1、.七 奇数与偶数(A)年级 班 姓名 得分 一、填空题1. 2，4，6，8，是连续的偶数，若五个连续的偶数的和是 320，这五个数中最小的一个是_.2. 有两个质数,它们的和是小于 100 的奇数,并且是 17 的倍数.这两个质数是_.3. 100 个自然数,它们的和是 10000,在这些数里,奇数的个数比偶数的个数多,那么,这些数里至多有_个偶数.4. 右图是一张靶纸,靶纸上的 1、3、5、7、9 表示射中该靶区的分数.甲说:我打了六枪,每枪都中靶得分,共得了 27 分.乙说: 我打了 3 枪,每枪都中靶得分,共得了 27 分.已知甲、乙两人中有一人说的是真话，那么说假话的是_.5. 一只电
2、动老鼠从右上图的 A 点出发,沿格线奔跑 ,并且每到一个格点不是向左转就是向右转.当这只电动老鼠又回到 A 点时 ,甲说它共转了 81 次弯,乙说它共转了 82 次弯.如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？6. 一次数学考试共有 20 道题,规定答对一题得 2 分,答错一题扣 1 分,未答的题不计分.考试结束后,小明共得 23 分.他想知道自己做错了几道题,但只记得未答的题的数目是个偶数.请你帮助小明计算一下,他答错了_道题.7. 有一批文章共 15 篇,各篇文章的页数分别是 1 页、2 页、3 页14 页和 15 页的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第
3、一页是奇数页码的文章最多有_篇.8. 一本书中间的某一张被撕掉了,余下的各页码数之和是 1133,这本书有_页,撕掉的是第_页和第_页.9. 有 8 只盒子,每只盒内放有同一种笔.8 只盒子所装笔的支数分别为 17 支、23 支、33支、36 支、38 支、42 支、49 支、51 支.在这些笔中,圆珠笔的支数是钢笔的支数的 2 倍,钢笔支数是铅笔支数的 ,只有一只盒里放的水彩笔.这盒水彩笔共有_支.3110. 某次数学竞赛准备了 35 支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发给 6 支，二等奖每人发给 3 支，三等奖每人发给 2 支，后来改为一等将每人发 13支，二等奖每人
4、发 4 支，三等奖每人发 1 支.那么获二等奖的有_人.A1 3 5 7 9 5 7 919 287 436 5二、解答题11如下图，从 0 点起每隔 3 米种一棵树.如果把 3 块“爱护树木” 的小木牌分别挂在 3 棵树上，那么不管怎么挂，至少有两棵挂牌树之间的距离是偶数（以米为单位）.试说明理由.12. 小地球仪上赤道大圆与过南北极的某大圆相交于 A、 B 两点.有黑、白二蚁从 A 点同时出发分别沿着这两个大圆爬行.黑蚁爬赤道大圆一周要 10 秒钟,白蚁爬过南北极的大圆一周要 8 秒钟.问:在 10 分钟内黑、白二蚁在 B 点相遇几次？为什么？13如右图所示，一个圆周上有 9 个位置，依次
5、编为 19 号.现在有一个小球在 1 号位置上,第一天顺时针前进 10 个位置,第二天逆时针前进 14 个位置.以后,第奇数天与第一天相同,顺时针前进 10 个位置,第偶数天与第二天相同,逆时针前进 14 个位置.问:至少经过多少天,小球又回到 1 号位置.14. 在右图中的每个 中填入一个自然数(可以相同),使得任意两个相邻的 中的数字之差( 大数减小数), 恰好等于它们之间所标的数字.能否办到?为什么?BA354 210 3 6 9 12 15 18 21 24七 奇数与偶数(B)年级 班 姓名 得分 一、填空题1五个连续奇数的和是 85，其中最大的数是_,最小的数是_.2. 三个质数 、
6、 、，如果 1, + = ,那么 =_.3. 已知 a、b、c 都是质数，且 a+b=c，那么 a b c 的最小值是_.4. 已知 a、b、c 、d 都是不同的质数， a+b+c=d，那么 a b c d 的最小值是_.5. a、b、c 都是质数 ,c 是一位数 ,且 a b+c=1993,那么 a+b+c=_.6. 三个质数之积恰好等于它们和的 7 倍,则这三个质数为_.7. 如果两个两位数的差是 30,下面第_种说法有可能是对的.(1)这两个数的和是 57.(2)这两个数的四个数字之和是 19.(3)这两个数的四个数字之和是 14.8. 一本书共 186 页,那么数字 1,3,5,7,9
7、 在页码中一共出现了_次.9. 筐中有 60 个苹果,将它们全部取出来,分成偶数堆,使得每堆的个数相同,则有_种分法.10. 从 1 至 9 这九个数字中挑出六个不同的数,填在下图所示的六个圆圈内,使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数.那么最多能找出_种不同的挑法来.(六个数字相同,排列次序不同算同一种)123456789二、解答题11. 在一张 9 行 9 列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如 a=5+3=8.问:填入的 81 个数字中,奇数多还是偶数多?1 2 3 4 5 6 7 8 912. 能不能在下式:123456789=10 的每个方框中,分别填入加
8、号或减号,使等式成立?13. 在八个房间中,有七个房间开着灯,一个房间关着灯.如果每次同时拨动四个房间的开关,能不能把全部房间的灯关上?为什么?14. 一个工人将零件装进两种盒子中,每个大盒子装 12 只零件,每个小盒子装 5 只零件,恰好装完.如果零件一共是 99 只,盒子个数大于 10,这两种盒子各有多少个?答 案1. 60这五个连续偶数的第三个(即中间的那一个)偶数是 320 5=64.所以，最小的偶数是 60.2. 2,83因为两个质数的和是奇数,所以必有一个是 2.小于 100 的 17 的奇数倍有 17,51 和 85 三个,17,51 与 2 的差都不是质数,所以另一个质数是 8
9、5-2=83.3. 48由于 100 个自然数的和是 10000,即 100 个自然数中必须有偶数个奇数,又由于奇数比偶数多,因此偶数最多只有 48 个.4. 甲 由于分数都是奇数,6 个奇数之和为偶数,不可能是奇数 27,所以说假话的是甲.5. 甲因为老鼠遇到格点必须转弯,所以经过多少格点就转了多少次弯.如右图所示,老鼠从黑点出发,到达任何一个黑点都是转奇数次弯,所以甲正确.6. 3小明做错的题的数目一定是奇数个,若是做错 1 个,则应做对 12 个才会得 12 2-1=23 分,这样小明共做 13 个题,未做的题的个数 7 不是偶数；若是做错 3 个，则应做对 13 个才能得 13 2-3
10、=23 分，这样未答的题是 4 个，恰为偶数个.此外小明不可能做错 5 个或 5 个以上的题.故他做错的题有 3 个.7. 11根据奇数+偶数 =奇数的性质 ,先编排偶数页的文章(2 页,4 页,，14 页)，这样共有 7 篇文章的第一页都是奇数页码.然后,编排奇数页的文章(1 页,3 页,，15 页)，根据奇数+奇数=偶数的性质，这样编排，就又有 4 篇文章的第一页都是奇数页码.所以,每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多是 7+4=11(篇).8. 48,21,22设这本书的页码是从 1 到 n 的自然数,正确的和应该是 1+2+n= ( n+1)21由题意可知， ( n+1)11332由估
11、算，当 n=48 时， ( n+1)= 48 49=1176，1176-1133=43.根据书页的页码编排,12被撕一张的页码应是奇、偶，其和是奇数，43=21+22.所以,这本书有 48 页,被撕的一张是第21 页和第 22 页.9. 49依题意知,若钢笔为 1 份,则圆珠笔为 2 份,铅笔为 3 份,也就是说,这三种笔的总支数一定是 6 的倍数,即能同时被 2 和 3 整除.又因为 8 只盒子中有 3 只盒子装的笔的支数是偶数,5 只盒子装的笔的支数是奇数,根据偶数+奇数= 奇数,可知装有铅笔、圆珠笔、钢笔的 7 只盒子一定有 3 只盒子里装有偶数支笔，4 支盒子里面装有奇数支笔，装有水彩
12、笔的盒子一定装有奇数支笔.把 8 只盒子所装笔支数的数字分别加起来:1+7+2+3+3+3+3+6+3+8+4+2+4+9+5+1=64因为 64-(4+9)=51 正好能被 3 整除,所以装有水彩笔的盒子共装有 49 支.10. 3首先根据“后来改为一等奖每人发 13 支” ，可以确定获一等奖的人数不大于 3.否则仅一等奖就要发不小于 39 支铅笔,已超过 35 支,这是不可能的.其次分别考虑获一等奖有 2 人或者1 人的情况:14235当获一等奖有 2 人时,那么按原计划发二、三等奖的铅笔数应该是 35-6 2=23，按改变后发二、三等奖的铅笔数应该是 35-13 2=9.因为 23 是奇
13、数,按原计划发三等奖每人 2 支铅笔,则发三等奖的铅笔总数必为偶数,所以发二等奖的铅笔总数只能是奇数,于是获二等奖的人数也必是奇数.又根据改变后“二等奖每人发 4 支” ，可以确定获二等奖的人数仅 1 人（否则仅二等奖就要发超过 9 支铅笔了） ，经检验，这是不可能的，这就是说，获一等奖不会是 2 人.当获一等奖有 1 人时,那么按原计划发二、三等奖的铅笔数应是 35-6=29，按改变后发二、三等奖的铅笔数应是 35-13=22.因为 29 仍是奇数,类似前种情况的讨论,可以确定获二等奖的人数必定是奇数.又根据改变后“二等奖每人发 4 支 ”，且总数不超过 22 支，我们能够推知二等奖人数不会
14、超过 5，经检验，只有获二等奖是 3 人才符合题目要求.11. 相距最远的两块木牌的距离,等于它们分别与中间一块木牌的距离之和.如果三块木牌间两两距离都是奇数,就会出现“奇+ 奇=奇”，这显然不成立，所以必有两块木牌的距离是偶数.12. 相遇 0 次.(黑、白二蚁永不能在 B 点相遇)黑蚁爬半圆需要 5 秒钟，白蚁爬半圆需要 4 秒钟，黑、白二蚁同时从 A 点出发，要在B 点相遇，必须满足两个条件：黑、白二蚁爬行时间相同， 在此时间内二蚁爬行奇数个半圆.但黑蚁爬行奇数个半圆要用奇数秒(5 奇数),白蚁爬行奇数个半圆要用偶数秒(4 奇数), 奇数与偶数不能相等.所以黑、白二蚁永远不能在 B 点相
15、遇.13. 顺时针前进 10 个位置,相当于顺时针前进 1 个位置；逆时针前进 14 个位置，相当于顺时针前进 18-14=4（个）位置.所以原题相当于: 顺时针每天 1 个位置,4 个位置交替前进,直到前进的位置个数是 9 的倍数为止.偶数天依次前进的位置个数:5,10,15,20,25,30,35,40，奇数天依次前进的位置个数：1，6，11，16，21，26，31，36 ，41，第 15 天前进 36 个位置，36 天是 9 的倍数，所以第 15 天又回到 1 号位置。14. 不能.如果能,设最上面 中的数是奇数(见下图),由奇数 奇数=偶数；偶数 偶数=偶数；奇数 偶数=奇数，沿顺时针
16、方向推知，最上面 中又应是偶数，矛盾.当最上面 中是偶数时,同理可证.偶奇 奇 偶奇 偶答 案1. 21,13这五个数的中间数 85 5=17,可知最大数是 21,最小数是 13.2. 2因为 1, + = ,所以 .这里的关键是明确质数除 2 以外都是奇数,假如 不等于 2,则它一定是奇数,那么 + = 偶数 ,显然这个偶数不会是质数.所以, 一定等于 2.3. 30因为所有的质数除 2 以外都是奇数,题中 a+b=c,仿上题,由数的奇偶性可以推知 a=2,b,c 都是质数,根据 a b c 的值最小的条件 ,可推知 b=3,c=5,所以 a b c 的最小值是 2 3 5=30. 4. 3
17、135在所有质数中除 2 是偶数以外,其余的都是奇数,如果 a,b,c,d 中有一个为 2,不妨设 a=2,则 b,c,d 均为奇数 ,从而 a+b+c 为偶数,不符合条件 a+b+c=d,所以 a,b,c,d 都是奇数.再根据 a bc d 的值最小的条件 ,可推知 a=3,b=5,c=11,d=19.因此 a b c d 的最小值为3 5 11 19=3135. 5. 194由 a b+c=1993 知,a b 与 c 奇偶性不同.当 a b 为偶数,c 为奇数时,c 的值为 3、5 或 7，不妨设 b 为 2,则 a 的值为 995，994 或 993.因为 995、994、993 都不
18、是质数，所以不合题意舍去.当 a b 为奇数,c 为偶数时 ,c=2,a b=1991,1991=11 181,从而 a 的值是 11(或 181),b 的值是 181(或 11).2、11、181 均为质数符合题意.所以 a+b+c=2+11+181=194.6. 3,5,7依题意,设三个质数为 X，Y，Z，则 X+Y+Z= ，这样三个质数必定有一个质数7是 7.如果 X=7,则 Y Z=Y+Z+7,即 Y Z-(Y+Z)=7.根据数的奇偶性:偶-奇=奇；奇 -偶=奇，进行讨论.当 Y Z 为偶数, Y+Z 为奇数时 ,则 Y(或 Z)必定是 2,从而有 2 3-(2+3)=1,2 5-(2
19、+5)=3,2 11-(2+11)=9,均不符合条件.当 Y Z 为奇数, Y+Z 为偶数时 ,则 Y、Z 均为奇数.若 Y=3,Z=5,则 3 5-(3+5)=7,符合条件.所以,这三个质数分别是 3,5 和 7.注以上五题(题 2题 6)都是质数与奇偶数的性质求解“ 小、巧、活”的例子.尤其要注意 2 是所有质数中唯一的偶数这一特征.命题者常在此涉足.7. (2)因为两个两位数的差是 30,所以这两个两位数一定都是奇数,或都是偶数(因为只有偶数-偶数= 偶数、奇数-奇数=偶数)，且偶数+偶数= 偶数，奇数+奇数=偶数，所以第(1)种说法显然不对.因为差是 30,所以它们的个位数字相同,那么
20、相加一定是偶数；又差的十位数字是奇数，故两个两位数的十位数字一定是一奇一偶.通过以个分析,可得出:两个两位数的四个数字相加之和肯定是奇数,而不是偶数,所以第(3)种说法也是错的.第(2)种说法有可能对.注在排除第一种说法不对时,也可直接运用整数的奇偶性质 :两个整数的和与差有相同的奇偶性,即设 a,b 为整数,那么 a+b 与 a-b 有相同的奇偶性.证明(a+b)+(a-b)=2a 为一偶数,所以 a+b 与 a-b 的奇偶性相同.这条性质在处理奇偶性问题中用途很广.8. 270因为 1,3,5,7,9 为连续奇数,分别算出 186 页总页码中个位、十位、百位上出现的奇数次数，再相加后所得的
21、奇数总和即为数字 1，3，5，7，9 在页码中一共出现的总次数.从 1186，个位上出现的奇数为 186 2=93（次） ；从 10186，十位上出现的奇数为 10 9=90（次） ；从 100186，百位上出现的奇数为 186-100+1=87（次）.所以,186 页书中 1,3,5,7,9 在页码中一共出现了93+90+87=270(次)9. 8由于“每堆个数相同 ”且“分成偶数堆”知本题是要求 60 的偶因子的个数，因为每个偶因子对应于一种符合条件的分法，60 的偶因子有：2，4，6，10，12，20，30 和 60，所以有8 种分法.10. 17在所有质数中,除 2 是偶数外,其余是奇
22、数.由所给出的数字,根据数的奇偶性质可知，六个数必定三偶三奇间隔排列。这样，按三个偶数的 4 种排列列举如下：2_4_6_: 2,1,4,7,6,5, 2,3,4,1,6,5, 2,3,4,7,6,5, 2,3,4,7,6,1, 2,9,4,1,6,5, 2,9,4,7,6,1, 2,9,4,7,6,5,共七种；2 4 8_: 2,1,4,3,8,5, 2,1,4,3,8,9, 2,1,4,9,8,5, 2,3,4,9,8,5 共四种；2_6_8_: 2,1,6,5,8,3, 2,1,6,5,8,9 两种；4_6_8_: 4,1,6,5,8,3, 4,1,6,5,8,9,4,7,6,5,8,3
23、, 4,7,6,5,8,9 共四种.所以,最多能找出 17 种不同的排列.注也可以按照三个奇数的 10 种排列(例如:1_3_5_,1_3_7_,1_3_9_,)将偶数 2,4,6,8 填入空位,同样也有 17 种不同的排列.实质上,我们只要把上述的 17 种排列的每一种,按适当的轮换方法即得.例如,2,1,4,3,8,5 1,4,3,8,5,2.11. 根据自然数和的奇偶性:奇数+奇数 =偶数 ,偶数+偶数 =偶数 ,奇数+偶数 =奇数 ,知,第一行填的数中偶数比奇数多 1 个,第二行填的数中偶数比奇数少 1 个,第三得填的数中偶数比奇数多 1 个,第四行填的数中偶数比奇数少 1 个,可见，
24、前 8 行中奇数和偶数的个数一样多，而第九行中偶数多。所以，81 个数字中偶22244466 6888数多。12. 由题 7 评注知，在一个只有加减法运算的自然数式子中，如果把式子中减法运算改成加法运算，那么所得结果的奇偶性不变.因此无论在给出的式子每个方框中怎样填加减号,所得结果的奇偶性,与在每个方框中都填入加号所得结果的奇偶性一样.但是,每个方框中都填入加号所得结果是 45,是个奇数.而式子的右边是 10,是个偶数.也就是说从奇偶性上判断,要使题中式子成立是不可能的.13. 不能.先看亮着灯的房间,每个房间的开关拨奇数次为关灯,奇数个奇数之和为奇数,需拨奇数次.再看关着灯的那个房间,需拨偶
25、数次为关灯.所以,为使全部房间关灯,拨动开关总次数为奇数.现在每次只能拨动四只开关(偶数次),所以,拨动的总次数只能为偶数.综合以上两方面知,不能把全部房间的灯关上.14. 根据每个大盒子装 12 只零件,不管大盒子个数是奇数还是偶数,由 12 偶=偶,12 奇=偶,可知大盒子所装零件总只数是偶数,根据 99-大盒子所装零件总只数=小盒子所装零件总只数可知,小盒子所装零件总只数是奇数,且能被 5 整除.这样,小盒子所装零件总只数的个位数必定是 5,则大盒子所装零件总只数的个位数必定是 4,由 2 2=4,2 7=14,那么大盒子个数是 2 个或 7 个两种可能,相应小盒子个数是 15 或 3 个.因为 7+3=10(不合题意舍去), 所以这个工人用了 2 个大盒子 ,15 个小盒子.
