1、第六节 施瓦茨-克里斯托费尔映射 (Schwarz-christoffel),一、施瓦茨-克里斯托费尔映射的引入,二、施瓦茨-克里斯托费尔映射的概念,三、应用举例,四、小结与思考,2,一、施瓦茨-克里斯托费尔映射的引入,问题:,边界由直线,线段,或射线组成,3,.,.,可看作特殊的多角形域,例如,4,将上例推广:,映射可用下列方程来确定:,5,验证,而其它项不变,是w欲沿下一条边移动所必须转过的角,6,依次下去: 当 z历经整个x轴时, w沿着多角形,的边界移动. (如图示),.,.,.,.,.,.,.,可见:由此方程确定的映射将上半平面映射成内,7,二、施瓦茨-克里斯托费尔映射的概念,1.
2、定义,对于方程,两边积分, 解得,称为施瓦茨-克里斯托费尔映射,施瓦茨,克里斯托费尔,8,施瓦茨-克里斯托费尔映射成为:,说明:,所以映射在这些点以外的上半平面是共形的.,与前式相差一个因子,9,2. 将上半平面映射为已知的多角形区域,可分解为:,10,上式表示把 z 平面上的上半平面映射成 t 平,的映射.,11,补充:,在实际问题中, 常见的多角形是变态多角,形, 即它的顶点有一个或几个在无穷远.,规定:,例如，,12,三、应用举例,解,13,1,2,3,4,两区域绕向相同.,所求映射为,14,15,16,点如图示.,解,看作有三个顶点C,A,B的多角形, B,C在无穷远,例2,17,18
3、,19,因此所求映射为,20,例3 平行板电容器中等位线与电力线的分布情况.,分析,由于理想平行板电容器无边缘, 其电力线,和等位线是互相垂直的两族平行线.,等位线,电力线,平行于平行板,垂直于平行板,边缘,中心线,平行板电容器实际是,有边缘的.,电场分布,关于中心线对称.,21,考虑中心线上方的一半带有割痕的半平面,带形区域的映射,若能求出w平面中带割痕的上半平面与z平面中,欲求平行板电容器的等位线和电力线只需,将z平面中的两族互相垂直的平行线映射到w平,面即可.,就可推知电容器的电场分布,22,解,因此把z平面中带形区域,映射到w平面中带割痕的,上半平面的映射是,23,将所求出映射的实部和
4、虚部分离得,24,电力线,等位线,此问题也可看成由两条半直线构成的开口,槽中流体的流线与等位线的分布情形,此时图中,说明：,的等位线变为流线, 而电力线变为等位线.,25,四、小结与思考,施瓦兹-克里斯托费尔公式是反映上半平面 到多角形区域的映射公式. 它的实际应用比较困 难. 充分了解本课内容.,放映结束，按Esc退出.,26,施瓦茨资料,Herman Schwarz,Born: 25 Jan 1843 in Hermsdorf, Silesia (now Poland) Died: 30 Nov 1921 in Berlin, Germany,27,克里斯托费尔资料,Elwin Christoffel,Born: 10 Nov 1829 in Montjoie Aachen (now Monschau), Germany Died: 15 March 1900 in Strasbourg, France,
