1、1习 题 四(A)1、设随机向量 的分布函数为 ，对任意 （ ） ，证明：),(YX),(yxFdcba,dc,。)(,(,( dabdcbaP 解 ),), ycXPYcP)(),()(,( aFbF2、一台仪表由二个部件组成，以 和 分别表示这二个部件的寿命（单位：小时） ，设 的分X ),(YX布函数为 其 他0010101yxeeyxFyyx ,),( )(.求二个部件的寿命同时超过 120小时的概率。解 ),(YXP220971112020242 4. )()()( ,(),. .e eeFF3、设 等可能的取 1,2,3,4中的一个， 等可能的取 1, , 中的一个，求 的联合分布
2、及XYX),(YX关于 的边缘分布列。Y解 易见， 和 的取值都是 1,2,3,4，且 取 的概率为 ,此时 取 中一数 的概率为Yi41i, j,因此 ,而当 时 。于是得到 的联合分布：i1ijiXP41),( j0),(jYiXP),(YX关于 Y的边缘分布列：4、设从装有红、白球的袋中任取一球，取得红球的概率为 ，现从袋中有放回的每次取一球，直到p第二次取得红球为止，设 表示第 次取得红球时所抽取的次数 ，求 的联合分布列、iXi )2,1(i),(21X2边缘分布。解 221121 jiji ppjXiP )()()(),( ji1211ijijp222122 jjji pXP)()
3、()()(5、将一枚硬币抛 3次，以 表示前 2次出现正面的次数，以 表示 3次中共出现正面的次数，求XY的联合分布和边缘分布。),(Y解 的可能取值为 0，1，2， 的可能取值为 0，1，2，3，则XY8/)/(03PP），（ 8/)(2XY），（ 0)3,(2YX），（ 101PP），（ 4/182)/(2CY），（ 4/1)2()2CXYX），（ 0,(02PP），（ 8/)(/1)()22Y），（ 3(3 XYX），（故 的联合分布列及其边缘分布列如下表：),(6、假设随机变量 在区间 服从均匀分布，随机变量U2,；若若 1 ,UX若若 1 ,UY3求 和 的联合概率分布XY解 随机向
4、量 有 等 4个可能值，),(YX)1,(),(1, ， ，411,1, 20(, 41UYXPPP)PPP于是 和 的联合概率分布为XY4204),(,)(,(),(7、 假设一批产品中有 4件不合格品和 16件合格品，接连从中随机地抽出两件，以 和 分别表示XY先后抽到不合格品的件数（0 或 1） ，试求，(1) 和 的联合分布；(2) 由 和 的联合分布求 和XY的概率分布Y解 (1) 按古典型概率公式分别计算 为值的概率，得)1,(0),(,),(取 953169560),(0,)(, 9242451),( YX(2) 和 都有 0和 1两个可能值，由全概率公式，有XY ；540,10
5、,0, YXYXYPP由此得 和 的概率分布列：YX0 1P5/4/0 1/8、 设随机变量 和 各只有1,0,1 等三个可能值，且同分布并满足条件：XY41XP试求 和 的联合分布，假设满足条件，(1) ；(2) Y0Y10YXP解 (1) 下面表中用黑体表示已知的概率，其中由条件 得表心中的 4个黑体“0” 从而不难求出表中的其他概率4XY 1 0 1 101 04/1/1/41/21/41/4 1/2 1/4 1(2) 下面表中用黑体表示已知的概率，其中由条件 得表心中的 6个黑体“0” 从而YXP不难求出表中的其他概率XY 1 0 1 101 04/12/1/41/21/41/4 1/
6、2 1/4 19、设 和 是两个相互独立且分布相同的随机变量，其共同分布由下列密度函数给出XY，求 。其 他,)(012xxp)1(YXP解 的联合密度函数为)Y其 他,01,4)(,( yxypxyp所以=)1(YXP 614),(10xyx yddy10、 假设随机变量 的概率密度在以 为顶点的四边形上为常数，而,VU),0(),2(,在此四边形之外为 0；考虑随机变量 ；若 若X ,1,若若 2/1 ,VY(1) 试求 X和 Y的联合概率分布；(2) 试求 X和 Y的联合分布函数解 以 为顶点的四边形),0(),2(0,是菱形，记作 以 表示 的概率密GyxfVU度，则 ，其中 是常数由
7、cyxf),(),(， c概 1 11/2 uv 12 1 1/2 2O5率密度的性质，可见，1)(),(GcSdxyfG其中 是菱形 的面积因此4)(S ， 若 ， 若 Gyxyxf),(0 41),(1) 插图中 4个小等腰三角形和 4个小矩形的面积，都等于菱形面积的 1/8随机向量 有),(YX等 4个可能值易见，)1,( ),( 1,； ；02/1 ,1 , 8VUYXPP ；82/1 ,1 , 6 , , 于是，得 X和 Y的联合概率分布为：；8608),(,)(,(),(YX(2) 由 X和 Y的联合概率分布可见， X和 Y的联合分布函数为： 1, 1 87 1 1),(若， ；，
8、若， ；，若， ；或若， yxyxyxF11、 服从抛物线 和直线 所夹的区域 上的均匀分布，求联合密度与边缘密度),(YX2xyyG函数。解 由于 的面积为G61102d)(故联合密度函数为 其 他 yxyxp,),则边缘密度函数为10622 xxdyxX 当)(),()(6106 yydxyxpyyY 当)(),()(显然， 0)1,01,0pxYX时时12、若 的密度函数为 求：（1）常数 ；（2）),( 其 它,()(2yxAeyxy A；（3） 的边缘分布；（4） ；（5） 。,(12YP )(XP)(1YXP解 （1） 002dyexA2,|2100AeAyx（2） 。)1,(YX
9、002yx )1(4（3） 的边缘分布，当 时 ，当 时有)(pXx.xyede202（4） )(2YXPxyde2002021xexx )()(.2444 11)( ee（5） ,dxdyYPy0)2(1)( 10020 edeyyx。)(YX14)()1(,YPX413、某种商品一周的需求量是一个随机变量，其密度函数为 0,)(tetpt设各周的需求量是相互独立的，求两周需求量和的密度函数。解 ， 分别表示第一周、第二周需求量， 表示两周的总需求量，那么1T2 T21121 )()()() 2dtpttTPttFG，21)(212dtetGt ttttt etdee )12(1302012
10、 07故 的概率密度为T0,!3)(tetFtf tTT14、设二维随机变量 在矩形 上服从均匀分布，试求边长为),(YX10,2)(yxyG和 的矩形面积 的密度函数 。XYS(sp解 联合密度为 其 它 20,102),( yxyxP当 时：0s)(sSsFS当 时：21)当 时：s )ln21(22)()() 110 ssdyxdysXYPSFzsyxS 其 他021ssp)ln()(15、设 的联合密度函数为 ，),(YX其 他,00,1,1),()(yxeyxpyx求 的分布函数。),max(U解 的分布函数 ，Y ),()() uYXPuUF由联合密度计算得 101xexpX,)(
11、yY,可见 ，故 和 相互独立。)(),(pxypXY,uPuFU )(uFX故 1,10,)(0)(2ueuU816、设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似服从正态分布 ，随即地选取 4只。求)40,16(N其中没有一只寿命小于 180的概率。解 是第 只电子管的寿命， 即求 180的概率iX.4,321i 4321,minXZ)80()80(1)80( FZPZP又 .26F所以 63441.)(17.设 ,YX)0,N其 它或 0,(yxyxg试求 的分布。),(YgZ解 易见 只取两个值 0和 1，从而 是离散型的。由(4.22) 得Z)()(PZ4120)2(dxye从而， 的分布
12、为 和 。Z41)(3)(Z18、证明 若 ， ，且 与 独立，则1PX2YXY)(1证明： ki iki0,)( )(210 )(2121021212!)(!)()()(ekkieieiiYPiXki iikiki故 )(21PYX919、证明 若 ， ，且 与 独立，则 。),(pnBX),(pmYXY),(pmnBY证明：易见 的取值为 , 对 ,10 mnk0ki iiPP0),()(knmknkiiiki knmiinki ikikiikiqpCqpCYX000)()(故 ),(BYX20、设 服从单位圆上的均匀分布，密度函数为 ，),( 其 他,01),(2yxyp求 。)(xyp
13、解 依题可得 的边缘密度为X1,0,2)(2xpX于是，当 时，有1x,12)/2(1),)( xxxpyX 21xy即当 时，有1x=)(yp取 其 他 值 xyx,01,2221、设二维随机变量 的联合密度函数为)(YX其 他,0,1(24),( ABOyxyxp10求：（1） , ；)(yxp)2/1Y（2） , 。X解 10,)1(4)(4)( 310 xdyxyxPxX22 yyyY(1)在 时，1 yxypxY 10,)1(),()(2/,842/(2)在 时，10x xyxypxyX 10163,)()(,)(2241/,/ 22、已知二维随机变量 的联合分布函数为),(Y，其
14、他,00,),( yxeyxFyyx求 和 的数学期望与方差。XY解 ,1),()xex,)(xXep1)(,)(XDE(yFyyY1Y23、已知二维随机变量 的联合密度函数为),(其 他,0,1/2),(31yxeyxpy问 和 的数学期望与方差是否存在？若存在，请求出。XY解 可得： 1,2)(3113xdyexpX2E，故 的方差不存在1)(xX1,13yedypyY2)(1eE111)(,5)(2YDE24、设随机变量 ，随机变量 ，求：（1）求 的联合概xp 2,;,10kYXk其 他若 21,X率分布；（2）求 。)(21X解（1） edxYPYPP 1)()2,(0, 100,1
15、),0(2 21211 )( edxeX2,),( YPP的联合分布：21,2X10 101e/210/（2） )(21XE2221)(ee25、设随机变量 和 的联合分布在点 ， ， 为顶点的三角形区域 上服从均匀分布，Y,0),(, D求随机变量 的方差。U解 联合密度为 DyxyxP),(02),(DdpEX),( 3210xdydxy),(2 12120xD1822EXX同理 ,3YDdxypE),( 125210xDyddxy1218),cov(2YXDXU26、若抛 颗均匀骰子，求 颗骰子出现点数之和的数学期望和方差。nn解 颗骰子出现点数为 可看作 个相互独立同分布的随机变量，故
16、有n,21EEn 5.32/7)()( 121 nXDXD9167.27、一民航送客车载有 20位旅客自机场开出，旅客有 10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，求停车的次数 的期望。解 ，站 有 人 下 车， 在 第 站 没 有 人 下 车在 第 ii1,010,2i易见， 102XX因为任一旅客在第 站不下车的概率为 9/10，所以i， ，209.)(iP209.)(iP10,i由此， ，1iXE1,所以， )(784.)9.0()()( 201 次i28、设随机变量 独立同分布，且方差 令随机变量nX,2 102，求 。niiXY1),(1YCov解 由于随机变量 独立同
17、分布, 于是可得n,21 )1(),(,),( 111 niiii XCovXovYov),(),(111nCni i.2XD29、 设随机变量 X和 Y的联合分布列为：YX 1 0 1010.070.080.180.320.150.2013求：(1) 和 的相关系数 ；XY),(YXcor(2) 求 的协方差 ；2和 ,v2(3) 问 和 以及 是否相关？是否独立？2和解 (1) 随机变量 和 的相关系数XY；YXE 易见 的概率分布及其数学期望相应为YX ,和 ；， ，； ， 12.0.802.035.106.78135106.40 XYYXEE于是 ),cov( ，(2) 的协方差2X和
18、 ；， ，；02.5.6028.),cov(310.68),(222YXYXEE(3) 由（1）可见 和 不相关，但是不独立，因为XY；.4.,YXPP由（2）可见 相关，从而不独立2和30、设随机变量 ，已知 ， ， ，求：（1） ，),(2)(D)(Y),(Cov ),(YXCov；（2） ，),(YXCor,XYCov,Xr解 （1） = ，),()( 541),(ov829.0/)2()(, YDXor（2） ，),(YCv2,Xor17680./31、假设随机变量 和 的数学期望都等于，方差皆为 2, 其相关系数为 0.25，求随机变量和 的相关系数 YU2V2),(VUcor解 首
19、先求 和 的数学期望和方差14， ；32YXUE12YXVE由条件知 ， ；因此5.02.)(covX,Y ),(cov),(cov， 8)2,(4)2( 1YXYXVDD注意到 ， , 有24YXU3)(2EE.614)4),(cov22VUYXVUE从而，随机变量 和 的相关系数为Y2V24.06 ,c),( corD32、设二维随机变量 的密度函数为 ，求： ，),(YX其 他,0,)sin(21),( yxyxp )(XD， ， 。)(YD),(Cov),(or解 4/sin21/0 dxyxXE28)i()( 22/0 ，1876.216)(XD4/YE，1876.0216)(212
20、)sin(/0 dxyxyXYE，046.)(),(YEXCov 25.1876.04)(,),( DovYXr（B）1、设 ， ，且 相互独立，求在条件“ ”下， 的条件分布。)(1P)(2YX与 nYXX15解 由定理 4.7知： )(21PYX knkknnkk CenYXPk YXPnnYX )()(!)()( )(,)(,)( 2121)(212121 （ ）k,10可见，在 下 的条件分布为二项分布 。nY )(,21nb2、 （昆虫繁殖问题）若一只昆虫产卵数 ，每只卵成活的概率是 ，若卵的孵化是相互独N)(Pp立的，问每只昆虫平均有几个后代。解 设一只昆虫产卵成活数为 M在 条件
21、下成活数nN),(pnB从而 NE()(则 pMp)()(又由于 ，则NPE所以 p即每只昆虫平均有 个后代。3、某人在迷宫三叉口处，若进第一口走 2小时可走出迷宫，若进第二口走 3小时回到原处，若进第三口走 4小时回到原处，每次到达原处选择每个口都是等可能的。求走出迷宫平均要多长时间。解 设 表示他走出迷宫所需时间，即求 。又设 为他选择的口序号。XEXY由已知 3121)()()(YPYPEEX3)(Y4所以， 31i iYPiXE)()()()(16EXEX32314311 )()(得到 ，即 。)( 9即该人平均要 9个小时才走出迷宫。4、设 服从正方形区域 上的均匀分布，求 和 的分
22、布。),(YX10yxD,: XYST解 （1） 易见，当 时， =0；当 时， =1。s)(sSP)(sP当 时，0ssxydypSP,)()ln1()(1/ sys由此得到 的密度函数XY其 它0ln)(pS（2）易见，当 时， =00t)tTP当 时10ttyxdpTP),()( 2)(10tdyxz当 时ttyx),()( txyt 1)(10的分布函数 。YXT1,20,)(ttFT的密度函数YXT1,20,)(tttpT175、设 与 相互独立，其共同分布为 ,求 的分布。XY)(baUYXZ解 因为 与 的密度函数为： 其 它xxpab0)(1dypzZ)(显然，当 或 时， 与
23、 至少有一个不成立，故 。az2bbaa)(zpZ当 时；2)()(zdyzpaZ当 bza2,2)()(abzyzbZ于是 的密度函数为YXZ其 它 bzabzzpZ 20)(2) 这个分布不再是均匀分布。这样的分布称为三角分布。6、设 ，求它的两个条件分布。),(YX),(21N解 )(exp2)(2yypY由(4.29)得 )(,)(ypxYX 222 2121221 )(exp)( )()1(e yy yx18即在)()1(2exp12)()(2)(22122 221122 yxyx下 的条件分布为： 。yYX )(,1221yN对称地，有在 下 的条件分布为： 。xY )1(,)(2
24、12x7、设二维随机变量 的密度 ，其中 ， 都是),(X,),(2yyxf,1yx),(2二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为 和 ，它们的边缘密度所对应的3随机变量的期望为零，方差为 1。 （1）求 和 的密度函数 和 ，及 和 的相关系数Y)(1xf2yfXY（可直接利用二维正态密度的性质） ；（2） 和 是否独立？为什么？X解 (1) 设 是 的联合密度, ),(1yx)1X)3,0(),(1N设 是 的联合密度, 22Y,2Y)(1xf dyxydyf),(),(),(1x2212e同理 )(2yf21y可见 ,0NX),(Y1DEdxyyxdxyfRR 22
25、),(),(),( 21)(21)( ),(,222 YXERR19)(31)( 11YXEDYEXcor )()( 222231EXY0)(DXYEcor(2) ,yxf )32(169283)32(169283 22 yxExpyxEp )(21yfx)(,21f所以 与 不独立. XY8、设 相互独立，分别服从 ，试求 的密度函数。, )1,0(NYXZ解 ， 2)(xYXexp)(21),yxeyp得 dyyZ),(|)( dxy)(|21 dxeyx0)1(2,0)1(21yxe)(2y服从柯西分布。YXZ9、设 和 是两个相互独立且服从相同的分布 ，求 的密度。)1,0(N2YX解
26、 的分布函数为 ，则2)(zFZzyxyxZ dezPzF22)(1)()利用极坐标变换 ， 得cosrsinr221201zzrZ ededz )(20于是 的密度 是2YXZ)(zp02zezpz,)(10、设随机变量 在区间 上服从均匀分布，在 的条件下，随机变量 在区间X)1,( )10(xXY上服从均匀分布，求(1) 随机变量 和 的联合密度函数；(2) 的密度函数；(3) 。),0(x YY)(1XP解 (1) 的概率密度为 其 他 ， ，01xxpX,)(在 的条件下， 的条件概率密度为1Y其 他 ， ，0xyxypXY,)|(|当 时，随机变量 和 的联合概率密度为10XYxy
27、pxyp1)|(),(|在其它点 处，有 ，即,x,xyyp其 他， ，011,),(2) 当 时， 的概率密度为0Y；1yydxxpyln),()(当 或 时， 因此0y10YypY其 他， ，1,ln)(3) xYXdydxpP121),()(212ln1)2(1dx11、假设 是一矩形，随机变量 和 的联合分布是区域 上的均匀0 ,:),( yyxGXYG分布考虑随机变量 .2 ,1,0 ,1,VYXU若若；若若(1) 求 和 的相关系数 ；XY(2) 求 和 的相关系数 UVr解 若 ，则 和 的联合密度为 ， Gyx),(Y21),(yxf否则 直线 和 将矩形 分为三部分0,f y
28、x2G(见图 4.2): 易见2,321 yxyx ， ，21),(24),(31GYXYP(1) 首先，求 和 的密度 和 当 或 时，显然 ；当 时，(1xf)yf0x20)(1xf2x；d1,(01 yff同理可得, 当 或 时，显然 ；当 时， 由此可见，对于任意0yY)(2yf1)(2yf，有 ，即 和 独立，从而它们的相关系数 ),(yx)(),(21fxfX0(2) 为求 和 的相关系数，先求其联合分布 有 等 4个可能值UV),(VU)1,(),(, ， ，2141, 412,002,VUYXYXPPPP由 和 的联合分布，可得 以及 和 的分布：UV .210 ;4310 ;20VU因此，有x= yx =2yy1OG1 G2G32 x2221 4 21634 UVVUEDEDE； ； ； 8 ),(covV 3),(cov r
