1、2009年中考数学专项讲解 待定系数法知识梳理对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果通过变形与比较建立起含有待定字母系数 (或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数) 的值，进而使问题获解这种方法称之为待定系数法使用待定系数法解题的一般步骤是：(1)确定所求问题含待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决初中数学中，待定系数法主要用途如下：典型例题一、在求函数解析式中的运用这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系
2、数法初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，kyx，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k0)而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y= ax2+bx+c( 、b、c为待定系数 )，y= a(xh) 2+k(a、k、h为待定系数)，y= a(xx 1)(xx 2)( 、x 1、x 2为待定系数) 三类形式根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、 k、 、c 、b、x 1、x 2等待定系数【例1】 (05上海)点A(2 ，4) 在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式【解】设这个正比例函数的解析式为y=kx(
3、k0)，把A(2 ， 4)代入得4=2k， k=2， y=2x【例2】 已知y与x+1成反比例，且x=2时，y=4 ，求函数的解析式【分析】 y与x+1成反比例，把x+1看作一个整体，即可设为： 1kyx(k0) ，然后把x=2，y=4代入，求出k的值即得函数的解析式【解】 y与x+1成反比例， 可设 1kyx(k0)将x=2，y=4代入 1kx(k0)，得42，解得k=12所求的函数的解析式为y【解题反思】 本题中y与x+1成反比例关系，但y与x不是反比例关系，所以当自变量为x时，12yx不是反比例函数【例3】二次函数的图象经过A(1，0) 、B(3，0)、C(2，1)三点(1)求这个函数的
4、解析式(2)求函数与直线y= x+1 的交点坐标【解】 (1)设这个函数的解析式为y= ax2+bx+c依题意得：093142abc解这个方程组得143bc这个函数的解析式是：y=x 24x+3(2)2431yx解这个方程组得：10xy，21函数与直线的交点坐标是：(1 ，0)、(2，1)【解题反思】 运用待定系数法，由已知建立方程 (组)，可求其系数的值，在把 a、b、c的值代入解析式时要注意符号二、在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化例如：已知一元二次方程的两根为x 1、x 2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x 2+mx+n=0，则有(xx 1)(
5、xx 2)=0，即x 2(x 1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=(x 1+x2)， n=x1x2，所以所求方程为：x 2(x 1+x2)x+x1x2=0【例4】 已知三次方程x 36x 2+11x6=0，有一根是另一根的2倍，解该方程【解】设方程的三根分别为 a、2 、b，则有x 36x 2+11x6=(x a)(x2 )(xb) ，左右分别展开，并把相同项的系数作比较，可得：3 ab=6，2 2+3 b=11，2 2b=6解得a=1，b=3，所以该方程的根分别为：x 1=1，x 2=2，x 3=3三、待定系数法在分式展开化为部分分式中的应用分式化为部分分式时，如果用待定系数法
6、也会产生很好的效果【例5】 把分式 217x化为部分分式【解】设AB，然后将右边进行通分，化成一个分式，由于左右两边分母相同，则只要分子相同，即：11x+7=(AB)xB 由各项系数相同得：11x=A B，7=B，解得A=3，B= 7所以 217371xx四、待定系数法在因式分解中的应用【例6】 分解因式：2x 2xyy 2+13x+8y7【解】 因为 2x2xyy 2=(2x+y)(xy) ，所以可设2x 2xyy 213x+8y7=(2x+y+8)(xy+b)，展开比较相同项系数，可得： a=1，b=7 ，所以2x 2xyy 2+13x+8y7=(2x+y1)(xy+7)五、待定系数法在多
7、项式除法中的应用【例7】 当 a、b为何值时，2x 3 x2+bx+1能被2x1整除 ?【解】 设 2x2 x2+bx+l=(2x1)(x 2+mx1) ，右边展开由x的相同项的系数相同可得 a、b，m的方程组，解得： =3，b=3m=1综合训练1已知：一次函数的图象经过(4，15) 、(6，5) 两点，求此一次函数的解析式2(08镇江) 二次函数的图象经过点A(0，3) ，B(2，3) ，C(1，0)(1)求此二次函数的关系式；(2)求此二次函数图象的顶点坐标；(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移_ 个单位，使得该图象的顶点在原点3如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x
8、轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C 的坐标分别是(8，0)、(0 ，4) ，求这个抛物线的解析式4(07枣庄)在平面直角坐标系中，AOB 的位置如图所示，已知AOB=90，AO=BO，点A的坐标为(3， 1)(1)求点B的坐标(2)求过A， O，B 三点的抛物线的解析式；(3)设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B 1，求AB 1B的面积参考答案1y=2x+7 2(1) 设y= ax2+bx3，把点(2 ，3)，(1，0) 代入得4230ab，解方程组得ab y=x22x3( 也可设y= a(x1) 2+k)(2)y=x22x3=(x1) 24， 函数的顶点坐标为(1，4) (3)53解
9、：观察图象可知，A 、C两点的坐标分别是(8，0) 、(0，4)，对称轴是直线x=3因为对称轴是直线x=3，所以B 点坐标为(2，0) 设所求二次函数为y= a(xx 1)(xx 2)，由已知，这个图象经过点(8，0)、( 2，0) ，可以得到y= (x8)(x+2)又由于其图象过(0，4) 点，将点代入，得所求二次函数的关系式是2134yx4解：(1)作AC x轴， BDx轴，垂足分别为C，D，则ACO=ODB=90AOC+OAC=90又 AOB=90，AOC+BOD=90 OAC=BOD 又 AO=BO， ACOODB OD=AC=1，DB=OC=3 点B的坐标为(1，3)(2)抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为y= ax2+bx将A(3，1)，B(1，3) 代入，解得56a，13b故所求抛物线的解析式为516y(3)抛物线的对称轴的方程是130x 点B关于抛物线的对称轴的对称点为1835B，在AB 1B中，底边B 1B=46，高为2 14.6SA
