 2 2k 12k 12 2k 1 1
16、2k这表明 nk 1 时，结论成立，由知猜想 an 成立2n 12n 1(1)归纳、猜想、证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例从特例入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律(2)数列是定义 在 N*上的函数，这与数学归纳法所运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决【训练 4】 由下列各式 1 ，121 1，12 131 ，12 13 14 15 16 17 321 2，12 13 1151 ，12 13 131 52，你能得到怎样的一般不等式，并加以证明答案 猜想：第 n 个不等式为 1 (n
17、N *)12 13 12n 1 n2(1)当 n1 时， 1 ，猜想正确12(2)假设当 n k(k1 且 kN *)时猜想正确，即 1 ，12 13 12k 1 k2那么，当 nk 1 时，1 12 13 12k 1 12k 12k 1 12k 1 1 k2 12k 12k 1 .12k 1 1 k2 12k 1 12k 1 12k 1 k2 2k2k 1 k2 12 k 12即当 nk1 时，不等式成立对于任意 nN *，不等式恒成立阅卷报告 20由于方法选择不当导致失误【问题诊断】 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题时，关键在于弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，由 n
18、k 到 nk1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项，其 难点在于归纳假设后，如何推 证对下一个正整数值命题也成立.【防范措施】 把归纳假设当做已知条件参加推理.明确对下一个正整数值命题成立的目标，通过适当的变换达到这个目标， 这里可以使用综合法，也可以使用分析法，甚至可以再次使用数学归纳法.【示例】 在数列 an、b n中，a 12，b 14，且 an，b n，a n1 成等差数列，bn，a n1 ，b n1 成等比数列(nN *)(1)求 a2，a 3， a4 及 b2，b 3，b 4，由此猜测a n， bn的通项公式，并证明你的结论；(2)证明： .1a1 b1 1a2 b2 1an
19、 bn 512实录 (1)由条件得 2bna na n1 ，a b nbn1 .2n 1由此可得 a26，b 29，a 312，b 316，a 420，b 425.猜测 ann(n1) ，b n(n1) 2.用数学归纳法证明：当 n1 时，由上可得结论成立假设当 nk (k1 且 kN *)时，结论成立，即 ak k(k1)，b k( k1) 2，那么当 nk 1 时，a k1 2b ka k2(k 1) 2k(k1)(k1)(k2)，b k1 (k2) 2，a 2k 1bk所以当 nk 1 时，结论也成立由，可知 ann(n1)，b n(n1) 2 对一切正整数都成立错因 第二问由于不等式的
20、右端为常数，结论本身是不能用数学归纳法证明的，可考虑用放缩法证明，也可考虑加强不等式后，用数学归纳法证明(2)当n1 时 1a1 b1 16 512假设 nk(k N*)时不等式成立即 1a1 b1 1a2 b2 1ak bk 512当 nk1 时 1a1 b1 1a2 b2 1ak bk 1ak 1 bk 1 512 1ak 1 bk 1到此无法用数学归纳法证明正解 (1)用实录 (1)(2)证明： .1a1 b1 16 512n2 时，由(1)知 anb n(n1)(2 n1)2(n1)n .故 1a1 b1 1a2 b2 1an bn 16 12 123 134 1nn 1 16 12(12 13 13 14 1n 1n 1) .16 12(12 1n 1) 16 14 512综上，原不等式成立
