1、 1第一讲：数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案一、单项选择题（每小题 4 分，共 24 分）1 下列极限正确的（ ）A B 不存sinlm1xsinlmx在C D lisxliarctn2x解： 选 C01sinlimslxt注：i1inl;l1snxxAB2 下列极限正确的是（ ）A B 10limxe 10lixeC sec(o)xxD 1lixx解： 选 A10lim0xe注： :,2:BC3 若 ， ，则0lixf0lixg下列正确的是 （ ）A 0limxfgxB 0C 01li0xfgxD 0limxk解：000lilixxkkff选 D4若 ，02limxf则 （ ）0
2、li3xfA3 B C2 D11解： 0033limlixtxfft02121li3tft选 B25设 且1sin(0)si()xfax存在，则 = （ ）0limxfA-1 B0 C1 D2解： sinl,x0liixao选 C 1a6当 时， 与 为等价无穷小，nk1n则 k=（ ）A B1 C2 D-22解： 选 Csinlml,kk二 、填空题（每小题 4 分，共 24 分）7 li1xx解：原式 lim1li1xxe8 21limx解：原式12lix1lim2x9 31097lixx解：原式 397212limli1xx38710 li(12)nn解：原式 n3lim有 理 化li2
3、1nn无 穷 大 分 裂 法11 120arcsilimsixxe解：又112 200sin,lilisnxxe故 原式=100arclilimxx12若 220n1lisix且 ,则正整数 = 0li1conxn解： 22200limlisinnxx3故204,limnx2,4n3三、计算题（每小题 8 分，共 64 分）13求 sin2l3xx解： 原式= limsxin31l0i,li0x xsi2lmsi,limx x原式0314求 01tansilicoxx解：原式 有 理 化0tansilim(1cos)(1sin)xxx0tli()2xx0tan11lilixx15求 limsc
4、ox解：令 ，当 时，1tx0t原式 10limcosin2tt1tt0cosin2limtttee16求 0lincos3x解：原式 0l1s2ixx变 形0cos2lim31x等 价 204li9x等 价注:原式 02sincos3lmix x49 17求 02lisinxe解： 原式 0lim1cosxe00lili2sncsxxee418设 且fx1,0cosxea存在，求 的值。0limxfa解：10li 0xxea2001coslimlixx02lix2a19求 lim11linne解： (1) 拆项， .23()111.nn(2) 原式= lim1li1nne20求 2limlx
5、x解： 原式 201ln1lit t20ln1imtt通 分01li2tt001limli2t t四、证明题（共 18 分）21当 时且x,li,liuvx证明 lim1xuvxe证： liv1muxvx证毕liuvxe22当 时，证明以下四个差函数的等0价无穷小。（1） 3tansi02xx等 价 于（2）3t等 价 于（3） 3sin6xx等 价 于 0（4）3arci等 价 于证： 30tnsi1lim2xx530tan1coslim2xx30li12x当 时，x3tansi2x:2003tec12limli1xx2200tanlilixx当 时，2t3:03sin3lim16x02co
6、sl1x20li1x当 时， 31sin:6x03arc4limx220011limlixxx201lix当 时， 31arcsin6xx等 价 于五、综合题（每小题 10 分，共 20 分）23求 2lim39x解： 原式 21lixx有 理 化21li39x21lim3139xx24 已知 ，求28li 5xmxn常数 的值。,n解：（1）原极限存在且 2lim20xx28,48m1,6（2） 2lixxn620646lim2xnn15答06,1m选做题求 10limxxe解：原式 10li1xxe1100limlimxxxxee令 1lnxy12lx x12lnxx原式20 201lnl
7、n1limim3x xxee20li3x第二讲：函数的连续性与导数、微分的概念的练习题答案一、单项选择题（每小题 4 分，共 24 分）1若 为是连续函数，fx且 ，01,0ff则 ( )limsinxfxA -1 B0 C1 D 不存在解： 原式 1sin1limsnlxxf f连 续，选 B10f2 要使 在点 处ln1mxfxk0连续，应给 补充定义的数值是( )A B kmC D lnkme解： 00lili(1)xxxf0limnlxkkme选 Af3若 ，则下列正确的是 li()xa（ ）A limxafB AC lixafD ()7解：选limlimxaxauffA连 续B4设
8、,0fFxx且 在 处可导，f ,f,则 是 的 ( )0xA 可去间断点 B 跳跃间断点C 无穷间断点 D 连续点 解： 00limli0,xxfFf，ff0limxfF故 是 的第一类可去间断点。选 Ax5 在 处 ( )1sin,0fxA 极限不存在 B极限存在但不连续C 连续但不可导 D可导但不连续解： ，且001limlisnxxff在 连续，又f不存在， 在01sinlmxfx不可导 选 C6设 在 可导，21,xfab1x则 为 （ ）,bA B 2,0,2bC D 0a1a解：（1） 在 连续，fx211lim,lixxb故 ab（2） 21li,1xf f 11lilimxx
9、aab，代入 得 ，选 C20二、 填空题（每小题 4 分，共 24 分）7设 为连续奇函数，则 = ()fxf解：（1） 为奇函数，ffx（2） 00limlixxff又 在 连续故fff8若 为可导的偶函数，则 x0f8解：（1） 为偶函数，fxf(2) 可导， 故xfxf0ff即209设 是曲线 的6yxk2361yx一条切线，则 解： （1）,2yxx（2）故63421,13,kk110 若 满足：()yfx()0fxfx，且0limx则 = f解： 0lixfff0lim1x11 设 在 连续，且 =4，()f2x(2)f则 2214lixf解： 原式= 24()limxf214li
10、x12 的间断点个数为5sin()fx解： 令 20,10xx为间断点，,故 有三个间断点fx三 、计算题（每小题 8 分，共 64 分）13 已知2sin1,0(),0axefx在 上连续，求 的值 ,a解： 在 连续 fx200sin1limlaxxxef200silliaxx且 ,f故 2a14 讨论 在1,0()ln,1xef连续性0,1x9解：（1）在 处，0x10lim,xe0limx且 f在 处连续x（2）在 处，11li0,x10nlnimli1xxtt 在 不连续f15 设 有连续的导函数，且()fx若0,ffb在 连续，求常sin,0,xaFAx数 A。解： 00sinli
11、mlixxfax00ililxxfffa且 ， 答FAbAab16 设 在 可导，()fx1,0xekx求 的值。,kb解：（1） 在 连续，fx00limxe故有li()xkb1（2） 在 可导f0x01limxef20011lili2xxeelim,xkf，答121b17设 在 可ln(),0(),axfx导，求 与 a0f解：（1） 在 连续，x00ln1limixx af0limxa且 ，故有f（2） 在 可导x0ln(1)imxf102001ln1imlim2x x0lix答： 1,2af18 讨论 在 是否()xaxa可导，其中 在 连续。解：（1） 0limxaxflixalix
12、aa连 续（2） 0limxaxflilixaxaa 连 续答： 当 时， 在 连续，0f当 时， 在 不连续x19 求 的间断点，并指出间断1()lnf点类型 解：（1） 间断点： 0,1,xx（2） 在 处：0x01limnx是 的第一类间断点。f（3） 在 处：1x1linx为 的第二类无穷间断点。f20 设 指出1,0()lnxef x的间断点，并判断间断点的类型。()fx解：（1） 为间断点， 可能是间10x断点。（2）在 处：11lim,lixxee是 的第二类无穷间断点f（3）在 处：0x1li,lin10xe是 的第一类跳跃间断点f四、 综合题（每小题 10 分，共 20 分）
13、21 求 的间断点，并判别1()xf间断点的类型。解： （1）间断点： 01,xx，（2）在 处：x()f x11001limlixxf是 的第一类可去间断点（3）在 处：11lili0xxf是 的第一类可去间断点（4）在 处： 1limx是 的第二类无穷间断点1xf22已知 ，232,0(),1,1faxbcdx在 可导，求 之值,解：（1） 在 连续，fx0320limxabcd2,f故 1d（2） 在 可导fx020lim1,xf320lixabcxf 故有 1c（3） 在 连续，fx321lim1xabxf即 0f3（4） 在 可导：fx21limxf321lixabxf210lim3
14、xab故有 04由（3） （4）解得 2,3ab答： ,1cd五、证明题（每小题 9 分，共 18 分）23 证明 在区间 内420x2,至少有两个实根。证：（1） 在 连续，()f,且 04,2160f由零点定理知，=0 在 上至少有一个实根。()fx,（2） 在 连续,且f02416480ff12由零点定理知，=0 在 上至少有一个实根()fx0,2（3）综上所述， =0 在 上至少()fx2,有两个实根 24 设 ，证明1sin,0,ufxx（1）当 时 在 连续，当0uf时， 在 可导 x解：（1） 001limsnux时0sin,liux当 时， 在 连续f(2) 100sinlml
15、sin0uuxx时10si,liux当 时， 在 可导1uf总之，当 时， 在 连续x0当 时， 在 可导f选做题设对于任意的 ，函数满足x1fx且 证明af0,fbab证：（1）令 ， ，即0x1f0affaf(2) 01limxff0li 0xaffafb证毕第三讲：导数与微分的计算方法的练习题答案一、单项选择题（每小题 4 分，共 24 分）1设 则 ( )2421,fxfA 1 B 3 C -1 D -3解：（1） 22fx1fx(2) 2,21f选 C2设 221fxx,则 （ ）n 0fA B 2(!)2(!)nC D 1解： 令 222gxxn()f13fxgx2012!n 选
16、B注：本题用导数定义计算更方便！3设 ，则 = ( )ln1fx5fxA B 54!54!C D 5!1x5!1x解： ,f2x31fx4421,x5(5) 3f x选 A54!1x4设 由方程yf所确定，则曲线2cos1xee在点（0，1）的切线斜率 = yf (0)f( )A 2 B -2 C D - 12解： 2sin0xyexy20,ey02yf选 B5 设 为可导偶函数，且fx，则 （ cosgxf2g）A 0 B 1C -1 D 2 解：（1） cosgxfxcosinf（2） ,xf1f得0f0f（3） 选 A2gf6设 在 有连续导数，且fx1,则 ( )10limcosxdf
17、xA 1 B -1 C 2 D -2解： csfdx1oin2fx(2)原式 0silmcosxf1412f选 B二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）7若 ，sincotxey则 2dx解：（1） 2cosin(1)itttyeedx(2) 2 3sicotdyxt8设 ，21lnfx则 = e解：(1) 221lnlnxxf（2） 1fee9 直线 与 轴平行，且与曲线lx相切，则切点坐标是 xy解： 1,01xxey曲故有切点坐标 10 由方程yfx确定，则 3sin600xdy解：当 时， 得0x360yy23cosx，16y 016xdydx11设 ，lnxe则 dy解： 11l
18、nln22xxee2xxxy12设 ，1010nnfaa 则 = n解： 1201()nnfxx1na 0nfxax 0!,!nf三、计算题（每小题 8 分，共 64 分）13 设 ，求 。1lxydy解： (1) ln()ln1x1(2)2yx11x15（3） 1dyx14设 ，求 及2arcsin4y。y解：(1) 21arcsin2xx24x2arcsin4x2rix()arcsiny22141xx15方程 确定 ，1sinlxyyx求 0xd解：(1) =01cos()yxy（2） 当 时，0xlne（3） 1cos()(0)ey，1(0)ey()1)e16设 ，求 cosinxy解：
19、（1） lliny(2) cossinliixx2cos1isinliixy17 设 ，确定 ，2lnarctyyx求 。2dx解：（1） 21tdytx(2) 2 21ytdttdxx18 设 ，求 yny解：（1）变形， 11xx（2） 2y3x412y n1!nnx19 设 y16由方程 所确2 0Fxyxy定，其中 F 可导，且，求1,(4),20xd解：（1） 2xyxy0F（2）当 时，0x2y（3） 4()1()Fy()y10(0)2y()7y20已知 ，求11,xfxyfdyx解：（1） 21f21xf()fx1f221dyxx四、证明题（本题 8 分）21证明抛物线 任一点处
20、的xya切线所截两坐标轴的截距之和等于 。a证：（1）求切线方程：设切点坐标为0,y，02xyx00yy故有切线方程： 00yx（2）求截距：令 ， 00yx解得 00,x令 ， yxy解得 00（3）证明两截距之和为 （即 ）axya+0xy02y000x220xya证毕五、综合题（每小题 10 分，共 30 分）22若曲线 与2yxb在点 相切，求常数 。321,1,ab17解：（1）求两曲线的斜率在 上，2yxab2,1yxa在 上，32,1yxy2）求 之值：依题意， 两曲线在点,ab相切，1,1,又 点 在曲线 上2yxb2,b23设 单调，且二阶可导，求yfx及dx20f解：（1）
21、 1dyfx（2） =2xf= 1dxfy201xff3f24设 ，求1arctnxyy解：（1） 21dxxy22()()11xx22()()x12y221xx选做题1设 可导， 且f siniyfx，求(0)(0)解：（1） cosiyfxsinfx (2) （0cos01,sin0fff3） cy222csfff2设 有任意阶导数，且x，求2ff()nfx解： x 322fffx182433,fxfxfx1!nn3设 可导且 ，fx0fx证明 lndff解：（1）当 时()0x1lnlnddfffxx（2）当 时：0flnlnddxfxff（3）综上所述： lnfxdfx第四讲：微分中值
22、定理与导数的应用的练习题答案一、单项选择题（每小题 4 分，共 24 分）1、已知 ，则()3()5fxx有 （B）0fA 一个实根 B 两个实根 C 三个实根 D 无实根 解：（1） ()3434fx在 ， 连 续 在 （ ， ）(3)40f可 导 且在 满足罗尔定理条件x，故有 （ ）1()f124,5x同 理 在 满 足 罗 尔 定 理2()0f有综上所述， 少有两个实(3,fx在 至根 ，至多有两3)（ ） 是 一 元 二 次 方 程个根，故选2下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是 （D ）A 2(),03fxB 21,C (),fxD 3,0x解： ()fx在 连 续32xf，()
23、fx0()0f在 ， 可 导 且 (3)f满足罗尔定理条件故选 D3设曲线 ，则其拐点坐标为3yx（C）A 0 B（0，1） C（0，0） D 1解： 令 得3,6yx0y190x当 时， ,y当 有 0xy故（0，0）为曲线的拐点 C4若 内(),f且 在 （ ， +）必有（C） ,0x则 在 （ ， ）A ()()ffxB ,C ()0()fxfD ,解： ()0fx为 偶 函 数 且 在 （ ， ）凹弧单 调 递 增 ,曲 线 为如示意图，故有(,0)(,0fxfC选5设 3lnabx（ ）在 取得极值。则12，为 （）,abA B ,12,abC D 12解： ()23(1)0afxb
24、xf3a (2)0,68f 得 b12b代 入得 ,a答答案选6下列命题中正确的是-（B ）A 为极值点，则必有0x0()fxB 若 在点 处可导，且 为 ()f0()fx的极值点，则必有 ()fxC 若 在（ ）有极大值也有极小值()fxab，则极大值必大于极小值。D 若 则点 必有 的极值点。0()f0x()f解：可导函数的极值点一定是驻点，故有=0 选 B()fx二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）7设 可导，且 的极小值。()f0()fxf是则 02limnx解：原式= 00()(li 2nfhf02()fx8 的单调增加区间为l(0,)e解：（1）定义域 （2）(,)20 21
25、ln()xf当 0()fx由 零 点 定 理 知 ： 至 少 有 一 实 根(4)综上所述： 有且仅有一个实根(0第六讲:利用导数证明不等式及导数应用题的练习题答案一、证明不等式1当 时,证明 成立.0x11lnxx证：(1)变形: ,这lll是对数函数的增量形式令 ln,1fttx(2) 在 应用拉格朗日中值()定理: ln1l1xx1,1xx(3) ,x故有 证毕！11ln0xx2证明: 成立arctrtab证：(1)构造辅助函数,令 rtn,fx(2) 在 应用拉格朗日acxba定理: 1rtnrt()ba1rctnrtbab(3) 10rctnt对于 的情形,同理可证. ba证毕3证明
26、:当 时,有 成立.0x1xxe证：(1) 构造辅助函数： 01xxe令 ,tf(2) 在 应用拉格朗日中值定te0x理, 0,x25(3) 是单调增函数xe，故有 ,01xxe证毕x4当 时,证明 成立.arctn2x证：(1)令 1fx0(2) 221fx 在 单调减少fx0,(3) 在 单调减少,且1limliarctn02xxfx故当 时,0f证毕1arctn2x5当 时,证明 成立.2sinx证：(1)变形, 0x令 si2f(2) 2coinxxf令 sigconcosin0xxx 02且 0gxg从而 20gxf在 单调减少fx,(3) 且 =0f2f0fxf即有 成立2sin6
27、当 时,证明x成立.1cosex证：(1)变形，令 ()1xfcos2xe(2) inxf(一阶导数符号不易判定,借助 )fx=fxcos0ex单调增，且 ffxf单调增加0x(3) 在 单调增,且f,0fxf故有 (1)cosxe26证毕7当 时,证明:02x成立.4ln40解：(1)令 2ln4fx(02)x(2) 4l2fxln()令 ,驻点0fx1x(3) ，42()420f为极小值点.1由单峰原理, 是最小值点x最小值 0f故有 ,即124ln42xxx证毕8设 ,证明01p成立.12px证：(1)令 ppfx,0x(2) 110ppfx 驻点,x2(3) 112pppf1,0,12
28、pff(4)比较上述函数值的大小: 1,pmM故有 ,即fx112pp,0x证毕9证明:当 时,有 .145x证：(1)令 ,1f(2) 34x,310在 单调增加fx(3) 415m13Mf由 ,得x43x从而有 证毕45二、证明方程根的个数10证明:当 时,方程0p仅有一个实根.5xq证：(1)令 5,0fxqp40fp27单调增,故 最多有一个实fx0fx根(2) 5fpq是一元五次方程至少有一个实根0fx(3)综上所述: 有且只有一个实根. f证毕11证明方程 只有一个正根.3cosxx证(1) ()0f231sinxx单调增f故 最多有一实根0x(2) 在 连续且f,201f3022
29、f由零点定理知: fx至少有一个正根.（3）综上所述: 只有一个正根0f12证明方程:123xx30有且仅有两个实根.解：(1)令 12fxx23x在 连续且f,12020f由零点定理知:在 至少有一个实根fx1,同理: =0 在 至少有一实根2,3总之, =0 在 至少有两个实根fx(2) =0 是一元二次方程,最多有两个实根()综上所述： =0 有且仅有两个实根fx13设常数 0,k证明方程 ,在 内有且lnxe0仅有两个正根.证：(1)令 (x0)()lxfk(2) ;令1xe0f驻点0,2f 21f为极大值点.xe由单峰原理: 是最大值点xe最大值 f10k28且 ,0limxf故 与
30、 轴有且仅有两个交点yfx(如示意图) 即 在 有0fx,且只有两个实根.三、 应用题（每小题 10 分，共 50 分）14已知曲线 .21yx（1）求曲线在横坐标为 的点处的切线方0程.（2）求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度.解：(1)求切线方程:切点 021,x33002,yx切线方程: 02301x即 320xy(2)令 0;x令 203,xy(3)222 400039dxx25094令 6001,8,2,dxy(4) 629最小值 29313442d15在半径为 R 的半径内作一个圆柱体 ,求最大体积时的底半径与高.解：(1)画出示意图(2)依题意,设所求圆柱体体积为 V22V
31、rhR3h(3)求驻点,令 ,23h0V,驻点2R1R（4）求最值点: 6h,03V3为最大值点2123rRhR29答:当 , 时,所得圆柱体体3hR2r积最大16某客轮每小时消耗燃料的费用速度的立方正比,若该客轮从甲城到已城沿江逆流而上,设水流速度为每小时 公里,求客轮最经济的c速度?解：(1)列出函数关系式:设从甲城沿江到乙城的路程为 .消耗总费用为 .依题意:sy,其中 是甲城到乙城所3,ykvtct需要的时间 3sv(2)求驻点: 2323cvyks22vsc令 ,驻点0y3(3)求最值:由实际问题的意义知道:最小值存在,且驻点唯一,当 时,2vc客轮消耗燃料总费用最省.17欲做一个容
32、积是 3000 的无盖圆柱形3m的蓄水池,已知池底单位面积造价为池壁单位面积的 3 倍,问蓄水池的尺寸怎样设计,才能使总造价最低?解：(1)列出函数关系式:设池底半径为 ,池r高为 ,池壁单位面积造价为 元,总造价为ha,依题意:y23arh2,30r2603yar(2) 求驻点: 2ra令 ,驻点0y31(3) 求最值:,326yar30()y当 时,总造价最省.310r(4) 当 时,323301h答:当 时,总造价最低.r18从一块半径为 R 的圆铁片上挖去一个扇形,把留下的中心角为 取多大时,做成的漏斗的容积最大?解：(1)列出函数关系式:设漏斗体积为 V依题意: ,213Vrh2Rr
33、,2(2) 求驻点3223rVrR令 =0.22rr30,驻点23rR23r又 8R(3) 求最值由实际问题意义知道:漏斗最大容积存在,且驻点唯一,当 时,漏斗的容积最大.83第六讲:不定积分的概念与换元积分法的练习题答案一、单项选择题(每小题 4 分,共 24 分)1设 是 在 上的一个Fxf原函数,且 为奇函数,则 是 ( )fxA 偶函数 B 奇函数C 非奇非偶函数 D不能确定解: 可导奇函数的导函数必为偶函数.必为偶函数.选 AfxF2已知 的一个原函数为 ,cosx的一个原函数为 ,则 的一gx2fg个原函数为 ( )A B 2 2cosxC D cosx解:(1) ,csinfx2 sin2gxxfgx(2) coscs(i)选 Bn3设 为连续导函数,则下列命题正确fx的是 ( )A 122fdfxcB xC 22fdfxD xc解: 12ffxd12xc选 A 4设 且22osinfx,则 =( )0fA B 21x21xC D 3解：(1) 22cos1csfxx(2) 2xfc且 得0f
