1、1Cx xy yAOBEDA C BCDG图 1 图 212 级圆和抛物线综合题专题训练 姓名_1、如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 yax 2bxc (a0)的图象顶点为 D，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A、B，点 A 在原点的左侧，点 B 的坐标为(3，0)，OBOC ，tan ACO 13(1)求这个二次函数的解析式；(2)若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于点 M、N，且以 MN 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆的半径长度；(3)如图 2，若点 G(2，y)是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG 下方的抛物线上的一动点，当点 P 运动到什么位置时，AGP 的
2、面积最大？求此时点 P 的坐标和AGP的最大面积解：（1）由 OC=OB=3，知 C (03)，连接 AC，在 RtAOC 中，OA=OCtanACO= ，故 A1310（ ， ）设所求二次函数的表达式为 ()yax将 C 代入得 ，解得 ，(03)， 01a这个二次函数的表达式为 。23yx（2）解法一：当直线 MN 在 x 轴上方时，设所求圆的半径为 R（R0） ，设 M 在 N的左侧，所求圆的圆心在抛物线的对称轴 上，1N（R+1，R）代入 中得23y，解得 。2(1)()72R当直线 MN 在 x 轴下方时，设所求圆的半径为 ，由可知 N ，(0)r(1)r，代入抛物线方程可得 。17
3、2r2（2）解法二：当直线 MN 在 x 轴上方时，设所求的半径为 R（R0）,，则 和 是方程 的两根12()()MxRN， 、 ， 1223Rx= 430由 得，12xR12x2211()4xxR 。解得 。24(3)47R当直线 MN 在 x 轴下方时，设所求圆的半径为 ， ，(0)r12()()MxrNr， 、 ，则 和 是方程 的两根1x223r= ，解得 。4()04r由 得，123xr12x2211()4xxr 。解得 。24()47r又 ， 。171（3）过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q，把 G（2，y）代入抛物线的解析式 得 G 。23yx(2)，由 A 可得
4、直线 AG 的方程为(10)， 1设 ，则 ， ，23)Px， ()x， 2Px132)2AGQGPSSA横 坐 标 横 坐 标 ） （当 时，APG 的面积最大。12x此时 P 点的坐标为 ，APG 的面积最大值为 。5()4， 7832、如图 1，直线 y x 1 与抛物线 y x 2 交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y 轴4341交于点 C（1）求线段 AB 的长；（2）若以 AB 为直径的圆与直线 x m 有公共点，求 m 的取值范围；（3）如图 2，把抛物线向右平移 2 个单位，再向上平移 n 个单位（n0） ，抛物线与 x 轴交于 P，Q 两点，过 C，P，Q 三点
5、的圆的面积是否存在最小值的情况？若存在，请求出这个最小值和此时 n 的值，若不存在，请说明理由解：由题意： ，解得：x 2+3x-4=0，即 x=-4 或 x=1代入求得 y=-4 或- ，或 ，即点 A（-4，-4）B（ 1，- ） ，则 AB= ；（2）由（1）可得 A，B 中点即圆的圆心点 O 为（ ） ，则圆的方程式为： 与 x=m有公共点即有解，把代入判定判别式0 即可CPyOxQ图 2ACyO xB图 14（3）抛物线平移后为： 存在理由如下：抛物线平移后为： ，其对称轴是 x=2由于过 P、Q 的圆的圆心必在对称轴上，要使圆的面积最小，则圆的半径要最小，即点 C 到圆心的距离要最
6、短，过 C 作 CE 垂直抛物线的对称轴，垂足为 E，则符合条件的圆是以 E 为圆心，EC 长为半径的圆，其面积为 43、如图，在平面直角坐标系 中，半径为 1 的圆的圆心 在坐标原点，且与两坐标轴xOyO分别交于 四点抛物线 与 轴交于点 ，与直线 交ABCD、 、 、 2axbcyDyx于点 ，且 分别与圆 相切于点 和点 MN、 、 AC（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交 轴于点 ，连结 ，并延长 交圆 于 ，求 的长xEDEFE（3）过点 作圆 的切线交 的延长线于点 ，判断点 是否在抛物线上，说明理OP由解：（1） 圆心 在坐标原点，圆 的半径为 1，O点 的坐标分别为A
7、BCD、 、 、 (0)()(01)ABCD， 、 ， 、 ， 、 ，抛物线与直线 交于点 ，且 分别与圆 相切于点 和点 ，yxMN、 、 OAC 2 分(1)(MN， 、 ，点 在抛物线上，将 的坐标代入、 、 (01)()(1N， 、 ， 、 ， O xy NCD E FBMA5，得： 解之，得：2yaxbc1abc1abc抛物线的解析式为： 4 分21yx（2） 2514yx抛物线的对称轴为 ， 6 分151242OED，连结 ，90BF， ， ， EODBF又 ，5122DE， ，4F 8 分53210ED（3）点 在抛物线上 9 分P设过 点的直线为： ，C、 ykxb将点 的坐标
8、代入 ，得： ，(10)， 、 ， 1kb，直线 为： 10 分D1yx过点 作圆 的切线 与 轴平行， 点的纵坐标为 ，BOPy将 代入 ，得： 1yx2点的坐标为 ， 11 分P(2)，当 时， ，x211yx所以， 点在抛物线 上12 分xO xyNCDEFBMAP64、如图所示，抛物线与 轴交于点 两点，与 轴交于点 以x103AB， 、 ， y03.C，为直径作 过抛物线上一点 作 的切线 切点为 并与 的切线ABM ， PM PD， ， M相交于点 连结 并延长交 于点 连结E， D N， .A、（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；（2）若四边形 的面积为 求直线
9、的函数关系式；43，（3）抛物线上是否存在点 ，使得四边形 的面积等于 的面积？若存在，EN求出点 的坐标；若不存在，说明理由. P解：（1）因为抛物线与 轴交于点x两点，设抛物线的函数关系式为：03AB， 、 ，yax，抛物线与 轴交于点y03C， ， 301， .a所以，抛物线的函数关系式为： 2 分23yx，又 214yx，因此，抛物线的顶点坐标为 3 分14， （2）连结 是 的两条切线，EM， AD、 ， N， ， ， EAMD 又四边形 的面积为 3， 23S ， 123，又 2A， .因此，点 的坐标为 或 5 分E12， 21.E，当 点在第二象限时，切点 在第一象限.D在直角
10、三角形 中，AM3tanAM， 60E， 60B过切点 作 垂足为点DF， F， 13，7因此，切点 的坐标为 6 分D23， 设直线 的函数关系式为 将 的坐标代入得Pykxb， 123ED， 、 ，解之，得32kb35b所以，直线 的函数关系式为 7 分PD53.yx当 点在第三象限时，切点 在第四象限.E同理可求：切点 的坐标为 直线 的函数关系式为23， -， PD35.yx因此，直线 的函数关系式为PD或 8 分35yx5.3yx（3）若四边形 的面积等于 的面积EAMDAN又 22MDSSS 四 边 形 ， AEA 两点到 轴的距离相等，、 x 与 相切，点 与点 在 轴同侧，P Ex切线 与 轴平行，此时切线 的函数关系式为 或D2y.9 分当 时，由 得，2y23yx16x；当 时，由 得， 11 分2.故满足条件的点 的位置有 4 个，分别是P1231612PP， 、 ， 、 ， 、12 分412.，
