1、年级建模热身赛之 产销问题学 院： 数学与计算机科学学院 专业 / 班级： 数学（1）班 年 级： 2010 小 组 成 员： 文宇坤 031001134 梁启虬 031001128 周培钦 031001122 康维彬 031001116 福州大学2012 年 5 月 13 日摘要本文根据问题的条件和要求，对于问题一，建立了一个模型，模型为非线性规划模型。然后在此基础上通过实际问题修改了相应的变量，使得符合问题二的要求。最后分别求解这个模型，完整地解决了问题。通过对产销问题的分析，可以知道成本最低，即可利润最大，满足问题一的要求。然而在成本之中，原材料成本是固定不变的，所以本文无需去考虑。在模
2、型中，本文舍去了原材料成本，同时在模型中，本文考虑到第 1月有初库存的 200台，应该考虑到这 200台的折旧费用。以及在模型中，本文合理地理解了培训费用，即是招聘一个人需要的费用。最后，通过分析数据，本文得出外包所需要的费用太过于昂贵，所以最优的模型中不可能包括外包成本，本文将之舍去。综述，本文的模型中涉及的因素有库存成本，缺货成本，培训费用，解聘费用，产品加工时间，工人正常工资，工人加班工资。对于问题二，我们面对费用采取了转换思想，使得最后利润更容易计算，易于读者的阅读理解。以及问题二会产生的由于一月或者四月的销售不同，造成的利润损失，这时候一四月的产值已不能用问题一中给出的，需要重新定义
3、。最后本文比较了不同方案之间的优劣性，分析了模型的现实意义，就公司选择销售方案提出了一些有价值的意见。【关键词】：产销 费用 利润 一、问题重述为了响应国家的可持续发展号召，合理的规划和利用资源，做到不铺张浪费，同时又满足人们的需要，必须做到合理的优化资源。一种合理、简化的策略是，在可实现的情况下，使得制造成本最低。考虑企业生产产品的最优生产策略，也就是生产成本最低问题。在生产过程中，每个月工人的固定工作时间是不变的。假如工人只工作固定时间，那么有些月份就会出现缺货，这时候就会造成缺货费用。同时假如工人都有加班，那么有些月份就会出现存货，这时候就会造成存货费用。同时，工人的个人是可变的。有些时
4、期工人不需要那么多，因为过多的工人只会造成生产出来的产品过多，造成存货费用。有些时期又需要多些工人，因为人数多了，可以多生产满足这个月的销售，以免造成缺货损失。而有些时期的存货又是必要的，因为本月的存货，可以使下月的生产数量减少，可以影响到工人的数量以及工人的加班时间。而有些时期的缺货也是必要的，因为本月的缺货，可以免除本月额外招聘人员的费用，或者免除本月人员的加班费。综上，一方面本月的人员数和工作时间，会影响到本月的产量。另一方面，本月的产量与销量的平衡又会决定本月需要的人员数和工作时间。所以，我们需要二者均衡考虑。二、基本符号说明与基本假设2.1 基本符号说明符号 含义ia第 i月初剩余产
5、品ib第 i月生产的产品ic第 i月出售的产品id第 i月初未招聘或解聘时的工人个数ie第 i月工人加班总时数if第 i月的产品需求ig第 i月初招聘的工人数ih第 i月初解聘的工人2.2 基本假设1.人员招聘或解聘仅在每一个月的月初进行。2.出售产品与生产产品同时进行,即当月生产的产品中要出售的部分不需入库储存。3.培训人员所用时间不占用正常生产工作的时间。4.第 i月产品需求与预计情况相同。5.不考虑外包费用。6.每个工人的加班时间不必相同。7.库存产品无需考虑人为损失和自然灾害。 三、问题分析3.1 对第一个问题的分析第一个问题要求制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案。成本最低就可
6、以达到利润最大化,因此只要考虑成本。运用假设的基本符号表示出可变成本(即不包括原材料成本)及相关的约束条件，在 LINGO程序中解出即可。3.2 对第二个问题的分析在第一个问题解答的基础上，将产品原价与折后价之间的差价视为一种额外的费用，计入到所考虑的可变成本中，并将第一问中各个月的需求量改为促销情况下各个月的需求量，在 LINGO程序解出即可。四、 模型的建立与求解4.1 第一个问题的求解我们已知，每月的 数值如下表：ifi 1 2 3 4 5 6if1000 1100 1150 1300 1400 1300每个月初剩余产品的递推关系为： ，每个月工作的员工数iiicba1为： ，这个数字也
7、就是 ，即 。每个月员工的工iihgdidiii hgd作时间与每个月生产的产品必须满足： 。6 个月的产6.1)(82iiii e量之和必须满足： 。每个月员工加班时间不能超过 10小时，即：6161ii fab。第 i个月的缺货量为 ，需要满足条件： 0iihgde )(1inncf。其余约束条件有： ， ， 以及自然约束条)(1inncf 01d21a07件。第 i个月员工的基本工资为 。因此目标函数是：)(26iihgmin 61616115161 8)(200)(20 i iiiiiiii ehgdcfas.t. ，iiib ,5432,，iii hgd1，6.)(82iiii e6
8、,1(4.10)161ii fab，0iihgde6,5432,i，0)(1inncf 5,4321i， ，d1a7， ， ， ， ，01f02f1503f34f1405f306f， ， ， ， ， ， ，iibicidieigih6,2,i用 LINGO程序计算，得到的结果如下：i生产产品（ ）i售出产品（ ）ic工人加班总时 数（ ）ie工人人数（ ）iihgd 840 1000 0 8 1055 1095 8 10 1155 1155 0 11 1365 1300 0 13 1365 1600 0 13 1270 1100 16 12目标函数的最小值为 139504利润： =895496
9、10751394725044.2 第二个问题的求解1.一月促销情况下 如下表：ifi 1 2 3 4 5 6if1135 1034 1081 1300 1400 1300约束条件中仅有 的数值发生变化,目标函数变为：if 1616161615161 208)(200)(20min cehgdhgcfa i iiiiiiii s.t. ，iiib ,5432,，iii hgd1，6.)(82iiii e6,1(4.21)6161ii fab，0iihgde6,5432,i，)(1inncf ,1i， ，0d21a07， ， ， ， ，351f4f183f304f1405f36f， ， ， ， ，
10、 ， ，iibicidieigih6,2,i用 LINGO程序计算，得到的结果如下：i生产产品（ ）ib售出产品（ ）ic工人加班总时数（ ）ie工人人数（）iihgd 945 1135 0 9 1050 1034 0 10 1055 1081 8 10 1365 1300 0 13 1365 1400 0 13 1270 1300 16 12目标函数的最小值为 161914利润： =87308610751694725042.四月促销情况下 如下表：ifi 1 2 3 4 5 6if1000 1100 1150 1462 1316 1222目标函数变为： 4616161615161 208)(
11、200)(20min cehgdhgcfa i iiiiiiii s.t. ，iiicba1 6,5432,1，iii hgd，6.1)(82iiii e,(4.22)161ii fab，0iihgde6,5432,i，)(1inncf ,1i， ，0d21a07， ， ， ， ，1ff153f462f1365f2f， ， ， ， ， ， ，iibicidieigih,i用 LINGO程序计算，得到的结果如下：i生产产品（ ）ib售出产品 （ ）ic工人加班总时 数（ ）ie工人人数（ ）iihgd 840 1000 0 8 1060 1100 16 10 1155 1150 0 11 137
12、0 1375 8 13 1365 1365 0 13 1260 1260 0 12目标函数的最小值为 168504利润： =8664961075168472504五、模型结果的分析1.结果方案 方案一(不促销) 方案二（一月份促销） 方案三（四月份促销）最大利润 895496 873086 8664962、分析从模型得出的结果中，我们可知道方案一（不促销）的利润会最大，所以在日常生活中，并不一定需要促销，促销并不总能导致利润的最大化。另一方面，倘若销量不好，需要促销，那么也应该在一月份（即淡季）促销，旺季因为本身客流量比较大，所以不应该再降低成本促销，符合实际的意义。六、 优缺点分析优点1建立
13、的规划模型能与实际紧密联系，结合实际情况对问题进行求解，使得模型具有很好的通用性和推广性；2. 模型的计算采用专业的数学软件，可信度较高；缺点1. 在某些实际的问题中，外包费用可能没那么贵，需要考虑进去；2. 没有考虑每个员工的加班同时需要相同，或许会造成员工过度疲劳以及心理方面等问题；参考文献1姜启源，数学模型（第二版） 北京：高等教育出版社，19922叶其孝大学生数学建模竞赛辅导教材长沙：湖南教育出版社，1993附录1. 不促销最优方案(在4.10中运用到该程序)min=10*(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+20*(1000-c1)+(2100-c2-c1)+(3250-c3-c2
14、-c1)+(4550-c4-c3-c2-c1)+(5950-c5-c4-c3-c2-c1)+50*(g1+g2+g3+g4+g5+g6)+100*(h1+h2+h3+h4+h5+h6)+2016*(d1+d2+d3+d4+d5+d6+g1+g2+g3+g4+g5+g6-h1-h2-h3-h4-h5-h6)+18*(e1+e2+e3+e4+e5+e6);a2-a1-b1+c1=0;a3-a2-b2+c2=0;a4-a3-b3+c3=0;a5-a4-b4+c4=0;a6-a5-b5+c5=0;c1=1000;c1+c2=2100;c1+c2+c3=3250;c1+c2+c3+c4=4550;c1+
15、c2+c3+c4+c5=5950;d2-d1-g1+h1=0;d3-d2-g2+h2=0;d4-d3-g3+h3=0;d5-d4-g4+h4=0;d6-d5-g5+h5=0;e1-10*(d1+g1-h1)=0;e2-10*(d2+g2-h2)=0;e3-10*(d3+g3-h3)=0;e4-10*(d4+g4-h4)=0;e5-10*(d5+g5-h5)=0;e6-10*(d6+g6-h6)=0;b1+b2+b3+b4+b5+b6=7050;1.6*b1-e1-168*(d1+g1-h1)=0;1.6*b2-e2-168*(d2+g2-h2)=0;1.6*b3-e3-168*(d3+g3-h
16、3)=0;1.6*b4-e4-168*(d4+g4-h4)=0;1.6*b5-e5-168*(d5+g5-h5)=0;1.6*b6-e6-168*(d6+g6-h6)=0;gin(g1);gin(g2);gin(g3);gin(g4);gin(g5);gin(g6);gin(e1/1.6);gin(e2/1.6);gin(e3/1.6);gin(e4/1.6);gin(e5/1.6);gin(e6/1.6);gin(h1);gin(h2);gin(h3);gin(h4);gin(h5);gin(h6);d1=10;a1=200;a7=0;end2.一月份促销最优方案(在 4.21中运用到该程序
17、)min=10*(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+20*(1135-c1)+(2169-c2-c1)+(3250-c3-c2-c1)+(4550-c4-c3-c2-c1)+(5950-c5-c4-c3-c2-c1)+50*(g1+g2+g3+g4+g5+g6)+100*(h1+h2+h3+h4+h5+h6)+2016*(d1+d2+d3+d4+d5+d6+g1+g2+g3+g4+g5+g6-h1-h2-h3-h4-h5-h6)+18*(e1+e2+e3+e4+e5+e6)+20*c1;a2-a1-b1+c1=0;a3-a2-b2+c2=0;a4-a3-b3+c3=0;a5-a4-b4+c
18、4=0;a6-a5-b5+c5=0;c1=1135;c1+c2=2169;c1+c2+c3=3250;c1+c2+c3+c4=4550;c1+c2+c3+c4+c5=5950;d2-d1-g1+h1=0;d3-d2-g2+h2=0;d4-d3-g3+h3=0;d5-d4-g4+h4=0;d6-d5-g5+h5=0;e1-10*(d1+g1-h1)=0;e2-10*(d2+g2-h2)=0;e3-10*(d3+g3-h3)=0;e4-10*(d4+g4-h4)=0;e5-10*(d5+g5-h5)=0;e6-10*(d6+g6-h6)=0;b1+b2+b3+b4+b5+b6=7050;1.6*b
19、1-e1-168*(d1+g1-h1)=0;1.6*b2-e2-168*(d2+g2-h2)=0;1.6*b3-e3-168*(d3+g3-h3)=0;1.6*b4-e4-168*(d4+g4-h4)=0;1.6*b5-e5-168*(d5+g5-h5)=0;1.6*b6-e6-168*(d6+g6-h6)=0;gin(g1);gin(g2);gin(g3);gin(g4);gin(g5);gin(g6);gin(e1/1.6);gin(e2/1.6);gin(e3/1.6);gin(e4/1.6);gin(e5/1.6);gin(e6/1.6);gin(h1);gin(h2);gin(h3)
20、;gin(h4);gin(h5);gin(h6);d1=10;a1=200;a7=0;end3.四月份促销最优方案(在 4.22中运用到该程序)min=10*(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+20*(1000-c1)+(2100-c2-c1)+(3250-c3-c2-c1)+(4712-c4-c3-c2-c1)+(6028-c5-c4-c3-c2-c1)+50*(g1+g2+g3+g4+g5+g6)+100*(h1+h2+h3+h4+h5+h6)+2016*(d1+d2+d3+d4+d5+d6+g1+g2+g3+g4+g5+g6-h1-h2-h3-h4-h5-h6)+18*(e1+e2+
21、e3+e4+e5+e6)+20*c4;a2-a1-b1+c1=0;a3-a2-b2+c2=0;a4-a3-b3+c3=0;a5-a4-b4+c4=0;a6-a5-b5+c5=0;c1=1000;c1+c2=2100;c1+c2+c3=3250;c1+c2+c3+c4=4712;c1+c2+c3+c4+c5=6028;d2-d1-g1+h1=0;d3-d2-g2+h2=0;d4-d3-g3+h3=0;d5-d4-g4+h4=0;d6-d5-g5+h5=0;e1-10*(d1+g1-h1)=0;e2-10*(d2+g2-h2)=0;e3-10*(d3+g3-h3)=0;e4-10*(d4+g4-h
22、4)=0;e5-10*(d5+g5-h5)=0;e6-10*(d6+g6-h6)=0;b1+b2+b3+b4+b5+b6=7050;1.6*b1-e1-168*(d1+g1-h1)=0;1.6*b2-e2-168*(d2+g2-h2)=0;1.6*b3-e3-168*(d3+g3-h3)=0;1.6*b4-e4-168*(d4+g4-h4)=0;1.6*b5-e5-168*(d5+g5-h5)=0;1.6*b6-e6-168*(d6+g6-h6)=0;gin(g1);gin(g2);gin(g3);gin(g4);gin(g5);gin(g6);gin(e1/1.6);gin(e2/1.6);gin(e3/1.6);gin(e4/1.6);gin(e5/1.6);gin(e6/1.6);gin(h1);gin(h2);gin(h3);gin(h4);gin(h5);gin(h6);d1=10;a1=200;a7=0;end
