1、 中 国 矿 业 大 学本 科 生 毕 业 论 文姓 名： 学 号： 学 院： 理 学 院 专 业： 光信息科学与技术 论文题目： 光子晶体缺陷模式共振透射机制的研究 专 题： 指导教师： 职 称： 年 月 徐州中国矿业大学毕业论文任务书学院 任 务 下 达 日 期 ： 2011 年 1 月 3 日毕业论文日期： 2012 年 2 月 20 日至 2012 年 6 月 15 日毕业论文题目： 光子晶体缺陷模式共振透射机制的研究毕业论文专题题目：毕业论文主要内容和要求：光子晶体缺陷模式是处于光子带隙中的空间局域模式，利用这种模式可以实现光子晶体波导对光场的有效控制。本课题主要研究二维光子晶体线缺
2、陷的相关参数（如折射率、层数、入射频率等）对缺陷模式的透射传输性质的影响。了解能带基本知识、二维晶格及倒格子概念，了解光学模式的概念，掌握基本的软件 Rsoft 的基本操作知识。院长签字： 指导教师签字：中国矿业大学毕业论文指导教师评阅书指导教师评语（基础理论及基本技能的掌握；独立解决实际问题的能力；研究内容的理论依据和技术方法；取得的主要成果及创新点；工作态度及工作量；总体评价及建议成绩；存在问题；是否同意答辩等）：成 绩： 指导教师签字：年 月 日中国矿业大学毕业论文评阅教师评阅书评阅教师评语（选题的意义；基础理论及基本技能的掌握；综合运用所学知识解决实际问题的能力；工作量的大小；取得的主
3、要成果及创新点；写作的规范程度；总体评价及建议成绩；存在问题；是否同意答辩等）：成 绩： 评阅教师签字：年 月 日中国矿业大学毕业论文答 辩 及 综 合 成 绩答 辩 情 况回 答 问 题提 出 问 题 正 确基 本正 确有 一 般性 错 误有 原 则性 错 误没 有回 答答辩委员会评语及建议成绩：答辩委员会主任签字： 年 月 日学院领导小组综合评定成绩学院领导小组负责人： 年 月 日摘 要光子晶体是由在空间周期性地排布的具有不同介电常数的介质材料而成的，它经过特殊设计，可以用来控制光的传输。带有缺陷的光子晶体可以作为光波导来使用，影响光通过缺陷波导透射的因素包括：入射光的频率和角度，晶体结构
4、的各向异性，以及晶体界面处的修饰等。本文主要分析了光子晶体中缺陷模式的投影能带对带隙内光束透射行为的影响。首先，基于光子晶体能带理论，通过对光子晶体的线缺陷折射率进行扫描，分析其对缺陷模式的投影能带结构的影响。然后通过时域有限差分法(FDTD)模拟高斯光束在光子晶体线缺陷波导中的透射情况，在此基础上分析了线缺陷折射率、入射光归一化频率、光子晶体厚度和表面修饰对光束透射的影响，并给出了相应的理论解释。关键词： 光子晶体； 投影能带结构； 线缺陷； 归一化频率； 表面修饰ABSTRACTPhotonic crystal (PC) is composed by dielectric material
5、s with different dielectric constants periodically arranged in the space. It can be used to control the flow of light after being specially designed. Photonic crystal with a line defect can be used as a waveguide. The factors that affect the transmission of light through the PC waveguide include: th
6、e frequency, the incidence angle, the anisotropy of the crystal structure, and surface modification at the PC-air interface. This thesis analyzed the influence of the projected band of defect mode on the transmission behavior of light in the PC band gap.First of all, based on the PC band theory, we
7、analyze the influence of the refractive index of the line defect on the projected band structure of the defect mode by scanning the index of line defect. Then, we simulate the Gaussian beam transmission through the PC defect waveguide by the finite difference time domain method (FDTD. On the basis o
8、f above, we analyze the effect of refractive index of the line defect, the incident normalized frequency, PC thickness and surface modification to the beam transmission, and give a corresponding theoretical explanation.Keywords：Photonic crystal; Projection band structure; Line defect; Normalized fre
9、quency; Surface modification目 录1 引言11.1 光子晶体简介11.1.1 光子晶体的概念11.1.2 光子晶体的分类21.1.3 光子晶体的理论研究方法31.1.4 光子晶体的主要应用41.1.5 光子晶体的研究动态41.2 本论文的工作52 光子晶体能带理论62.1 布洛赫定理62.2 Maxwell 方程组的本征值方程 72.3 Bandslove 中求解能带的方程82.4 Rsoft 软件简介102.4.1 Bandslove 模块概述102.4.2 Fullwave 模块概述103 FDTD 的基本原理和计算方法113.1 FDTD 的基本原理 113.
10、2 FDTD 的计算方法 114 光子晶体缺陷模式共振透射机制144.1 光子晶体缺陷结构介绍144.1.1 光子晶体缺陷结构的分类144.1.2 光子晶体缺陷结构下的能带154.1.3 小结184.2 光子晶体缺陷模式下透射现象的模拟与研究184.2.1 光子晶体缺陷模式下随缺陷折射率改变的透射现象194.2.2 光子晶体缺陷模式下随入射频率改变的透射现象224.2.3 光子晶体缺陷模式下随晶体层数改变的透射现象264.2.4 光子晶体缺陷模式下随晶体表面修饰的透射现象294.3 结论305 总结31参考文献31翻译部分英文原文34中文译文42致谢48中国矿业大学 2012 届本科生毕业论文
11、 第 1 页1 引言在过去的半个世纪中，随着半导体集成电路的不断发展，信息技术得到了快速的发展，对人类生活和经济社会的发展产生了巨大的影响。总所周知，集成电路技术的发展一直遵循摩尔定律，即芯片集成度每18个月翻一番特征尺寸每三年缩小一倍。然而，当芯片达到经典尺寸的极限后 1，进一步缩小特征尺寸、提高集成度已相当困难。另外制约着信息技术的进一步发展，即电子作为集成电路的主要载体，当集成度过高时，电子间存在库仑力，电子间的相互影响所产生的热效应将大大降低集成电路的性能，并引起能量损耗大、信息传输慢等问题。与电子相比，光子是以光速运动的粒子，其静止质量为零，且相互之间没有作用力，因此，以光子作为信息
12、及能量的载体有着巨大的优越性。因而用光子代替电子作为信息的载体将成为了解决困难的方法，光子晶体就是其中之一的代替方式。光子晶体是近二十多年来迅速发展起来的一种新型人工结构功能材料，它具有周期性的介电结构，具有光子带隙，对光具有局域性，有着特殊的导光特性，能控制光在介质中的传输。1998年和1999年科学杂志都将光子晶体研究成果列入当年的十大研究进展 2-4。1.1 光子晶体简介光子晶体概念的提出在上世纪80年代末期。在1987年Yablonovileh 5和John 6借鉴了半导体晶体及其电子带隙的概念，首次分别提出了光子晶体的概念。光子晶体是由不同介电常数的介质材料在空间周期性的排布结构。1
13、.1.1 光子晶体概念光子晶体，即光子禁带材料，当电磁波在光子带隙材料中传播时，遵循折射、反射、透射原理，电子周期性的布拉格散射使电磁波受到调制而形成类似于电子能带结构，这种能带结构成为光子能带（PB ） ，与半导体晶格对电子波函数的调制相类似，光子禁带材料能够调制具有相应波长的电磁波。从材料结构上看，光子晶体是一类在光学尺度上具有周期性介电结构的人工设计和制造的晶体。在适当的晶格常数和介电常数比条件下，类似于电子能带隙，在光子晶体的光子能带间可能出现某些频率的电磁波完全不能透过的频率区域，将此频率区域称为光子带隙（PBG） 。下表给出光子晶体与电子晶体各方面的比较。表格 1.1.1 光子晶体
14、与电子晶体的比较 4光子晶体 电子晶体结构 由两种以上的介电材料构成的 周期型结构 结晶体（自然的或生长的）调控对象 光子的输运行为 波色子 电子的输运行为 费米子本征方程麦克斯韦方程组 21()()Hrrc薛定谔方程2()()EpVrrm中国矿业大学 2012 届本科生毕业论文 第 2 页本征矢矢量磁场强度 (,)Hrt(,)itrtce 标量波函数 ()r(,)iEtrtce特征 光子禁带、在缺陷处的局域模 式、表面态 电子禁带、缺陷态、表面态参量 各组元的介电常数 普适常数、原子数晶格常数 1um1cm 15 （微观）A偏振 横波（ ）0E自旋 ，带隙 随介电常数的增大而增大，无 光子、
15、光波的存在 随着晶体势函数的增加而增 大，没有电子态频率范围 电磁波 无线电波、微波、光波和 射线X光子晶体的基本行为特征可以概括为：（1）具有周期性；（2）具有低损耗高反射性能；（3）具有相空间压缩性能；（4）具有禁带特性，落在禁带中的电磁波/弹性波被禁止传播；（5）当在周期型结构中存在点缺陷和线缺陷时，电磁波/弹性波会被局域在点缺陷处，或只能沿线缺陷方向传播。1.1.2 光子晶体分类光子晶体按空间取向可以分为一维、二维与三维光子晶体。一维光子晶体是在空间上一个维度有周期性的介电常数变化所构成的结构；二维光子晶体在空间上的两个维度有介电常数的周期性变化，而三维光子晶体在空间上三个维度有介电常
16、数的周期性变化。二维光子晶体可用周期排列的柱子，或在块状物上刻出二维周期性排列的空洞来制作。而三维光子晶体则可用紧密堆积的球状物或柱状物来构成，或以块状物在各方向刻出三维周期性排列的空洞来构成。图 1.1 一维、二维、三维光子晶体示意图中国矿业大学 2012 届本科生毕业论文 第 3 页1.1.3 光子晶体的理论研究方法研究光子晶体的理论方法主要有等效折射率模型、利用各种正交基函数展开的矢量模型、平面波法、传输矩阵法、有限时域差分法、有限元法及多极法等 7。1、等效折射率模型方法等效折射率模型，主要用于解释全反射型光子晶体光纤的单模特性，是把PCF等效为传统的阶跃折射率光纤。在包层区，按三角均
17、匀排列着空气孔，纤芯则是由石英替代了空气孔，从而形成所谓的“缺陷”，使光局限在里面传输。通常用空气孔间距A和空气孔直径d 来描述PCF的包层结构。空气孔的存在使包层与纤芯之间形成了折射率差，光在纤芯中产生全内反射导光。通过求解矢量Helmholtz方程可以计算包层空间填充基模的传播常数 ，进而可以求得包层FSM的等效折射率 ， 是包层中的最大传播常数， 为自由空间波0/knFSMefFS 0k数 8。2、平面波法（Plane-Wave）这是光子晶体能带计算中用得比较早也是用得最多的一种方法。它应用布洛赫定理，将电磁波在倒格矢空间以平面波叠加的形式展开，将Maxwell方程组化为本征方程，然后求
18、解得到本征频率，本征频率的集合即为光子能带。这种方法的优点：思路清晰，易于编程；缺点是计算精度和计算量决定于平面波的数量，尤其是当结构复杂且有缺陷时使用的平面波数量太多，计算量太大而无法完成。3、时域有限差分法（FDTD）时域有限差分法（FDTD）是基于对偏微分波动方程的离散化处理。通过时间和空间的离散化，将偏微分方程转化为差分方程，继而采用数值计算方法，求解波传播过程中各个离散点的所有振动参数与时间的函数关系。用时域有限差分法对Maxwell方程进行离散化处理，不会导致过多的计算误差，且能处理任意几何形状的光子晶体。另外，通过傅里叶变换，以此计算可包含较大频率范围的结果，能够直观地给出光在光
19、子晶体的传输行为，得出与实验一直的精确结果。时域有限差分法不但可以计算周期结构中的带结构，也可以计算有限结构的透射、反射等特性。4、传输矩阵法(Transfer matrix)求解Maxwell方程的基本含义是：对光子晶体取厚度为d的薄层，在薄层入射面处的电磁波为 。出射面的电磁波为 ，两者可以用矩阵)(rHEi )(drHEi联系起来， ，即是通过矩阵 ，将介质层一边的电磁T)()(rTdii T波“传输”到了介质层另一边。若光子晶体可以划分为 层，逐层传输可以得N中国矿业大学 2012 届本科生毕业论文 第 4 页到出射面处的电磁波，则总的传输矩阵 。传输矩阵法的具体做法：1)在NnT1波
20、矢空间中作微分算子变换： ，且用差分式表示微分；2)波矢)()(kEixrx空间的Maxwell方程展开成分量式，并注意纵模不存在，取，式中“+”用于电场，“-”用于磁场。)exp()(1aikikxx)(2ako将上述几点进行运算并整理可得到传输矩阵。1.1.4 光子晶体的主要应用光子晶体具有控制光流、集中光流、提高光-物质相互作用的能力，不仅使发光二极管LED的外量子效率超过50%，还可以应用于高效率、低损耗的反射镜等领域。另一方面，随着信息技术的发展，光子驱动功能材料及器件将在光存储和光学信息处理等光子学领域得到广泛应用。显然，与光通信、信息显示相关的光子晶体具有非常广阔的应用前景。（1
21、）高性能、低损耗反射镜。频率落在光子带隙中的光子或电磁波不能在光子晶体中传播。因此选择没有吸收的介电材料制成的光子晶体可以反射从任何方向的入射光，反射率几乎为100。这与传统的金属反射镜完全不同。传统的金属反射镜在很大的频率范围内可以反射光，但在红外和光学波段有较大的吸收。这种光子晶体反射镜有许多实际用途，如制作新型的平面天线 9。（2）光子晶体微腔。在光子晶体中引入缺陷，可能在光子带隙中出现缺陷态，这种缺陷态具有很大的态密度和品质因子。这种由光子晶体制成的微腔比传统微腔要优异的多。最近MIT研究人员制成了位于红外波段的微腔，具有很高的品质因子。（3）光子晶体光纤。英国Bath大学的研究人员用
22、二维光子晶体成功制成新型光纤由几百个传统的氧化硅棒和氧化硅毛细管依次绑在一起组成六角阵列。然后在2000度下烧结而形成直径约40微米。蜂窝结构的亚微米空气孔阵列就形成了。为了导光，在光纤中人为引入额外空气孔。这种额外的空气孔就是导光通道。与传统的光纤完全不同，在这里传播光是在空气孔中而非氧化硅中，可导波的范围很大。（4）光子晶体超棱镜。常规的棱镜的对波长相近的光几乎不能分开。但用光子晶体做成的超棱镜的分开能力比常规的要强1001000倍，体积只有常规的l大小。如对波长为1.0微米和0.9微米的两束光，常规的棱镜几乎不能将它们分开。但采用光子晶体超棱镜后可以将它们分开到60度 10-11。这对光
23、通讯中的信息处理有重要的意义。（5）光子晶体偏振器。常规的偏振器只对很小的频率范围或某一人射角度范围有效，体积也比较大，不容易实现光学集成。最近，我们发现可以用二维光子晶体来制作偏振器。这种光子晶体偏振器有传统的偏振器所没有的优点：可以在很大的频率范围工作，体积很小，很容易在Si片上集成或直接在Si基上中国矿业大学 2012 届本科生毕业论文 第 5 页制成。1.1.5 光子晶体的研究动态1、红外及可见光波段光子晶体红外及可见光波段光子晶体研究主要涉及光通信、光信息处理、光传感和控制领域。1998年美国Sandia国家实验室采用多层沉积/刻蚀，制作出PBG为1014.5um的用于红外探测器的多
24、晶硅三维光子晶体，最终制成1cm1cm的光子晶体探测头。1999年，美国MIT研制出光子晶体反射镜，在特定波长范围内具有全反射功能；美国MIT和英国Bath大学制备的光子晶体光纤光缆，传输的能量或信息成倍增加，理论上能够无损耗远距离传输，并且能够传输高功率激光。2002年，St.And-rows大学制备的离子刻蚀半导体基光子晶体，利用光子晶体超色散效应研制的光子晶体波分复用器件具有非常高的品质。目前，光波频段光子晶体的研究呈现下列趋势 12：（1）追求材料和器件的低损耗；（2）追求光子晶体激光器的高Q值；（3）从单元器件向集成光路的研制迈进。2、微波波段光子晶体1991年Yablonovitc
25、h等研制出的第一块光子晶体，其禁带就位于微波波段，此后微波光子晶体的研究在应用原理探索方面迅速取得了突破。1993年美国研制出接近100%的光子晶体偶极子天线，使得天线效率大大提高，并于1995年申请了专利。19961999年，Qian 和Coccioli、Kesler等相继研制出光子晶体微带贴片天线，抑制了谐振模式，有效的消除了表面波的影响，提高了天线的效率。同时研究发现由光子晶体支撑的微带天线阵，天线之间的隔离度可提高10dB，而且具有比较小的后向辐射 13-17。1999年，Conexant 国际公司利用光子晶体对禁带内电磁波的强反射性能研制出光子晶体人体保护天线，证实其对电磁辐射有真正
26、的保护作用。近几年，国防科技大学 18-23在光子晶体微波天线研究方面取得了阶段性进展。其研制的具有分形特征的光子晶体微带传输线能抑制天线的伪辐射、提高系统的电磁兼容性；光子晶体微带天线二次谐波小；光子晶体宽带滤波器可实现412GHz宽带滤波光子晶体微波高阻表面能实现3.35.6GHz范围内的表面波抑制。1.2 本论文的工作本文主要研究，对于线缺陷结构的光子晶体，研究其共振透射机制，具体可概括为以下几点：1、通过对线缺陷结构光子晶体投影能带图的分析，得到两条缺陷模式图（对于TM波，即电场方向平行于介质柱轴向） ，频率 的范围在禁带中出现了两条中国矿业大学 2012 届本科生毕业论文 第 6 页
27、缺陷模式，意味着当归一化频率在缺陷模式范围内，可能出现透射光。频率在0.2900和0.3062范围内，通过光子晶体的光为单模；同理，频率在0.3062和0.3362范围内通过光子晶体的光为多模（本文中所说的频率均为归一化频率，单位为 ） 。在此频率范围内，我们可以分析透射光的情况。/a2、采用有限时域差分法(FDTD)，模拟了入射TM波在该种线缺陷结构里的透射实验，并分析了线缺陷折射率改变、入射光频率改变、光子晶体层数以及表面修饰对线缺陷晶体结构透射行为的影响，并利用光强度探测器来测量光束的透射和反射情况。2 光子晶体能带理论由于具有晶格的平移对称性和相应的点群对称性，晶体中电子本征能量不再是
28、孤立量级，而是一些能带，因此在固体物理中将研究晶体电子本征能量的内容称为电子能带理论 24。光子晶体保留了晶格的平移对称性和相应的点群对称性，因而其中波的本征频率分布应与晶体中电子的本征能谱相似，呈现为一些频带，称为光子晶体能带。2.1 布洛赫定理光子晶体模式本来可以通过解Maxwell方程组来得到，但是，由于对称性的影响限制了这种解决方法。实际中，光子晶体模式必须满足一定的平移对称性。由于折射率分布在同一原胞中是相同的，所以，当平移一个晶格矢量 时，R该模式应该保持不变。多数情况下，可以通过引入一个连续变化的相位因子来达到上述目的。我们引入周期算子 来描述这种变化，然后通过计算 的)exp(
29、iRTRT本征值来达到解方程的目的。考虑方程（2.1）)exp()exp()(iGcikHj其中 为展开系数， 为偏振矢量。jcj将平移算子应用到 中，我们有)(x（2.2）)(exp)(ep)( xGkiRkicHjj jjRT中国矿业大学 2012 届本科生毕业论文 第 7 页)(expxGkiRikcjjj j jjicii exp)(xHRik从上式可以看出，这种形式的磁场仅与一个周期变化的相位因子有关，而且也满足所需要的对称性。实际上，这是最一般的解的形式，即布洛赫定理磁场表示成一个平面波乘上一个和晶格周期有关的函数（2.3）)(exp()(xuik这里，对所有的晶格矢量R有)()R
30、ukk2.2 Maxwell方程组的本征值方程光子晶体中的Maxwell方程组 25tBtxE),(DH0（2.4）假设材料为线性、无损、各向同性的，则有（2.5）uBEx00,)(各场量对时间的关系)ep()(iwtxH)e()(itD（2.6）pwx将（2.5）式和（2.6）式分别代入（2.4）中有：HiE0中国矿业大学 2012 届本科生毕业论文 第 8 页0H将（2.4）中第二式两边取旋度，并将第一式代入可以得到H2)()(Eiw（2.7）x)(02由于 ，整理上式可得021c（2.8）)()()(12xHcwx在光子晶体文献中，这个方程通常被叫做“主方程” 。2.3 Bandsolv
31、e中求解能带的方程应用布洛赫定理，如前所述，我们将 表示为)(xep)(ikxuHk这里， 为晶格周期的函数。将此式代入（2.8）式可得)(xuk（2.9）kkk uwixiuL2)(1)( 为一线性算子， 为归一化频率。Lcw/方程（2.9）即为Bandsolve中求解能带的基本方程。它可以看成是对未知本征值和本征矢量的本征方程，其中波矢 为自由参数。 k光子晶体结构形式有很多种，现在研究比较热的主要有正方格子结构、三角格子结构、蜂窝结构及K结构光子晶体。本文主要讨论光子晶体的能带结构及性质为如下图2.1，介电常数 =9.0，介质柱半径R=0.3 ，背景介质为空气，a柱子折射率为 。n3.0
32、中国矿业大学 2012 届本科生毕业论文 第 9 页图2.1 本文光子晶体示意图下面我们来计算这种晶体结构的能带图。首先我们给出计算能带结构所需的晶胞图以及第一布里渊区的图示，如下所示：图2.2 （a）完美光子晶体晶胞图 （b）第一布里渊区图利用前面所述理论，通过软件中的Bandsolve模块我们就可以给出这种晶体结构的能带图，如图2.3所示：图2.3 相对介电常数 =9.0，半径R=0.30 介质柱在空气中构成缺陷结a构光子晶体TM模的能带结构图从能带图中，我们可以清晰得看到，该结构对于TM波（即电场方向平行中国矿业大学 2012 届本科生毕业论文 第 10 页于介质柱轴向）在约化频率范围（
33、0.2663-0.3347）内，出现了一个很宽的光子禁带，理论上讲，以此范围内频率的光入射时，光束将被完全反射。如下图2.4所示：（a） （b）图2.4 频率 =0.30的光以45入射该光子晶体的FDTD模拟。其中：（a）反射现象的FDTD模拟图；（b）探测器显示反射光束的位置（横坐标零点代表经典反射光束中心所在位置） 。从FDTD模拟图中我们可以看到，入射光在光子晶体表面几乎完全被反射回去，右图为反射光束的强度分布图，由此可见，该光子晶体的反射行为基本符合菲涅耳反射定律。2.4 Rsoft软件简介我们在实验中所用的仿真软件是Rsoft系列的Bandsolve模块和Fu11waveFDTD模块
34、。美国Rsoft设计集团公司是一家世界著名的光通信模拟设计和仿真软件开发商。产品涵盖器件设计、系统仿真、网络建模。广泛应用于光器件、光通信系统、宽带网中的城域网、长距离传输设备以及接入设备的设计与开发上。世界上有近千家光通信生产企业、科研院所在使用Rsoft的软件从事设计和规划工作。2.4.1 Bandsolve模块简介Bandsolve 是一套商用的光子晶体能带结构模拟分析设计软件。集成了CAD 和仿真功能，可以对所有光子晶体部件的能带结构进行自动的计算，包括：二维或三维的光子晶体平板和波导，二维或三维的腔体结构问题以及光子晶体光纤。功能如下:(1)任意结构的能带图；(2)平面的或三维的光子
35、晶体组件的能隙设计及设计优化；(3)腔体结构/缺陷结构；(4)常规的和有空洞的光子晶体光纤设计；中国矿业大学 2012 届本科生毕业论文 第 11 页(5)模的计算与显示。2.4.2 Fullwave 模块概述Ful1wave 是一个高集成的复杂的光电元件模拟设计分析软件。它使用有限时域差分分析法(FDTD)分析一般光束传播(Beam-Propagation-Method， BPM， Rsoft 的 BeamPROP 软件包 )和其他软件包所无法建模分析的光电元件，例如：光子带隙、环状谐振器等。主控程序是 BeamPROP 的完整的 CAD 绘图系统，用来设计光波导元件和光路。控制模拟特性如数
36、字参数、输入域、显示和分析选项。Fu11wave 模拟模块可在主程序中执行也可单独执行完成并且提供域的图型显示和其他各种分析。 功能如下：(1)二维波导结构：直线型、锥型、曲线型、Y 型分枝、透镜、多边形；(2)用户自定义的锥形波的位置、宽度、高度和沿传播轴方向的折射率；(3)位置坐标也可直接设定：设定绝对坐标值或通过设定与任何其他光波导器件的位移和角度；(4)二维和三维的有限时域差分仿真；(5)连续波或脉冲激发。3 FDTD的基本原理和计算方法3.1 FDTD基本原理时域有限差分法（FDTD）是基于对偏微分波动方程的离散化处理。通过时间和空间的离散化，将偏微分方程转化为差分方程，继而采用数值
37、计算方法，求解波传播过程中各个离散点的所有振动参数与时间的函数关系。用时域有限差分法对Maxwell方程进行离散化处理，不会导致过多的计算误差，且能处理任意几何形状的光子晶体。另外，通过傅里叶变换，以此计算可包含较大频率范围的结果，能够直观地给出光在光子晶体的传输行为，得出与实验一直的精确结果。时域有限差分法不但可以计算周期结构中的带结构，也可以计算有限结构的透射、反射等特性。FDTD的基本原理，即是将麦克斯韦方程中的两个旋度方程，转化为一组差分方程来求解，将计算区域划分为很多个小的基元，即Yee原胞。对每个原胞上的电场和磁场在时间和空间步长上分别取样，形成Yee原胞的网格。这种方法的主要步骤
38、就是：（1)将Maxwell方程分解成6个分量的标量方程；（2)将空间沿轴向分割为 ， ， 表示的小单元Yee格点， 为时间变元，xyz t则时空点用( )表示，简单地用（ )表示；（3)用中心有tnkji, nkji,限差分式来表示函数对空间和时间的偏导数，精确到二阶。如此就可以得到Maxwell方程的FDTD形式，然后再附加稳定性条件和Mur 边界条件，使求解的中国矿业大学 2012 届本科生毕业论文 第 12 页有限空间与无限空间等效，向边界行进的波在边界处保持外向行进特征，无明显反射，不会引起内部空间场的畸变 26。这样处理后就可求解Maxwell方程了。3.2 FDTD的计算方法根据
39、上面的描述，我们来利用Maxwell方程组详细推导一下：Maxwell方程组中有公式：， JtDH（3.1）BE其中，在各向同性介质中， EJ,在直角坐标系中，上两式可以写为xyztHtzEyxyyzxtH（3.2）txEzyzzzytHtyExzx（3.2）式的FDTD差分分离形式是类似的，令 代表 或 的某一分量，),(tzyxfEB在空间和时间上的离散。可表示为 ),(),(),( kjiftnzkyjxiftzyxf 又可以表示为 关于时间和空间的一介偏导数：,xjifjifxzfnnxi ),2/1(),2/1(|)(中国矿业大学 2012 届本科生毕业论文 第 13 页（3.3）y
40、kjifkjifyzxfnnyi ),2/1(),2/1(|),(zjifjfzfnnzi ,/,/|,根据（3.3）式，将各点的微商用差商来代替，就将一定空间的微分问题转换为有限个差分方程的求解。对于（2）式可做进一步处理 27，以 为例，考虑到介质中 ，电场和xE0J磁场在各节点的分布就可以计算出来，即Yee原胞，如图3.1：图3.1 Yee 原胞示意图)21(),21(),21( itkjiEkjiEnxnx ykjiHjiHnxnx ),21,( 121（3.4）),(),2(2121zjikjinyny 可以清晰的看出， 在 点、 （ ）时刻的值，由该点前一时刻xE),(ji1的值和
41、环绕该点的四个磁场分量在前后半个时刻的值所决定。同时，为了保证迭代收敛得到稳定解， 、 、 的选择需要满足稳定性条件 28yt中国矿业大学 2012 届本科生毕业论文 第 14 页（3.5）212)(1yxct利用 FDTD 方法计算光子晶体结构能带的步骤为：将计算区域划分为很多个小网格，将每个网格的参数(这里是介电常数)标记为对应的实际结构的参数值；设置激励源，即在计算区域的一个低对称位置点加入一个高斯脉冲，高斯脉冲的频谱范围一定要包含着所要计算的频率段； Bloch边界的设置如图3.2(c)和图 3.2(d)所示，在二维的正方晶格结构里， 边界分为 2 种情况，左右 2 个边界和上下 2
42、个边界。以左边界为例， l边界的右边是计算区域，而左边是截断的域，也就是实际没有进行计算的区域，但是由 FDTD 的公式可知，要想计算 Bloch 边界某一点的下一个时间步的场值，必须用到点 1 和点 2 的当前时刻的场值。由于点 2 不在计算区域内，因此不能直接得到点 2 的当前时刻的场值，注意到点 3 与点 2 的距离正好为一个晶格常数 a，两者相差的晶格矢量为 ax，由 Bloch定理可 图 3.2(a)光子晶体的正方形排列 图 3.2(b)正方晶格的最小布里渊区图 3.2(c)FDT的 Bloch边界 图 3.2(d)相邻元胞的对应点知，这两点的场值相差一个相位因子，即 ()23jka
43、uex。同理可得剩下的 3 个Bloch边界的设置形式右边界 ()23jkauex，下边界 ()23jkauy，上边界()23jkauey； K值取样路径 Pth的设置对于正方晶格的最小布里渊区，只需取正方区域的 1/8，即沿着如图 3.2(d)所示的三角形 G-MK的路径取样，得到一系列的 值。通过在计算足够长的时间步(通常取 15)后，便会记录下一个很长的时间序列，通过快速傅里叶变换 FT，就可以得到频率域的结果。本文主要运用时域有限差分法来研究入射线缺陷模式下光子晶体透射的作用。中国矿业大学 2012 届本科生毕业论文 第 15 页4 光子晶体缺陷模式共振透射机制的研究4.1 光子晶体缺
44、陷模式4.1.1光子晶体缺陷模式介绍我们类比半导体晶格缺陷结构和电子缺陷能级的概念来定义光子缺陷模式。在前面介绍了完美光子晶体的结构，其中设想原子都是严格地处在规则的格点上。实际的光子晶体总是存在着各种各样的缺陷，偏离了完美晶格的情况。在完全禁带或模式禁带频率范围内，破坏介质周期性分布的缺陷结构是光子晶体研究和应用的核心内容。如果存在光子晶体缺陷模式（频率处于完全禁带或模式禁带范围内的缺陷结构本征电磁模式）和缺陷带（所有缺陷模式覆盖的禁带频率范围），那么频率处于缺陷带的电磁波能够被长时间（低损）地强局域在光子晶体的缺陷结构中。因此光子晶体的点缺陷（孤立、不连通的缺陷结构如图4.1（a）能够构建
45、固有频率为点缺陷本征频率的高品质因子（高Q）谐振腔，被称为光子晶体微腔；光子晶体的线缺陷（一维连通的缺陷结构如图4.1（b）在缺陷带能够实现低损波导的功能，被称为光子晶体波导，他们发展了频率禁带约束电磁波的物理机制，为控制波长相对较短的光波提供了不同的思路。图4.1（a）图4.1(b)4.1.2 光子晶体缺陷结构能带的计算由于本文引人了线缺陷，破坏了原有晶体的周期对称性，原采用的原胞不中国矿业大学 2012 届本科生毕业论文 第 16 页再适用。选取一个可以重复的周期性结构，将缺陷包含在内消除缺陷的影响，所以引入超晶胞结构。1970年美国IBM实验室的江崎和朱兆祥提出了超晶格的概念。在本文中，我们设计一种由正方格子组成21 21的线缺陷结构介质柱组成的光子晶体，介质柱折射率为 ，线缺陷处折射率 ，选取柱子半0.3n9.3n径R=0.30 （ 为晶格常数） ，可以计算得到其能带图。图4.2（a）为本文设计a
