1、1不等式的证明和应用【知识结构】一、不等式的证明方法（1）比较法：作差比较： BA0作差比较的步骤：作差：对要比较大小的两个数（或式）作差 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（2）综合法：由因导果 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（3）分析法：执果索因
2、 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j基本步骤：要证只需证，只需证“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（4）反证法：正难则反 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j放缩法的方法有：添加或舍去一些项，如： ； ；a12 n)(将分子或
3、分母放大（或缩小）利用基本不等式，利用常用结论：、 ；kkk211、 ； （程度大）)(2 1)(2k、 ； （程度小）1)1(12kkk（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁2为简。（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；二、常用基本不等式（1） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个正数的均值不等式是： ab2三个正数的均值不等式是： 3cn 个正数的均值不等式是： nna 2121（2） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个正数 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的ba、关系是 2ba（3
4、）.双向不等式是： 左边在 时取得等号，右边在 时取得等号 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j)0(ab )0(ab【例题精讲】例 1 若水杯中的 b 克糖水里含有 a 克糖，假如再添上 m 克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j)0,(amba解：由题意得 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j)0,(ab证法一：（比较法） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j)(
5、)(baba， ，0,mab0,ab头htp:/w.xjkygcom126t:/.j即)(证法二：（放缩法），0ab且头htp:/w.xjkygcom126t:/.jbam)(证法三：（数形结合法）如图，在 Rt ABC 及 Rt ADF 中，bammFEDCB A3AB=a，AC=b ，BD=m ，作 CEBD 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ， ADFBC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j baEbma例 2 已知 a， bR ，且 a+b=1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 求证： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 52
6、证法一：（比较法） abab,222594()2b91(1)40a即 （当且仅当 时，取等号） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j22ba证法二：（分析法）258)(45222 baB0)21(84)1(22ab因为显然成立，所以原不等式成立 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j证法四：（反证法）假设 ，5)()2(ba则 头htp:/w.xjkygco
7、m126t:/.j58)(42ba由 a+b=1，得 ，于是有 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja15)(2a所以 ，0)2(a这与 矛盾 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j所以 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j52ba证法五：（放缩法） a4左边 222abab右边 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2154点评：根据欲证不等式左边是平方和及 a+b=1 这个特点，选用基本不等式 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2ba证法六：（均值换元法） ，1ab所以可设 ， ，t2t左边 222()()at右边 头htp:/w.
8、xjkygcom126t:/.j255ttt当且仅当 t=0 时，等号成立 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j点评：形如 a+b=1 结构式的条件，一般可以采用均值换元 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）设 y=(a+2)2+(b+2)2，由 a+b=1，有 ，132)3()(2aaay所以 ，012因为 ，所以 ，即 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jRa0)1(24y5故 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j52b例 3、命题“若 且 ，则 ”是真命题还是假命ac0b23bac题？并证明你的结论。
9、解：这是真命题。分析法证明如下：由 且 ，又 ，abc0ac20bac则23bac222 2333c，220ca而 。 。0ac2ac0b5以上过程“ ”都成立，因而 成立，23bac即所给命题为真命题。例 4、设 、 且 ，求 的最小值。xyR1xyxy解： ， ，124o则 21xyxy2 211xyxy，等号成立 ，2174442 。min12xyxy又解：仿前解得： ，令 ，则 ，0,4xt1yx1ftt。在 上， 递减，10,4t,ft则 。min17142xyfxy例 5、设 、 、 ，求证： ， ， 的值不能同时大ab0,cabc1a于 。14证（反证法）若（三式相乘）10414
10、ababcc；144abcbca6，1,204104ababca又 同 理 ， 1144abcbca与上式矛盾。因而， ， ， 的值不能同时大于 。ab1ca14例 6 某电脑用户计划使用不超过 450 元的资金购买单价分别为 60 元，70 元的单元软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少要买 3 片，磁盘至少买 2 盒，则不同的选购方式有（ ）A5 种 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 6 种 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 7 种 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 8 种解:设购买软件 片, 且 ,磁盘 盘, 且 ,3NNy则 ,0
11、74即 yx当 =3 时, =2, 或 =3 ; y当 =4 时, =2, 或 =3 ; 当 =5 时, =2综上述，共有 5 种不同的选购方式，故选 A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 7 已知 ，求 的范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2301, ,AxaBxB且 a分析：先利用解含绝对值的不等式的方法及积（商）的符号法则解不等式求出A 和 B，再利用数轴表示出 A 和 B，得到 时应满足的条件，从而求出的范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja解： 11,axaxa230(6)5,03x不 等 式 即 其 解 集 是 不 等 式 组
12、,65x与 的 解 集 的 并 集由 3036,5,x xx或 3,6506x7：230x得 不 等 式 的 解 集 是6553,6xx或3,6Bx所 以 或 1,15,6aAa要 使 必 须 满 足 或6,45.a即 或例 8 已知某种商品的定价上涨 成（1 成即为 ， 成即为 ） ，其销售量便x10x10相应减少 成，按规定，税金是从销售额中按一定的比例缴纳，如果这种商12x品的定价无论如何变化，从销售额中扣除税金后的金额总比涨价前的销售额少，试求这时税率 的取值范围( 精确到 0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j1% )p注:本小题考查建立函数关系式,解不等式的知识,数学应用意识 ,建模能力和解决问题的能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解：设原定价为 元/件，原销售量为 件，则原销售额为 元，由已知得 abab10ab2120pxpx化 简 得 ,式恒成立，30 (km/h); 1040 (km/h);可见乙车超速 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j主要责任人是乙 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j
